LX -+- MY -h NZ

ces 9 = -r

GR

^ , LX -+- MY -h JNZ

K = G CCS = -—3 — , Kp = G sin 0.

Le point A' est ainsi détermine autant qu'il doit rétre-, ce sera l'un quelconque de ceux de la parallèle à AR menée à

la distance — - — deAR, dans le plan perpendiculaire au

plan MAR conduit suivant AR , et du côté de AR que nous avons indiqué. Si l'on veut prendre en particulier le point situé sur la perpendiculaire au plan MAR mené par A, ses coordonnées a^b^ c se détermineront par les équations suivantes 5 en prenant le point A pour origine : ^ ^

. , G' Siii' & r >^ I

R» U.^^c^Ti^ ^C.,,iu,^* *'. * ^

flX4-^»Y + cZ = o, tfL-hZ»M4-cN = o. "

Les deux dernières expriment que la droite A A' est perpendiculaire sur la résultante , dont les composantes sont X, Y, Z, et sur Taxe du couple résultant , dont les axes composants sont L, M, N. La première exprime que la longueur A A' est égale à p. Ces trois équations donnent deux points dont les coordonnée3 sont égales et de signes contraires ^ mais un seul devra être choisi : c'est celui qui donne au couple RR' le sens que nous avons indiqué précédemment.

Le point A' étant ainsi déterminé , la parallèle à la résultante menée par ce point sera Vaxe central, et , nous le répétons , la direction de cet axe est, pour un quelconque de ses points, celle de Taxe du moment maximum-, et ce moment est moindre que le maximum correspondant à tout autre point de l'espace.

rv'

69. Disposition de tous les axes autour de Vaxe central, — Concevons un plan quelconque perpendiculaire à Taxe central; ce que nous dirons de tous les points de ce plan s'appliquerait identiquement à ceux de tout autre plan parallèle, et, par conséquent, à tous ceux de l'espace.

Soient AR [fig- 21) cet axe, et A' un point quelconque 4 du plan perpendiculaire mené par A. Eii prenant ce nouveau point pour origine , il faudra composer le couple résultant dont Taxe est AM en direction et en grandeur, avec le couple situé dans le plan RAA', ayant pour moment Rp, p désignant la longueur AA'. L'axe du couple résultant sera, en direction et en grandeur, la diagonale AB du rectangle construit sur AM et la ligne AN égale à R^ et perpendiculaire au planRAA'. Désignons par ç l'angle de Taxe résultant avec Taxe central, et par H le moment résultant; on aura

Les valeurs de K et op ne dépendant que de /?, il s'ensuit que pour tous les points d'une même circonférence décrite du centre A dans le plan perpendiculaire à AR, les moments maxima sont égaux et leurs axes forment un hyperboloïde de révolution autour de l'axe central, dont la circonférence que l'on considère forme le cercle de gorge, et le demi-axe imaginaire de l'hyperbole génératrice a pour

valeur -• Si Ton prend p comme abscisse, et le moment

correspondant K comme ordonnée , on construira, d'après l'équation ci-dessus, une hyperbole dont l'axe réel sera dirigé suivant AR et aura pour valeur 2G, Son demi-axe îma-

ginaire sera - comme pour l'autre hyperbole.

Ainsi , l'axe central jouit de la propriété, que pour tous les points d'une surface cylindrique quelconque dont il est

Taxe, le momeDt maximum a la même valeur; l'axe de ce moment a la même direction pour tous les points d'une même arête de ce cylindre \ il change de direction en passant d^une arête à une autre , en conservant la même inclinaison sur Taxe et la même distance. La valeur du moment maximum augmente indéfiniment avec la distance de l'origine à l'axe central ; et l'angle de son axe avec Taxe central a pour limite Tangle droit.

70. Cas où le système des forces a une résultante. — Si l'on prend pour origine un point quelconque de cette résultante, le couple correspondant sera nul, et, par conséquent, cette droite sera Taxe central lui-même. Les formules précédentes donnent , en effet , p = o quand on suppose G = o. Si maintenant on prend une origine quelconque en dehors de la résultante unique , on aura un couple résultant dont le plan sera celui qui passera par l'axe central et la nouvelle origine. Ainsi, dans ce cas particulier, tous les points d^un même plan quelconque passant par la résultante unique donnent des couples résultants, dont les axes sont parallèles.

Mais les moments de ces couples ne sont pas égaux ; ils sont proportionnels à la distance de l'origine qui leur correspond à la résultante générale. Ils n'ont donc la même valeur que pour les points situés sur deux parallèles équidistantes de cette résultante, et, de plus, le sens de ces couples n'est le même que pour les points d'une même parallèle.

Cas oà la résultante est nulle. — Si la résultante est nulle, le changement d'origine n'introduit aucun nouveau couple, et, par conséquent, le couple résultant a toujours le même moment , et son plan la même direction , quelle que soit l'origine où l'on transporte les forces.

6^ COURS DE MKCANIQUE.