Exemple. — La courbe donnée a pour équation
(1) r"*.= «"• cos mô.
On en tire :
a"» sin m6 d6 = — - r"* - * rfr,
a" sin.mO = J/a"" — r»"*,
(2) ^^^ -r— rfr ^
et par conséquent :
La formule (A) donnera donc : ou bien : *
«•Sm + t
En appliquant ensuite la formule (C) à Texpressîon (3) de t;', il vient :
d'où :
w " — — ^n^rri — ■'
Applications. — 1° m = 1. L'équation de la courbe est : r =r a cos e ; c'est une circonférence sur laquelle se trouve le centre fixe ; on trouve :
ca ^ 2c' a*
La force est attractive.
2* m = — 2. L'équation de la trajectoire est :
a* = r* cos 20 = a?* — »•.
C'est une hyperbole équilatêre dont le centre coïncide avec le centre fixe ; on trouve :
La force est répulsive et son intensité proportionnelle à la distance.
. 3° m = 2. L'équation de la trajectoire est :
r* = a* ces 26.
C'est une lemnîscate, dont le centre coïncide avec le centre fixe; on trouve :
La force est attractive.
86. 2** Question. — Un point matériel décrit une trajectoire sous l'action d'une force dirigée constamment vers un centre fixe; l'expression de la vitesse en fonction de la distance r du mobile au centre fixe est connue. On demande de trouver Veocpression de la force et V équation de la trajectoire.
On donne :
La formule (C) donnera :
La formule (A) donnem ensuite :
d'où :
. j. cdr
(3) ± rf6 =1 ^ .
DYNAÎkfiQUE. 359
Le problème est ainsi ramené aux quadratures. Application :
r* La force est attractive ; la formule (3) donnera ensuite :
A désignant une constçinte arbitraire ; on trouve une spirale
logarithmique, ayant pour pôle le centre fixe. On aurait pu
le voir immédiatement ; la formule (E) donne en effet dans
le cas actuel :
a sin y; = c, d'où :
Tf = constante.
87. 3* Question. — Un point matériel décrit une trajectoire sous V action d'une force dirigée constamment vers un centre fixe; V intensité de cette force est une fonction connue de la distance du mobile au centre fixe; on demande de . trouver l'expression de la vitesse et de l'équation de la trajectoire.
Soit R l'intensité de la force divisée par la masse du mobile, on aura :
f étant une fonction connue. Soient r„ v^^ tî^ les valeurs des quantités r, v, iq à l'instant initial, on aura :
c = r, t^o sin r,^ et l'équation différentielle de la trajectoire sera :
son intégrale générale contiendra deux constantes arbitraires que Ton déterminera en écrivant que pour 6 = 6^:
Un aura ensuite :
(3) v' = v:-rjj{r)dr,
r«- = d/! ct=\ r»dO.
2® Méthode. -^ On emploie la formule (3) dans laquelle on remplace v* par :
on trouve ainsi :
Résolvant par rapport à d6 et intégrant, il viendra :
•y^^^'-T^-a/Vwdr
formule dans laquelle c est égal à :
fo t?o sln t;,.
Si tjo < 5> on prendra au début le signe +, car r commence par croître ;
Si*»)© > 5» on prendra au début le signe — .
On est ainsi ramené aux quadratures, pour obtenir l'équation de la trajectoire.
La première méthode, dans laquelle on a à intégrer une
équation du second ordre paraît plus compliquée; e peut cependant conduire dans certains cas à des résult; plus simples; c'est ce qui arrive notamment dans le (
de f{r) = -ï déjà examiné, et dans le cas de :
dans ce cas l'équation ('2) <levient :
V / r du* On a d'ailleurs dans tous les cas :
Il y a lieu de considérer trois cas :
alors :
de' " r L'intéf^le générale de cette équation est, en désigni par A. et B deux constantes :
Pour déterminer les constantes, faisons passer l'i polaire par la position initiale Fig,165 yi mobile; alors 6, = 0.
En faisant dans l'intégrale 6 = on aura pour déterminer les co
0^" ^' tantes une première équation
Prenons la dérivée par rapport à 6 de l'équation (a), il
viendra :
— dr
remplaçant dans cette équation r par r, et par zéro, il viendra, en ayant égard à la relation :
(y) -— cotg r,, = w (A — B).
Les deux équations (P) et (y) déterminent les constantes A et B. Remplaçant A et B par leurs valeure dans (a), on aura l'équation de la trajectoire :
enB ^ g^ne çQtg ^^ (g»Ô __ ^-««^
Il n'entrera qu'une exponentielle si :
COtg YJj = ± ».
Soit d abord cotg tq^ = + n, nous aurons :
On a la spirale logarithmique.
Si cotg Y), = — n, il viendra :
On a encore une spirale logarithmique, mais dans ce cas le mobile se rapproche constamment de l'origine. Cherchons dans ce cas le temps nécessaire au mobile pour aller de M, au centre fixe. Pour cela nous remarquerons que l'on a :
r'de = cdty ou »
et en intégrant :
Par conséquent le temps T nécessaire au mobile pour aller de M^ en 0, qui s'obtient en faisant = oo , est :
Ce temps est fini.
Supposons enfin ti^^ = ^ • En introduisant cette hypothèse dans l'expression générale de r, on a :
>nô • i>— nO
On a une spirale .<* — Cherchons encore le temps nécessaire au mobile pour aller de M, en 0. Nous aurons :
ou, en intégrant :
cnt 1 1
Le temps T est ici
r * iT = ~
2" cas ; ^ — 4 = — n*. On a alors :
ou, en int^rant :
- = A cos «6 -f- B sin «0,
dont la dérivée par rapport à 6 est :
— 1 /dr\
"r~ Vrdë/ = "^ ^^ sin.nô -f- nB cos n%.
Ces deux dernières équations nous serviront à déternaîner les constantes A et B, en remarquant que pour 6 = 0, r = r,; nous aurons :
r=A, -— cotgTf3, = wB,
et par conséquent :
Posons :
— = cos nô cotg yj. sin nô.
— - colg. Yio = tg nX,
nous aurons :
- = cos nO + ; — =r i: :,
r coswX cosnX
fo cos nX r =
cos w (6 — X) Posons :
il viendra :
r = — =— -1 cos w6j
courbe facile à construire, et qui a une asymptote. 3*^ cas : T — 1 = 0.
On a alors :
Les constantes sont faciles à déterminer. On a :
B = - > A = -— cotg r,„
par conséquent :
I J» = 1 Ô colg ifie,
1 — 6 colg T^o équation d'une spirale hyperbolique.
