Lorsque la matière qui compose le corps est liomo

gène, les volumes égaux ont des poids égaux. Si la matière de deux corps homogènes est différente , le poids est généralement différent pour des volumes égaux. On appelle /70///5 spécifique d'une substance homogène le poids de Puni té de volume, ou, ce qui est la même chose, le rapport du poids d'un volume quelconque de cette substance à ce volume même. Dans les Tables que l'on a formées, on rapporte ces poids spécifiques à celui de Teau distillée , prise à la température où sa densité est la plus grande , et qui est d'environ 4 degrés au-dessus de zéro 5 quant aux autres corps, on les suppose pris à la température zéro. Les moyens employés pour sa formation se rapportent à la physique, et nous ne nous en occuperons pas.

Le poids qu'on a choisi pour terme de comparaison est celui de 1 centimètre cube d'eau distillée , prise au maximum de densité, et considéré à l'Observatoire de Paris 5 on le nomme gramme. Les nombres renfermés dans la Table des poids spécifiques expriment donc le nombre de grammes que pèse i centimètre cube de ces substances, prises à la température zéro.

109. Si le corps n'est pas» homogène , le poids ne sera plus proportionnel au volume. Pour se faire une idée nette de ce que l'on doit entendre par poids spécifique d'une substance en un point donné , on en considérera une portion infiniment petite , dont ce point fera partie, et l'on prendra le rapport de son poids à son volume 5 on aura ainsi son poids spécifique moyen 5 lorsque ce volume tend vers zéro, le rapport tend vers une limite que l'on appelle le poids spécifique de la substance en ce point. Si la nature de cette substance change d'une manière continue, le poids spécifique sera une fonction continue des coordonnées des différents points; et si cette fonction est donnée, ainsi que la figure du corps , on peut encore se proposer d'en déterminer le centre de gravité. On voit, d'après celte défini-

lion , qu^un volume infiniment petit du corps aura un poids qui ne différera que d'une quantité infiniment petite, par rapport à lui-même , du produit de ce volume par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points. Cette quantité pouyant être négligée sans erreur dans les résultats des questions qui ne dépendent que des limites des sommes ou des rapports , il s'ensuit que le poids spécifique tel que nous Tavons défini joue absolument le même rôle dans le cas des corps non homogènes que le poids spécifique défini d'abord dans les corps homogènes -, seulement , il ne faut l'appliquer qu'à des volumes infiniment petits dans tous les sens.

410. Quoique les surfaces et les lignes ne puissent avoir de poids, puisqu'elles ne sont que des limites d'étendue et ne renferment aucune partie matérielle, on les considère néanmoins comme ayant un centre de gravité. On suppose alors quelles sont soumises à l'action de forces parallèles, qui, dans le cas de l'homogénéité , donnent des résultantes égales pour des parties équivalentes 5 et l'on donne l'intensité de cette force pour Tunité de surface ou de longueur. En partant de cette hypothèse, et considérant toujours les surfaces et les lignes comme on le fait dans la géométrie, il n'y a rien que de clair dans la recherche du centre de ces forces parallèles, qu'on nomme, par analogie, centre de grav^ité.

Si les résultantes n'étaient pas égales pour des aires équivalentes, on concevrait, pour un point quelconque, une portion infiniment petite renfermant ce point, et on prendrait le rapport de la résultante de cette portion à son aire. La limite de ce rapport sera déterminée, et nous lui donnerons , par analogie , le nom de poids spécifique de la surface en ce point; ce poids spécifique sera une fonction connue des coordonnées des points de la surface , et le centre des forces parallèles , que l'on désignera encore sous le nom de centre de gramté, sera entièrement déterminé.

