Paraboloïde, — Soient
les équations des deux paraboles principales , et considérons le segment déterminé par un plan perpendiculaire à Taxe principal. Son centre de gravité sera sur cet axe, et il suffit de trouver son abscisse.
Or, on aura
'Vxt= zn^pq I a:^(ix= —^^x\
d'où
Xi — ; r- Xt
m. Ellipsoïde, — Soit Téquation
on aura
d'où
y(^' — x^)xdx
Xi est donc indépendant des axes i, c. Si l'on fait commencer le segment à partir du centre, on aura
PBEMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l33
si Ton fait X = a , il vient
x, = ia.
142. Secteur sphénque. — Les formules que nous avons données en coordonnées polaires s'appliquent avec avantage au volume engendré par un secteur circulaire tournant autour d'un axe, que nous choisirons pour axe des z. On suppose que le poids spécifique p dépend du rayon vecteur p et nullement des angles 9 et ^ : si les limites du premier de ces angles sont O^el 0, celles du second o et air, et celles du rayon , R^ et R , on trouvera
P=^27r(c08Ôt — COSÔ) I A^p*rfp,
Jr.
Pa, = TT (sin» ô — sin* ô,) I />p'^P-
JR.
On ne peut effectuer les intégrations que quand on con* uait la fonction p. Dans le cas où p est constant, on a
P = 29r/7(cO$0« — COSft) 5 -y
R* — R* Pz, = 7r/> (sin* 9 — sin* ô,) -z — ^ ;
d'où
3 (cos Q -H cos e,) (R* >- R;)
Si Ro = o et 00 == o, on trouve
a:, = -^(i H- COSÔ).
Equilibre d'un fit pesant.
Chaînette, — On appelle ainsi la courbe formée par un fil flexible dont deux points sont fixes , et qui est soumise à
|34 COOKS DE VÉCINIQUI.
raction seule de la pesanteur. Toutes les forces étant parallèles, la courbe sera comprise dans le plan verdcal passant par les deux points fixes B et B'. iVous prendrons dans ce plan deux axes de coor^onuées rectangulaires , dont Tun AY vertical et eu sens contraire de la pesanteur. Nous supposerons le fil homogène, et nous représenterons par s son poids pour l'unité de longueur; d'où il suit que e5 sera le poids d'un arc de longueur s, et que l'on aura
Cela posé , les équations générales se réduiront à
d'où l'on déduit immédiatement
, , 'tt ^dr , ify t.
(i) T — = c, T-f = « + ce', ■^ = -s + c'.
' ' ds ds dx c
La première de ces équations montre que ta composante horîsontale de la tension est la même en tous les points. En différentiant la dernière, on trouve
^\sJT^'
btient , en intégrant celte équation ,
PRMII&aB ARKÉE. — STATIQUB. l35
d'où
SX
. ha
Résolvant par rapport à /[? et le remplaçant par -^ ? il vient
dx
dx
(ex tx . \ ha — «\
et la troisième des équations (i) donne, par suite,
(ex ex \
en intégrant -y- 5 on obtient
dx
/ex ex A
Cl étant une nouvelle constante arbitraire. Les quatre con-* stantes c , c', Ci , a se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés , et a une longueur donnée , et que , de plus , les arcs s se comptent à partir du point 6' par exemple.
Nous prendrons , pour plus de simplicité , Torigine des coordonnées en B', et nous désignerons par a et & les coor^ données de B, et par / la longueur totale du fil donné.
Faisant successivement a: = o, j^ = o, puis x=ay x = b dans l'équation de la courbe ^ on obtient
^(e«4-e-«l -hc
/ ae as \
d'où
l36 COURS OE ItECANIQCB.
L'équation qui exprime que s est nul pour x = o est
et pour que 5 soit égal à / pour x = a , il faudra qu'on ait
(ae as \
ou, en substituant la valeur de c' tirée de Téquation précédente ,
ajoutant et retranchant les équations (3) et (4) ? il vient
ou
éliminant a entre ces deux équations , en les multipliant membre à membre , on obtiendra, en prenant les racines carrées,
sjr— b'z=
ae ou , en posant — = -^ ,
La valeur de z peut se déterminer par l'intersection de la courbe y = e* — e" ^ avec une droite ayant pour équa-
PaEMIKEE ANNÉB. <— STATIQUE. . l3^
tion
On peut encore résoudre l'équation en z par la méthode ordinaire des substitutions successives. Connaissant z et ^ar suite c , on connaîtra a au moyen d'une quelconque de deux équations qui viennent d'être multipliées entre elles , ou mieux encore, au moyen de l'équation que l'on obtient en les divisant. Cette équation donne , en prenant les logarithmes de ses deux membres ,
, l-hb , as
Connaissant a , l'équation e" — c~ * = 2 c' donnera c' 5 et enfin Cf sera connu par l'équation
143. Les consuntes étant déterminées, il est facile de connaître les coordonnées du point le plus bas. En effet, pour ce point on a
d'où
dr gx SX
---:=0, OU l-a = *>
ax c c
€x ca
ha==o, et x=
Si l'on prend pour axe des y la verticale qui passe par ce point , il suffira de changer x en x 9 et l'équation ( 2 ) deviendra
jr = —\e-+e ' /+r..
