I. II

l62 COUBS DE MÉCANIQUE.

Ces intégrales , qui s'étendent à la masse entière du corps, peuvent se réduire à une seule. En effet, en différentiant partiellement r par rapport à a, S, y, on obtient

dr [x — a )

dr (r-ê)

dr (z — 7 )

dot. r

dy r

Soit maintenant 9 (r) la fonction dont la dérivée, par rapport à /', est E (r) 5 posons

fffpf(r)da:dxdz= U,

et différentions les deux membres de cette équation par rapport à a, 6, y 5 il suffira de différentier sous le signe f^ si (f (r) ne passe pas par l'infini, et l'on trouvera ainsi les formules suivantes :

Tout dépend donc de la seule intégrale U.

Il est bon de remarquer que si , dans le cas , par exemple, d'un solide indéfini, l'intégrale U prenait une valeur infinie , mais que les dérivées partielles désignées par

-T-f —r^ ^ -7- tussent nnies, les valeurs précédentes de

da. rt5 dy ^

X, Y, Z n'en seraient pas moins exactes. En effet, prenons d'abord une portion finie du solide^ les composantes de son attraction auront pour valeurs les produits de — ^ par les dérivées partielles de la fonction finie U. Supposons maintenant que l'on étende infiniment la partie considérée du solide , les composantes de l'action seront toujours

dV dV dV

— i^Zn' —f^^'

da ^ d^' ^ dy

que U croisse ou non sans limite. Donc, si ces trois expressions ont des limites , ce sont les composantes de Fat-

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l63

traction du solide iodéiîni. Et, si elles croissent indéfiniment, on en conclura que l'attraction croit sans limite à mesure que Ton considère une plus grande partie du corps; c'est ce que Ton exprime en disant que l'attraction du solide est infinie.

Ainsi , il suffira toujours de connaître les dériyées qui entrent dans l'expression des composantes X, Y, Z sans s'inquiéter si la fonction U elle-même est finie ou infinie. On raisonnerait d'une manière analogue si U était infini, sans que le solide le fût.

161 . Dans le cas où Tattraction est en raison inverse du carré de la distance ,

et faisant , dans ce cas ,

^* p dx djr dz

ni

on aura

^^^^Ta' ^^^-^-dè' ^='"^^*

Si le point attiré fait partie du corps , la fonction (f (r) passe par l'infini; mais ces formules subsistent toujours. En eflet , elles n'offrent aucune difficulté , si on les applique à tout le corps , moins une sphère infiniment petite qui renferme le point attiré. Or V a une limite , quand cette sphère tend vers zéro; car l'élément de volume exprimé en coordonnées polaires ayant pour origine le point attiré a pour expression r^ clrsinO dOdt\i-^ or, si Ton divise par r et qu'on intègre dans Tétendue de la sphère de rayon infi* niment petit, on aura une quantité infiniment petite du second ordre. U suit de là que la fonction V étendue au corps entier est finie , et, par suite, ses dérivées par rapport

aux indéterminées a , ê, y, le sont aussi. On voit de même que X , Y , Z ont aussi des limites ; d'ailleurs , quand les deux membres d'une équation ont des limites, ces limites sont égales : donc les formules qui donnent X , Y , Z sont encore exactes quand on considère le corps entier dont le point fait partie.

162. L'attraction sur le point a, ê, y, estimée suivant la direction du vecteur r mené de l'origine à ce point , a pour expression

r r r \act r d^ r dy rj

Mais en considérant U comme fonction de a, 6, y, et ces coordonnées comme fonction de r et de deux angles 0, \p^ on a *^

dV dVa é/U6 ^7

dr doL r d^ r dy r

en observant que les dérivées partielles de a, 6, y par rap-

port a r sont respectivement - > -? -•

Donc la composante de l'attraction suivant le rayon vecteur est — f* "7~ ' ^^^ deux autres cpmposantes étant supposées dans le plan perpendiculaire à ce rayon. Dans le cas

f . dV

de F (r) = — 5 cette expression devient /x/ — -