PcoSa=:X, 2PcosÇ=rY, 2Pcosy=Z

on aura

R = s/X' 4- Y» -h Z% et

CCS a =: —j COS = —-y cos c = — • K- R R

21 . Cas général ou les axes sont obliques . — Si les trois directions , choisies pour la décomposition d^ forces , ne sont pas rectangulaires, il sera toujours nécessaire et suffisant que les sommes algébriques dès composantes soient nulles suivant chaque axe, en aflectant de signes contraires celles qui sont en sens opposé. Les trois équations de l'équilibre n'ont pas la même forme, parce que les parallélipipèdes sont obliques; mais elles constituent un système équivalent à celui que donneraient trois axes rectangulaires, puisque Tun et Tautre système sont nécessaires et suffisants pour l'équilibre. Si Ton désigne par Xi, Yj, Zi les composantes ppsitives ou négatives de Tune quelconque des forces données , toutes ces forces pourront être remplacées par trois forces dirigées suivant les axes et représentées, en grandeur et en signe , par les trois sommes

Les trois forces qu'elles représentent sont donc les composantes de la force qui peut remplacer les forces données , c'est-à-dire de leur résultante, et les conditions d'équilibre de ces forces seront expriniées par les équations

On arriverait aux mêmes conséquences par la considération des projections des côtés du polygone fermé, parallèlement à trois plans non parallèles à une même droite j vi pouvant former un système de plans coordonnés.

]8 COUHS DE MECANIQUE.

22. Nous appellerons quelquefois /brce estimée suivant une direction, la projection de cette force sur cette direction ; c'est la composante déterminée que l'on trouve en décomposant la force en d'autres , dont Tune soit dans cette direction et les autres dans le plan perpendiculaire. Ainsi, dans les formules précédentes, Pcosa, Pcosê, Pcosy sont respectivement les valeurs de la force P estimée suivant les axes des x, des j^ et des z.

Equilibre d'un point assujetti à rester sur une surface

ou une courbe fixe.

23. Si un point , situé sur une surface qu'il ne peut quitter, est sollicité par une force normale à cette surface, il restera en équilibre; car toutes les directions suivant lesquelles il pourrait se mouvoir étant semblablement placées par rapport à la force, il n'y a aucune raison pour qu'il prenne Tune plutôt que l'autre , et , par conséquent, il n'en prendra aucune : ce principe est confirmé par toutes les expériences. Mais si le point est sollicité par une force oblique , on peut la décomposer en deux autres, dont l'une soit normale et l'autre dans le plan tangent; la première est détruite par la résistance de la surface , mais rien ne s'oppose à ce que la seconde metie le point en mouvement , si l'on suppose qu'il puisse se mouvoir librement sur la surface dans toutes les directions. C'est ce qui n'aurait pas nécessairement lieu s'il y avait ce que l'on appelle un frottement; mais nous en faisons abstraction pour le moment, et nous supposons tous les mouvements entièrement libres sur la surface.

Une surface ne pouvant donc détruire que les forces qui lui sont normales, produit toujours le même effet qu'une force égale à la somme de celles qu'elle détruit et agissant dans la direction normale opposée. Il en est de même de la

résistance d'une courbe sur laquelle un point peut se mouvoir librement. Elle détruit les forces dont la direction est comprise dans le plan normal mené au point d'application, et n'en détruit aucune autre. Sa résistance pourrait donc toujours être remplacée par une force normale, égale et contraire à la résultante de celles qu'elle détruit.

24. Cela posé, soit F (j:, y^ z) = o Téquation d'une surface sur laquelle doit rester un point sollicité par des forces quelconques,?, P',etc.; il n'est plus nécessaire, pour son équilibre, que ces forces se détruisent^ il suffit que leur résultante soit normale à la surface, et, par conséquent, que les cosinus des angles formés avec les axes par la direction de la résultante soient proportionnels à ceux qui se rapportent à la normale. Or les premiers sont enti-e eux comme les quantités désignées précédemment par X, Y, Z. Les autres peuvent s'exprimer en fonction de a:, j-, z au moyen de l'équation de la surface; désignons-les par cos a , cos h , cos c.

Les conditions d'équilibre «ont donc exprimées par les i \

équations ^----^^-^-^ \ fC ur^p^ - a ';

X Y Z < at^^- ^

COSâ;

Si ces équations n'étaient pas satisfaites, il n'y aurait pas équilibre; et si Ton voulait savoir en quel point de la surface les forces proposées seraient détruites, il faudrait trouver les valeurs de a: , j^, 2 , qui satisferaient à ces deux équations et à celle de la surface.

Si la surface ne résistait que dans un sens, il faudrait s'assurer si la résultante des forces agit dans le sens contraire , sans quoi elle ne serait pas détruite. Ce cas est celui d'un point qui ne serait que posé sur une surface qu'il ne pourrait pénétrer, mais dont il pourrait être détaché.