l38 COURS DE MÉCANIQUE.
Le second membre ne changeant pas, quelque signe que Ton donne à a:, il s'ensuit que la courbe est symétrique par rapport à Taxe des y^ c'est-à-dire à la verticale qui passe par le point le plus bas.
Si l'on change y en y + c, , c'est-à-dire si l'on prend pour origine le point de cette verticale qui est au-dessous du
point B' de la quantité — Ci , et que l'on pose - = /ai , l'équa-
tion de la courbe prend la forme plus simple ,
Si les deux points B', B sont à la même hauteur, on a
et, par suite,
l'abscisse — ma du point le plus bas est donc égale à - ? comme cela était évident à priori. L'équation qui détermine z devient = — ^ et celle de la courbe ne diï-
fère pas de Téquation (5). La valeur de « étant — > est
égale à — ^ : et la constante c' = sera ésale à •
144. La chaînette jouit de la propriété remarquable, que son centre de gravité est situé plus bas que pour toute autre courbe isopérimètre , ayant les mêmes extrémités.
En effet, l'ordonnée du centre de gravité du périmètre de Tune quelconque de ces courbes est
jfy^- \A+Ï
PREMliaS ANNÉE. STATIQUE. iSg
et Ton doit avoir
les limites de ces intégrales étant les abscisses des deux points de suspension. Or, la recherche du minimum de la première intégrale, en ayant égard à la condition exprimée par cette équation, conduit à l'équation d'une chaînette, comme on Fa vu dans le calcul des variations.
145. Nous allons démontrer maintenant quelques propriétés géométriques de la chaînette. L'équation
= tG"-^^''")
donne les suivantes :
%-dr-'"^ \/-f;=ti
d*où l'on conclut
dx"" m\ dx^ tn"
Soient R le rayon de courbure , N la longueur de la normale, (ù l'inclinaison de la tangente sur l'horizontale; on aura
X = , R=r — = /iîséc=w, N = — =R.
coso» m m
On trouvera encore
. / . àx' d'y
ds =; rir 1/ I -+- - — = m —, — dx , ^' dx' dx'
d'où
en prenani le point le' plus bas pour origine des arcs. On déduit de là
in étant l'ordonnée à l'origine.
On obtient encore facilement les formules suivantes :
d'où l'on tire x en fonction de ^ et f , et par tion de s, puisqu'on a
Si du pied P {Jig. 35) de l'ordonnée d'un point quelconque M, on abaisse sur la tangente MQ une perpendiculaire PQ, on aura
PQ=^cos» = nij donc
Ainsi le point Q appartient à la développante de la chaînette; QP est la tangente à cette courbe, et comme sa longueur est m et par conséquent constante , cette dév&-
ppante n'est autre chose que la courbe appelée tractrice.
Pour avoir son équation , il suffiraitdonc d'exprimer cette
trnière condition , qui conduit entre les coordonnées u , ^,
l'équation
PftEMliRE ANNÉE. — STATIQUE. l4l
On y parviendrait encore par les formules qui déterminent les coordonnées du point Q de la développante d'une courbe quelconque, en exprimant que MQ = s \ ces formules , qu'on obtient immédiatement , sont
dx dy
ds d^
En éliminant x , j*, 5 au moyen des équations relatives à la chaînette , et qui donneront d'abord x et jr en fonction de 5, on trouvera l'équation finie de la tractrice. On la trouvera aussi en intégrant l'équation précédente, et l'on obtiendra
X = — î x = w -I- ym* — p*,
Il ne faut pas ajouter de constante ^ parce qu'on doit avoir à la fois u = o , v = m. Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des y qu'elle touche en B [fig, 34) 9 et a pour asymptote l'axe des x.
