Il est bon de remarquer que l'on a , pour une force

quelconque , xY — jX = -r—^ 6 désignant Tangledes axes.

En eiTet, une force P peut être remplacée par une force égale et parallèle appliquée à l'origine, plus le couple P^ ; et elle peut aussi être remplacée par les deux forces X , Y appliquées à l'origine , plus deux couples dont les moments sont xY sin9 et — /X sinô. Les deux forces X et Y se composent en la force P , appliquée à l'origine : il est donc nécessaire que les deux couples se réduisent au premier ; d'où j^'on conclut

JF Y sin — jX sin = P/> , ou *

a:Y~rX=r^, smô

et Ton voit clairement comment les équations

2(xY — jX)=:o et lVp = o

peuvent se remplacer l'une l'autre.

Si les axes sont rectangulaires , Tcquation précédente devient

xY — /X= P (j:cos 6 — 7COS a) = Pf> ou

X cos 6 — y cos cl = p.

Remarques sur la réduction d*un sjstème de forces.

65. Nous avons démontré qu'un système de forces appliquées à des points liés invariablement entre eux, mais libres dans l'espace, potivait toujours être réduit à une force unique et un couple; cette force est la résultante de toutes celles du système, transportées parallèlement à ellesmêmes en un point choisi arbitrairement, et que nous nommerons V origine. Elle est donc toujours la même eu grandeur et en direction ; son point d^application peut seul changer : il est entièrement arbitraire. Quant au couple résultant, il dépend du point où l'on a transporté toutes les forces. Si on le décompose en deux autres, dont l'un ait son axe dans une direction donnée et l'autre dans une direction quelconque perpendiculaire , le premier est égal , comme nous l'avons démontré n^ 57, à la somme des moments de toutes les forces par rapport à la droite menée par l'origine suivant la direction donnée. Nous allons faire quelques remarques importantes sur les moments relatifs aux droites qui passent par un même point , et sur les changements qu'ils éprouvent quand ce point se déplace. Nous les avons reportés à la fin de la Statique, afin de ne pas entraver la marche du cours. Ce que nous allons dire est

58 COURS DK MÉCANIQUE.

extrait de l'ancien Mémoire de M, Poiusot, sur la composition des moments.

66. Moments par rapport aux différents axes guipassent par un même point. — La somme des moments de forces quelconques par rapport à un axe s'obtient, conmie nous l'avons vu, en projetant sur cet axe les trois sommes relatives aux axes coordonnés rectangulaires qui passent en ce point, ou plus simplement, en projetant le moment résultant ou celui du couple résultant sur ce même axe. Ainsi, quand on aura déterminé en direction et en grandeur l'axe du couple résultant relatif à une certaine origine , il suffira de le projeter sur une droite quelconque passant par ce point, pour obtenir la somme des moments des forces par rapport à cette droite. D'où résultent les propositions suivantes :

Si Von considère les sommes des moments d'un système quelconque de forces par rapport à toutes les droites qui passent par un même points la somme maximum sera celle qui correspondra à l'axe du couple résultant relatif à ce point pris pour origine»

La somme des moments sera la même pour toutes les droites qui feront le même angle a^ec l'axe du couple résultant. Elle sera nulle pour toutes les droites perpendiculaires à cet axe,

67. Comparaison des moments maxima relatifs à différents points, — Soient A (fig» 20) une origine quelconque, AR la résultante des forces transportées en ce point, et AM la direction et la grandeur de Taxe du couple résultant correspondant. Pour obtenir le couple résultant relatif à une autre origine quelconque, il suffirait de composer avec le premier un nouveau couple formé de la force R et d'une force R' parallèle et contraire menée par A' 5 d'où l'on conclut d'abord que si A' est sur la droite AR, ce dernier couple est nul , et le couple résultant

PREMIÈRE AlYNEE. — STATIQUE. 5^

est le même qu'au point A. On a donc cette première proposition :

Le couple résultant est le même en grandeur et en direction pour tous les points d'une même droite quelconque parallèle à la résultante.

En d'autres termes : Pour tous les points d'une même droite parallèle à la résultante y les axes de moment maximum sont parallèles, et ce moment a la même valeur.

Supposons maintenant que le point A' ne soit pas sur la direction AR de la résultante relative au point A, le couple qu'il faudra composer avec AM aura sou axe perpendiculaire au plan RAA', et, par conséquent , à la droite AR. Si Ton. fait mouvoir le point A', cet axe pourra prendre toutes les directions dans le plan perpendiculaire à AR; aucune ne sera celle de AM si l'angle 9 n'est pas droit , c'est-à-dire si le système des forces n'a pas de résultante unique : ainsi, en exceptant ce cas particulier, la direction de l'axe du couple résultant sera différente de AM si A' n'est pas sur AR. Les directions diverses de l'axe du couple RR' feront avec AM, les unes un angle aigu , les autres un angle obtus , si AM et AR n'ont pas la même direction. Les axes qui feront un angle aigu avec AM donneront un couple résultant plus graud que AM; ceux qui feront un angle obtus pourront donner im couple résultant plus grand ou plus peti t que AM, . ^

suivant la grandeur du moment du couple R, R' qui peut /m s/ varier de zéro à l'infini , en changeant la distance de A! k-^'-^^ ''' AR. D'où Ton voit que le moment maximum relatif au ^^rf^^u point A , comparé à ceux qui correspondent aux divers axes ^ ^ , passant par A', sera plus petit que les uns et plus grand que 'S

les autres , si les directions AM, AR sont différentes ; mais '- ^ ^^, "> 7 '^ si elles se confondent , les deux couples à composer auront j^ x - /jfj,* toujours leurs axes perpendiculaires entre eux, et, par con-

6o C()URS DR MÉCANIQUE.

séqueiit, donneront un couple résultant plus grand que AM. D'où résulte celte proposition :

Le point de V espace pour lequel le moment du couple résultant est le plus petit, est celui pour lequel la direction de Vaxe de ce couple se confond auec celle de la résultante.

Et, d'après ce qui vient d'être établi tout à l'heure, si Ton trouve un point jouissant de cette propriété , tous les points de la parallèle à la résultante menée par ce point en jouiront de même; et tous les axes des couples résultants, ou , en d'autres termes , les axes pour lesquels la somme des moments des forces est maximum , considérés pour tous les points de cette droite, se confondent, puisqu'ils sont parallèles à cette droite même; de sorte qu'il n'existe dans l'espace qu'un seul axe tel , que la somme des moments des forces par rapport à lui soit plus grande que par rapport à toute autre droite menée par un de ses points , et en même temps soit moindre que la somme maximum , relative à tout point situé en dehors de lui. C'est à cet axe que M. Poinsot donne le nom d'axe central des moments.

68. Détermination de Vaxe central. — Pour obtenir Taxe central, il faut choisir le point A', de telle sorte que la perpendiculaire au plan RAA', ou l'axe du couple RR', soit dans le plan MAR. Il suffira , pour cela , de prendre A' dans le plan mené par AR perpendiculairement au plan MAR , et du côté de AR , pour lequel le sens du couple donnera à l'axe la direction AN et non la direction opposée, parce qu'il faut que AR soit dans l'angle des directions des deux axes composants. Cela posé, il suffira de prendre le point A' à une distance de AR telle, que le moment du couple soit égal au côté MB du parallélogramme MB AN. Si donc on désigne par G le moment du premier couple résultant AM; par K celui du nouveau couple résultant; par />

PREHIÈIIE ANNLK. — STATIQUE. Gl

la distance de .V à AR 5 par l'angle MAR , le moment du couple RR' sera Rp, et Ion aura