Les mêmes considérations s'appliquent au cas d'une ligne dans laquelle des arcs égaux ne donneraient pas des résultantes égales.

m . Les corps sont réellement composés de parties trèspetites, séparées les unes des autres 5 mais il n'y a aucun inconvénient à les supposer formés d'une matière continue 5 car cela ne produira d'autre effet que de changer de quantités insensibles les points d'application des forces , et il n'en peut résulter aucune erreur appréciable dans les résultats.

i 12. Lorsque Ton connaît les poids et les centres de gravité de corps en nombre fini, le théorème des moments donne immédiatement la position du centre de gravité du système. Si l'on désigne par P un quelconque des poids, par x, y, z les coordonnées de son centre de gravité, et par Xi, j^i, Zi celles du centre de gravité du système, on aura

s Pot 2Pj SPz

Ces formules subsistent, quel que soit le nombre de corps, et quelque petits qu'ils soient chacun. S'ils diminuent indéfiniment, et que leur système tende vers une certaine limite, les limites des valeurs de x,, j^,, Zi seront les coordonnées du centre de gravité de cette limite^ et leurs valeurs ne seront pas altérées, si l'on néglige, dans tous les termes de ces sommes, des quantités infiniment petites par rapport à ces termes mêmes.

Détermination des centres de gravité.

113. Lorsqu'un corps de nature quelconque est infiniment petit dans tous les sens , son centre de gravité est à une distance infiniment petite d'un quelconque des points

PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. lOQ

de ce corps , car, si Ton compose successivement toutes les forces , en partant d'un point quelconque du corps , les points d'application des résultantes successives étant toujours compris entre les deux points d'application des forces que l'on compose , resteront constamment à une distance infiniment petite de tous les points du corps. Cette simple observation permet de ramener au calcul la détermination des centres de gravité des corps, sans aucune recherche préalable. Il suffira, pour cela , de les décomposer en éléments infiniment petits dans tous les sens , parce qu'alors on pourra prendre pour centre de gravité de ces éléments un point quelconque de leur surface ou de leur intérieur, ou même en dehors, et à une distance infiniment petite^ car on n'altérera qu'infiniment peu les coordonnées du centre de gravité de chacun de ces éléments , et , par conséquent , son moment ne sera en erreur que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. Donc la limite de la somme des moments ne sera pas altérée y et l'on peut établir cette proposition générale :

Le produit du poids d'un corps par la distance de son centre de grai^ité à un plan quelconque, est égala la limite de la somme des produits des poids de chacun de ses éléments infiniment petits en tous sens, par les distances d'un quelconque des points de ces éléments respectifs^ ou d'autres points infiniment voisins, à ce même plan.

Si le corps est homogène , le poids d'une quelconque de ses parties est égal à son volume multiplié par le poids spécifique de la substance \ mais , s'il ne l'est pas , le poids d'un élément sera égal à son volume multiplié par un poids spécifique moyen , qui ne différera que d'une quantité infiniment petite du poids spécifique de la substance en un quelconque des points de cet élément. Ainsi, dans ce cas, on multipliera le volume infiniment petit de l'élément par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points

OU des points infiniment voisins; et, en substituant ce produit au poids réel de rélément, il n'en résultera aucune erreur dans la limite de la somme des poids et de leurs moments.

Il est facile de voir comment toutes ces considérations s^ appliquent aux surfaces et aux lignes. Nous allons les examiner successivement.

Centres de gravité des lignes.

114. Les équations d'une ligne dans l'espace déterminent deux coordonnées en fonction de la troisième , par exemple y et z en fonction de x. L'expression de Félément

de la ligne est dxi/ i-h — -|- — = di, et son poids pds,

p étant une fonction connue de jc, qui exprime le poids spécifique de la ligne au point que l'on considère. En appelant P le poids dont les extrémités correspondent aux abscisses jTq, X , on aura

I pds, Pj:, = I pxds,

f pfds, Pz, = / pzds;

d'où Ton tirera P, .3:1,^1, Zi.

Si la ligne est homogène, p est constant, - est la longueur 5 de l'arc , et Ton a simplement

f yds, çz, = I zds.

PREHIÈEE ANN^E. — STATIQUE. I I I

Si la ligne est plane , on la supposera dans le plan XY, et il suffira de faire z = o dans les premières ou les secondes formules, suivant que cette ligne a un poids spécifique variable ou constant. Dans ce dernier cas, elles deviennent

Centres de gravité des surfaces.

