A UN MÊME POINT

13. Résultante de deux forces. — Nous considérerons d'abord deux forces commensurables. Soient P, Q {fig- 4) ces forces, A leur point d'application^ AM, AN des longueurs proportionnelles à ces forces*, m, ii deux nombres entiers, tels que l'on ait P : Q :: /n : « :: AM : AN 5 partageons les longueurs AM , AN en parties égales AB, BC, AH, etc., dont les nombres soient respectivement w, »; ces diverses parties représenteront des forces , dans lesquelles on pourra décomposer les premières. Menons par les points B, C, etc., des parallèles à AN, et par les points H, K, etc., des parallèles à AM •, ces droites partageront le parallélogramme AMIN en losanges égaux. Cela posé, les deux

PftMIÙB ASBiB. — STATIQUE. 1 I

forces ^ales AB, AH peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes au point D de la bissectrice de leur angle ; elles seront alors dirigées suivant les deux cotés BD, HD qui les représenteront aussi en longueur. En agissant de la même manière sur les deux forces BD, BC, on les transportera sur DE, CE; et, en conUauant ainsi , la force AH sera transportée en MF, et AM en HF. De même , les forces HK, HF pourront être transportées en FG,KG,etainsi de suite; de sorte que les deux forces AM, AN seront transportées en NI, MI, sans que leur eOel soit changé. Or elles donneraient en I une résultante égale et parallèle à celle qu'elles donnaient en A; donc, d'après ce que nous avons démontré précédemment, le point I appartient à la direction de celte dernière.

II suit de là que la résuhanto de deux forces commensurables est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent ces forces en grandeur et eu direction.

14. On peut passer delà au cas des forces incommensurables par la considération des limites. On peut encore employer la réduction à l'absurde, comme il suit.

Si la diagonale AI {fg. 5) n'est pas la direction de la résultante des forces incommensurables AM, AN, soit . ' cette direction. Par le point H, où elle rencontre l'un deux côtés du parallélogramme, menons la parallèle Hl l'autre côté ; nous pourrons prendre entre M et K. un pc B, tel que AB soit commensurable avec AN, et alor diagonale AC du parallélogramme NABC donnera la dïi tiondela résultante des forces AN, AB. Il faudrait di qu'en la composant avec la force représentée par BM, qu'on peut supposer appliquée au point A, on trouvât résuliante des deux forces données , qui est dirigée suiv AH par hypothèse ; ce qui est absurde , puisque cette dti

Il COURS DB HÉUNIQUE.

lion n'est pas comprise dans l'angle CAM des deux forces composantes.

Donc, quel que soit le rapport des forces, leur résultante est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui les représentent.

i5. Il reste encore à déterminer l'intensité de la résultante des deux forces P, Q. Pour cela nous observerons que si nous appliquons suivant la direction AX [fig- 6) , opposée à celle de la diagonale AI, une force R égale à la résultante, il y aura équilibre entre les trois forces P, Q, R. La force Q, par exemple, sera donc égale et opposée à la résultante des deux autres P, R ; et, par conséquent , si par le point P nous menons une parallèle à AX, qui coupe en B le prolongement de AQ, et que, par le point B, nous menions BC parallèle à AP, la longueur AC représentera la force R; car toute autre grandeur, conjointement avec AP, donnerait un parallélogramme dont la diagonale serait différente de AB. Mais AC = BP = AI ; donc la résultante des deux forces P et Q est égale à AI ^ et , par conséquent , la diagonale du parallélogramme construit sur lés deux forces représente, en grandeur et en direction, la résultante de ces forces.

Lesdeux forces P, Q, et leur résultante R, sont donc les trots côtés d'un triangle dont les angles sont respectivement ceux que la direction de la résultante forme avec "e des deux autres , et le supplément de l'angle que forât entre elles ces deux dernières. Chaque force peut ic être représentée par le sinus de l'angle des deux au- >; ce qui s'exprimera ainsi :

P:Q:R:: sioQRlsinPR: sinPQ; a , de plus ,

pKiHtEBC *nnte. — sTiTiQrR. i3

Si l'angle PQ est droit , ces relations devicnncul

P = R cos PR, Q =: rt cosQR, R' = P' + Q'.

Toutes les questions que l'on peut se proposer sur la composition de deux forces appliquées à un même point, on sur la décomposition d'une force en deux autres , sont doue ramenées à la construction ou à la résolution d'un triangle ; et il serait superflu d'entrer dans plus de détails k cet égard.

Composition et équilibre de forces en nombre quelconque appliquées à un point libre.

16. La résultante de deux forces appliquées à un même point étant représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui représentent ces forces en grandeur et en direction, il s'ensuit que pour avoir la résultante d'un nombre quelconque des forces P, P', P", etc. , appliquées à un point A, et représentées par les droites AP, AP', AP", etc. , on pourra composer d'abord les deux forces P et P', puis leur résultante avec P", cette nouvelle résultante avec P*", et ainsi de suite, jusqu'à la dernière force. D'où il suit que si l'on consUuit un polygone APBCD {fig--^), dont l"'' côtés soient égaux et parallèles aux droites AP, AP', et et que l'on joigne le point A au dernier sommet D, la lt{ AD représentera, en grandeur et en direction, la rés tante de toutes les forces.

