RELATIVE A DEUX THÉORÈMES DE LAGRANGE SUR LE CENTRE DE GRAVITÉ

Une intéressante Communication de M. Laisant a la Société Mathématique de France (^) a trait à deux remarquables théorèmes qui, depuis Lagrange, ont été étudiés par différents géomètres. Poinsot les a donnés dans sa Statique y et Jacobi, après les avoir établis dans sa Mécanique Analytique (p. 22), en fait un usage important dans les considérations quMl développe sur la stabilité du système du monde.

JMndiquerai ici commenterai démontré^ dans mon enseignement, les propositions ou plutôt ht proposition de Lagrange (car le premier théorème de Lagrange n'est qu'un cas particulier du second). Bn développant une remarque de Leibnitz, on est conduit, en même temps qu'au théorème de Lagrange, à un nouveau mode d'exposition de la théorie du centre des forces parallèles.

On sait que, étant données trois forces concourantes qui se font équilibre, leur point commun d'application est le centre de gravité du triangle formé par leurs extrémités. Leibnitz a remarqué plus généralement que, si n forces concourantes se font équilibre, leur point commun d'application est le centre de gravité de » points de masses égales placés à leurs extrémités. C'est cette remarque» un peu généralisée, qui nous servira de point de départ. Nous allons d'abord indiquer quelques définitions qui serviront à abréger les raisonnements.

Ëtant donnée une force, nous la désignerons toujours en commençant par son point d'application. Ainsi, la force G A aura son point d'application en G et son extrémité en A. Comme nous n'examinerons que des forces concourantes, il n'y a aucun inconvénient k dire qu'une

(1) Bulletin de la SoeiiU Mathémati^te de France^ t. V, p. 19S.

force OA est la résultante de deux forces PB, QC. Cela signifiera que si les trois forces étaient déplacées parallèlement à elles-mêmes et ramenées k avoir le même point d'application, la première' deviendrait la résultante des deux autres. Ainsi, en tenant compte des deux conventions précédentes, nous pourrons dire, étant donné un triangle ABC, que AB est la résultante de A C et de CB.

Étant donnée une force G A, nous dirons que nous la multiplions par un nombre positif ou négatif m, quand nous lui substituerons une force OB de même direction et de même point d'application, égale à la première multipliée par la valeur absolue de m, de même sens si m est positif, de sens contraire si m est négatif. Il est clair que

la force (fn^ + m^ OA est la résultante de m^OÂ. et de m^OA, et, d'autre part, que, si une force F est la résultante de deux autres F' , F', f»F sera de même la résultante de mF', mF'.

Ces définitions étant admises, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Théorème I. --^ Considérons p points A^, A„ ..., Ap afectés de coefficients positif ou négatif m^y m^, ..., m^ dont la somme n*est pas nulle; désignant un point quelconque de respace, la résultante des forces

m, O A,, ff», O A,, ..., % OAp ira passer par un point fixe C et sera égale

à M. OC, M désignant la somme mi + 9n, + ... + m^.

Dans le cas exceptionnel oU la somme M est nulle, la résultante conservera une grandeur et une direction invariables quand le point se* déplacera; en particulier, si elle est nulle pour une position du point 0, elle sera nulle pour toutes Us autres.

Soit, en effet, OR la résultante des forces mi OA,*. Cherchons la résultante 0' S quand le point est remplacé par le point 0' et les

forces mi A,- par w,- 0' A,-. La force 0' A,- peut être regardée comme la résultante de 00 et de 0A{. De même, miO'A,- peut être regardée

comme la résultante de m,0'Oet dem^OA,-. On obtiendra donc la résultante O'S : 1^ en composant toutes les forces 9n,0Af, ce qui

donnera OR ; 2^^ en composant toutes les forces mi 0' 0, ce qui donnera

M.O' O; 3^ en composant les deux résultantes partielles

(l) OR et M.Ô^.

Supposons d'abord que M ne soit pas nul, et déterminons sur OR un

point G par la condition :