H5. Si l'on conçoit une surface courbe décomposée en éléments infiniment petits dans tous les sens, par deux séries de plans , les uns perpendiculaires à Taxe des x^ les autres à Taxe des j^, nous avons vu que Ton pouvait prendre, au lieu de l'élément même de la surface , Texpressiou

dxdy \/ï-t~(7-)~^"(7")' ^^ nous représenterons par

JA. Soit p la fonction de x et y, qui exprime le poids spécifique en un point quelconque de la surface \ le poids de cet élément sera pdA. , et ses moments seront pxdA , pjdA , pzdA'^ on aura donc, en désignant par P le poids de Faire totale que l'on considère ,

P=///;rfA, T?x,=ffpxdA, Vr,=fjpxdk, Vzy^zfjpzdk.

Les limites de ces intégrales sont les mêmes que pour la

quadrature des surfaces courbes.

Si la surface est homogène, p est constant et - est l'aire

totale que nous représenterons par A : on aura alors

k^fjdxdysjx-^i^-^i^. kx.^JJxdk, Ky.^ffydk, kz.^Sfzdk.

H6, Surfaces de résolution, — Le centre de gravité d'une surface de révolution homogène est évidemment situé sur son axe. Si on le prend pour axe des x^ on aura

ji = o, z, = o

et il suffira de connaître Xi. Si Ton considère la partie de la surface comprise entre les deux plans correspondants aux valeurs o^o et X, on aura , en désignant son aire par A , et par y l'ordonnée de la génératrice , w

A = 27f I ydx W I 4- , Aa:, z=ziit \ yxdx i/

On connaîtra ainsi A et ensuite x^.

H7. Surfaces planes. — Lorsque la surface est plane, on la rapporte à deux axes situés dans son plan.

Les formules générales s'appliqueront a ce cas en y supposant z = o\ elles deviennent alors

^^Sfpd^ày, Vx,-=iffpxdxdy, "^Jx—ffpydxdy.

On intégrera d'abord par rapport à y entre les deux valeurs /o ) Y qui sont des fonctions de x données par Féquation de la courbe qui termine la surface. On aura ainsi des fonctions de X qu'on intégrera entre les valeurs extrêmes Xq , X.

Si la surface est homogène, p est constant, - est Faire

P A , et l'on aura

^ —SS<^dy, kx, ^ffxdxdxy A j, ^ffydx dy, ou

^==jf (Y-ro)^/^, ^•^•= r {^-y,)xdx.

PREMIÈRK ANNÏK. — STATIQUE. Il3

H8. Corps solides, — Décomposons le corps en une infinité de tranches par une série de plans perpendiculaires à Taxe des x\ coupons-le ensuite par une série de plans perpendiculaires à Taxe des j^ : les parties comprises entre deux plans consécutifs d'une série et deux plans consécutifs de l'autre seront précisément celles que nous avons considérées dans la mesure des volumes en général. Mais, comme nous devons prendre ici des éléments infiniment petits dans tous les sens , nous supposerons une troisième série de plans perpendiculaires à l'axe des z^ et le corps se trouvera décomposé en parallélipipèdes* rectangles ayant pour arêtes dx^ dy^ dz.

Pour chacun de ces parallélipipèdes dont les coordonnées de deux sommets opposés sont x^y^ z et x •+- dx^ y -h dy^ z-h dz^ on prendra a:, y, z au lieu des coordonnées du centre de gravité, et la fonction p qui exprime le poids spécifique sera rapportée aux mêmes valeurs x^y^ Z'^ nous avons prouvé que la limite de la sonmie des moments n*en sera pas altérée. De cette manière, le poids et les moments de cet élément par rapport aux plans coordonnés pourront être remplacés respectivement par

pdjcdydZf pxdxdydz^ pjrdxdydz, pzdxdjrdz.

