Courbe des ponts suspendus. — Soit AOB un

fil homogène suspendu aux deux points fixes A et B ; chaque élément est solUcité par une force verticale proportionnelle à la projection de cet élément sur une horizontale; trouver la figure d'équilibre.

La courbe est encore plane ; • si nous appelons T la tension au point m et p la force totale qui sollicité une portion de la

ch^ne dont la projection horizontale est égale à l'unité de oi^eur. On a par les formules générales ;

}e la première de ces deux équations on déduit :

\i on appelle ph la tension de la courbe au point le plus )as.

Remplaçant dans (2) T par :

.ds

1 vient :

d.ph^ = pdx,-

m bien, en prenant x pour variable indépendante :

ntégrant, et désignant par C et C deux constantes arbiraires, il vient :

îi l'origine est le point le plus bas, on doit avoir pour a; ^ :

ionc : •

C = 0, C = 0, :t par suite :

La courbe est une parabole dont le sommet est en et Taxe vertical. On trouve facilement :

T est minimum en 0.

154. Détermination des constantes. — Les données sont encore, en gardant les notations du § 151, m, n et Z et les inconnues {x^ j/,), {x^ j/,) et h. On a :

On déduit de là : •

,«. ihn ihn

puisque :

(4) Xi — x^ = m.

D'ailleurs :

hs=fyix? + A» (Ix = i X Vx^ -\- A' + î &• log [x + J^a?« h- A')

H- Constanle; par conséquent on a :

(S) ihl = x, Vx,' 4- A* - xyx,' + h' + AMog '^ ^■'"^ *' "^ ^« . ^ ^ |/a?,* + A* H- a?.

On tire de (3) et (4) :

portant ces valeurs de x, et x, dans l'équation (5), on

a une équation qui ne contiendra plus que l'inconnue h;

.nd h sera ainsi déterminé, les équations (2) et (6) feront

naître x„ œ,, y„ y^.

Supposons pour simplifier que les deux extrémités du fil soient sur une même horizontale; on aura ;

Fg9£. «. = --. = -?•

5 ' et l'équation (5) donnera :

en tire, après réduction :

[k) s'annule pour A ;= fc,; en posant :

yp — 4a;,' leur réelle, car : ■ ■

Xb* = 4.«,' < AÔB* on f,

h<K ( r W<0 ^ (A) décroit,

ft = fti j /■' (A) = fyh) minimum,

A > A, ( /■ (A) > f{h) croît sans cesse.

Pour h positif et très petit, on peut réduire f{h) à:

donc f (h) est positif et très grand ; ainsi :

minimam,

D'où l'on conclut :

/•(A.XO;

donc il n'y a qu'une racine OH.

h étant connu, le problème est facilement résolu.