On conclut de là que la condition nécessaire et su santé pour que les forces appliquées à un point libre soii en équilibre, consiste en ce que le point extrême D seci fonde avec le point A ; c'est-à-dire que le polygone APB. , soit fermé. Lorsque les forces sont au nombre de trt et que leurs directions ne sont pas dans un même plan,

]4 COUBS DE MÉCANIQUE. #

est facile de voir que la construction indiquée donne , pour la grandeur et la direction de la résultante , celles de la diagonale du parai] élipipèdc construit sur ces trois forces.

17. Les polygones fermés , plans ou gauches, jouissent de cette propriété , que si on les parcourt entièrement dans Tun ou Fautre sens, la somme des produits de chaque coté par le cosinus de l'angle que fait la direction suivant laquelle il est parcouru, avec une direction fixe, est égale à zéro.

Donc, lorsqu'un système de forces appliquées à un point libre est en équilibre, la somme des produits de ces forces par les cosinus des angles formés par leurs directions avec une même direction quelconque est nulle. Réciproquement, si cette propriété avait lieu relativement à une direction quelconque , le polygone serait nécessairement fermé 5 et , par conséquent, il y aurait équilibre. Mais il est facile de voir qu'il suffît pour cela qu'elle ait lieu pour trois directions partant d'un même point et non comprises dans un même plan; car, si le polygone n'était pas fermé, la somme dont il s'agit ne pourrait être nulle que pour les directions perpendiculaires à la droite qui joindrait les deux sommets extrêmes ; or cette droite ne peut pas être perpendiculaire à trois directions partant d'un même point, et non comprises dans tin même plan. Donc , si la somme est nulle pour ces trois directions, le polygone est fermé, et il y a équilibre. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Pour que des forces appliquées à un point libre se dé" truisent, il est nécessaire et suffisant que les sommes des projections de ces Jorces sur trois directions non corn-prises dans un même plan, soient séparément égales à zéro.

Il est clair, d'après ce qui précède, que dans cet énoncé nous regardons comme positives les projections des forces qui font un angle aigu avec la direction fixe, et comme négatives , celles des forces qui font un angle obtus. Le plus

PBEMliAB AimiB. — STATIQUE. l5

ordînaîreineiit^on prend ces trois directions perpendiculaires entre elles. Si donc on désigne par «, S, y les angles formés par la direction d'une force quelconque P, avec les directions des axes positifs X^ Y, Z, et que Ton désigne par le signe Z la somme des termes semblables relatifs à toutes les forces, les conditions de Téquilibre seront exprimées par les équations

2Pcosa = o, lPcos€ = o, 2Pcos7 = o.

18. Si les forces ne sont pas en équilibre, désignons par R leur résultante , et par a , & , c les angles formés par sa direction avec les axes : il y aura équilibre en introduisant dans le système une force égale à R et directement opposée , c'est-à-dire faisant avec les axes les angles n — a, TT — i, TT — c, dont les cosinus sont égaux et de signes contraires à ceux de a , &, c ^ on aura donc

iPcosa — Rcosfl=o, 2Pcos§ — Rcos^ = o, 2PCOS7 — Rcosc = 0, ou

Rcosfl = XPcosa, Rcos^ = iPcosê, Rcosrrr SPcos^.

Ces équations s'obtiendraient immédiatement par la considération du polygone APBDA , qui montre que la projection de la résultante sur une direction quelconque est égale à la somme algébrique des projections des composantes. Elles déterminent la direction et la grandeur de la résultante. Si Ton fait, pour abréger,

2Pcosa=X, 2Pcos6 = Y, 2PcoS7 = Z, ou trouvera R == ^/X' -+-¥'-+- Z%

cos^ï = — ^ cos^ = — , cosr = ^.

19. L'expression de la résultante peut être rendue indépendante de la direction des axes. En effet, si on forme les carrés de X, Y, Z, en observant que cos* a ■+- cos' S -+- cos* 7 = 1, et que pour les directions de deux forces P et P' faisant

entre elles un angle désigné par PP', on a

cos a cos af + ces ê ces 6' -f- ces 7 cos 7' = ces PP' ,

on obtiendra

R» = IPM- 2 2PP' ces PP'.

20. On peut obtenir ces résultats par des considérations différentes. Si , suivant la règle du parallélipipède des forces, on décompose chacune des forces P, P', etc., suivant les trois axes rectangulaires , les composantes de la force quelconque P seront Pcosa, Pcosê, Pcosy, et Ton remarquera que , d'après les signes des cosinus , ces composantes seront positives quand elles agiront dans le sens des axes positifs, et négatives quand elles agiront en sens contraire. Donc, si Ton fait la somme algébrique des composantes qui sont dans le même axe, on aura la grandeur et le signe de la force à laquelle elles se réduisent. Ainsi toutes les forces seront remplacées par trois autres , agissant suivant les axes, et ayant pour valeurs respectives

sPcosa, sPcosê, 2PCOS7.

Or il ne pourrait y avoir équilibre si elles n'étaient pas nulles séparément, car elles se composeraient en une seule qui ne serait pas nulle; les conditions nécessaires et en même temps suffisantes pour l'équilibre sont donc

2Pcosa = o, 2Pcos6 = o, 2Pc0S7=:O.

S'il n'y a pas équilibre , ces trois forces donneront pour résultante du système, la diagonale du parallélipipède dont

PAKMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. | «J

elles seront les arêtes. Si donc on pose