Soient ^oj Z les fonctions de xely qui expriment les ordonnées de la surface inférieure et de la surface supérieure du corps \ on fera d'abord la somme des éléments en supposant que xely restent constants, et que z passe par toutes les valeurs entre ^o ^ Z ^ c'est-à-dire qu'on intégrera ces expressions par rapport à z entre les limites ^o> Z, et l'on obtiendra ainsi des fonctions de x et j^ seulement, qui exprimeront le poids et les moments de la partie du corps comprise entre quatre plans infimiment voisins, dont deux sont perpendiculaires à l'axe des x et les deux autres à l'axe

Il4 COURS DE MECANIQUE.

des y. Ces fonctions auront pour expressions

pdz^ xdxdy j pdz,

J/»Z pZ

I pdz^ dxdy ï pzdz.

Pour avoir le poids et les moments du volume compris entre les deux plans perpendiculaires à Taxe des x^ il faudra intégrer ces fonctions de jc et j^ par rapport ky en considérant X comme constant , et prenant pour limites de y les deux fonctions de x qui expriment les ordonnées de la courbe qui est la projection de la surface sur le plan XY, et que nous avons donné le moyen de déterminer dans le Cours d'analyse. Désignant par j^o et Y ces fonctions connues de X , les sommes relatives à la partie comprise entre les deux plans seront

dx j dy l pdz^ xdx j dy j pdz,

dx j ydy j pdz, dx ï dy l pzdz.

Ces quatre expressions ne renferment plus que la variable or, et on les intégrera entre les deux valeurs de x relatives aux deux plans perpendiculaires à l'axe des x entre lesquels le corps se trouvera compris. Ces valeurs x© et X sont , en général , celles pour lesquelles les plans tangents au corps sont perpendiculaires à l'axe des x. Dans tous les cas , on saura les déterminer d'après la forme de la surface, et les expressions des sommes seront respectivement

f dx l dy ï pdZy j xdx j dy j pdzj

J/»X /.Y /»Z /»X /»Y nZ

I dx j ydy I pdz, j dx j dy 1 pzdz.

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. I l5

On pourrait effectuer ces intégrations dans un ordre différent et commencer par la somme des éléments pour lesquels x et z seraient constants , ou encore j^ et z. On pourra même suivre un ordre différent pour chacune des quatre expressions si l'on y trouve quelque avantage : on obtiendra toujours les mêmes valeurs définitives, puisqu'elles représenteront le poids du corps et les limites des sommes des moments des mêmes éléments considérés seulement dans un ordre différent. Si nous désignons ces diverses expressions par

Sffp^àydz, JJJpxdxdydz, fffpydxdfdz, fffpzdxdydz,

en faisant les intégrations comme nous Tavons indiqué, les coordonnées x, y^ z seront déterminées , ainsi que le poids P, par les quatre équations suivantes :

Si le poids spécifique est constant, ces équations deviennent , en représentant par V le volume du corps qui est égal

V =JSJdxdydz, yx.^SSJxdxdydz,

yy, = ffjydxdydz, yz,=fffzdxdydz.

On peut effectuer dans ce cas une des int^rations , par exemple celle par rapport à z ^ on aura , en prenant pour limites Zq et Z,

V =zff[Z-z,)dxdy, yx,:=ff{Z^z.)xdxdy, yy. = fS[Z-z,)ydxdy, yz. = kff{Z^-z\)dxdy,

les limites relatives k y eix étant les mêmes que précédemment.

Enfin, si Ton pouvait reconnaître immédiatement le

I l6 COURS DE MÉGANIQUE.

centre de gravité de la partie comprise entre deux plans infiniment voisins, perpendiculaires à l'un des axes, par exemple à Taxe des x, on prendrait ces parties pour les éléments du corps , et il n'y aurait que la seule variable x dans l'expression de leurs moments par rapport à YZ \ une seule intégration donnerait donc le centre de gravité du corps, s'il devait se trouver sur une ligne connue. Nous allons en donner quelques exemples.