En remplaçant ueix' par x , j^, on a pour équation différentielle de la tractrice ,
d'où
et
dx dy
ydx — -
— dy^m}
-rs
/ ydx z=i -^ l dy sjm^-^y Jo Jm
Donc , si l'on décrit de A comme centre avec m pour rayon^ un quart de cercle ABC , les aires BIN , BMPxA seront équivalentes; et Taire entière comprise entre la courbe et les
liz eOUBS DK MECANIQUE.
axes sera égale au quart de cercle, ou à — ?-■ Si l'on cherche la valeur du rayon de courbure OM ^ R et de la normale MU = N, on trouvt
et , par conséquent , O est sur la perpendiculaire à AXëleyée par le pied T de la tangente.
Autre hypothèse sur ta force,
146. Examinons maintenant la courhe que formerait le fil &ï la force verticale était proportionnelle à la pix)jeclion horizontale de l'arc , et non à l'arc lui-même. Ce cas est , à peu de chose près , celui des ponts suspendus.
Soit E la force rapportée à une projection horizontale égale à l'unité; Y ds étant la composante verticale de la force appliquée à l'arc ds dont la projection est dx, on aura
et comme X =: o , les équations d'équilibre seront
d'où
(is ' ds dx c '
t c' étant deux constantes arbitraires.
La première de ces équations montre encore que la com-
iante horizontale de la tension est constante.
PBBMiàaB ANHl^E. — STATIQUE. 1^3
Intégrant la dernière , et prenant pour origine Tun des points fixes , on aura
La courbe formée par le Gl est donc une parabole dont Taxe est vertical. Les constantes c , c^ se détermineront en exprimant que la courbe passe par le second point , et que sa longueur est égale à une ligne donnée.
Supposons, par exemple, que les deux points donnés soient sur une même horizontale^ soient 2a leur distance, et / la longueur de la courbe.
L'équation de la courbe sera satisfaite par j^ = o , a: = 2 a , ce qui donne
h^ = o, dou c = 9
et, en substituant,
y — -^^[x^—7.ax),
et changeant x — a en x ,
^=rc (''-"')'
d'où
« Jo V «'
Cette équation déterminera c, et, par suite, c' \ elle se ré-» soudra par approximation , et le calcul sera très-simple dans le cas où la flèche de Tare compris entre les deux points fixes sera très-petite par rapport à la corde ia. En effet.
l44 COURS DE MliCANlQUE.
— sera très-petit, ^t l'on pourra développer en séries très-
convergentes les différentes parties du second membre de Téquation. On aura ainsi
/ = 2« H- I --•,• d'où c =
147. Dans les ponts suspendus, les forces ne sont pas réparties sur toute l'étendue de la chaîne , mais sont appliquées à un nombre limité de points dont les projections horizontales sont équidistantes. On a alors un polygone dont les sommets jouissent de la propriété remarquable d'être situés sur une même parabole. En effet , désignons par a Tinclinaison d'un côté quelconque sur le plan horizontal , par m la tension horizontale ; supposons qu'il y ait un côté horizontal , et prenons son milieu pour l'origine des coordonnées, et soit ^y la différence des ordonnées de deux sommets consécutifs correspondante à la différence constante A a: de leurs abscisses 3 nous aurons
tang a = —A Iz et tang a = -^\
d'où
Aj= - (jc-l- jAa:)Aa:,
et , par suite ,
sa:*
PBEMIÈBK ANKKE. — STATIQUE. 1^5
Or, X = — donne j^ = o ^ donc
oa et, par conséquent,
équation d'une parabole dont le sommet est sur la verticale menée par le milieu du côté horizontal , et renferme tous les sommets du polygone situés de part et d'autre du côté horizontal. Il en serait de même sHl n^y avait pas de côté horizontal .
Autres exemples de systèmes flexibles en équilibre.
148. Cherchons encore la courbe formée par une voile flexible , soumise à Faction du vent. Nous supposerons que cette voile soit rectangulaire , que deux côtés opposés soient fixes et perpendiculaires à la direction du vent^ et nous partirons- de la loi suivante, que la pression d'un fluide en mouvement sur un élément fixe d'une surface est proportionnelle à l'étendue de sa surface , et au carré de la vitesse du fluide estimée dans le sens de la normale à cet élément.
D'après cela , si Ton fait une section dans la voile par un plan perpendiculaire aux côtés fixes , on aura une courbe dont on pourra considérer tous les éléments comme sollicités par des forces normales proportionnelles à leurs longueurs et aux carrés, des cosinus des angles formés par la direction du vent avec la normale à la courbe. Donc, d'après les propositions démontrées n?* 86 et 145, cette courbe sera une chaînette, pour laquelle la pesanteur agirait dans le sens même du vent.
Si, au lieu d'un courant d'air, on avait un gaz en équi-