119. Solides de réi^oludon, — La substance qui compose le solide de révolution étant supposée homogène , il résulte de la symétrie que le centre de gravité est situé sur l'axe, soit qu'on considère le corps entier, ou une partie comprise entre deux plans perpendiculaires à cet axe. Si , pour plus de simplicité , on le prend pour axe des x , il suffira de trouver Xi , parce que j^j et Zi seront nuls. On aura , dans ce cas , les deux équations suivantes, dans lesquelles Y etj^o désignent les ordonnées des deux courbes qui terminent l'aire génératrice située dans le plan XY :

V^TrT (Y'-rJ)^^, Vx.^'jzf {X' — j\)xdx,

d'où l'on tirera V et o^i .

120. Cylindres. — Si l'on considère un cylindre homogène ayant une base quelconque terminée par un contour polygonal ou curviligne, et qu'on le partage par des plans parallèles aux bases, la somme des moments est nulle par rapport au plan également distant des bases*, le centre de gravité est donc sur ce plan .

Si l'on conçoit ensuite un système de plans infiniment voisins , parallèles entre eux et aux arêtes , le cylindre se trouvera décomposé en parallélipipèdes dont les bases seront les éléments des bases du cylindre, et dont les moments seront proportionnels à ceux de leurs bases, par rapport à -tout plan parallèle à leurs faces finies. Donc les

PREMIÈUE ANNÉE. STATIQUE. 11»^

sommes des moments, soit des faces, soit des parai lélipipèdes, seront nulles pour le même plan. Donc tout plan parallèle aux arêtes , et passant par la ligne qui joint les centres de gravité des deux bases , contient le centre de gravité du cylindre. Donc ce point se trouve et sur cette droite, et sur le plan équidistant des bases; // est donc au milieu de la droite qui joint les centres de grai^ité des deux bases.

121. Si le corps était rapporté à des coordonnées polaires, on emploierait le mode de décomposition indique dans le Cours d^ Analyse ^ mais on chercherait encore les coordonnées rectangulaires du centre de gravité. Les équations entre les coordonnées rectangulaires et polaires sont

z = rcos0, ^ = rsinÔsin;^, x = rsin0cos\|;.

Nous avons vu que l'élément du volume avait pour expression j^^ ûnB dQ d^ dr , Donc l'élément du poids sera pr^ sinOdô d^ dr^ et son -moment par rapport à chacun des plans s'obtiendra en multipliant cette expression , successivement par x^y^ z ou leurs valeurs en 9, i|;, r. On aura ainsi

P = SSJpr'' sin Ô rf ô d^ dr, V Xi=z fffpr^Ûn^^ co^-^ dBd^dr, P j, = fffpr^ sin' G sin ^^ rfÔ t/^p dr , P 2, = fffpr^ sin BcosQ dQd^ dr.

Les limites de ces intégrales sont les mêmes que celles que nous avons indiquées dans la cubature des solides.

Diverses propriétés des centres de gravité.

122. Soit un nombre quelconque de corps ayant respectivement pour poids /?, p', p^'^ et dont les centres de gravite respectifs soient distants du centre de gravité de leur sys-

Il8 COURS DE MÉCANIQUE»

tème, de quantités p, p', p"^ ... ; prenons ce centre pour le point de rencontre de trois axes rectangulaires arec lesquels les lignes p, p', p",. . ., font les angles a, 6, y, a', 6', y', . • . . Le théorème des moments donnera, relativement aux trois plans coordonnés ,

(i) 2/?pcosa = o, 2y?pcos6 = o, 2/>pcos7 = o.

Donc il y aurait équilibre entre dés forces appliquées à un point situé à T origine ^ c est-à-dire au centre de grai^ité du système y dirigées suii^ant les droites p, p',. . ., et proportionnelles aux produits pp,p'p\ La réciproque est évidente.

Si les poids p^p'^* • • sont égaux , les forces sont proportionnelles aux distances du centre de gravité du système, aux centres de gravité des poids égaux qui le composent.