Pour donner une application de ces formules dans
le cas de F (r) = — ? considérons une sphère creuse pour
laquelle p soit une fonction quelconque de la distance au centre. Prenons pour axe des x la droite qui joint le centre au point attiré , et qui est évidemment la direction de la résultante des attractions. Désignons par a et A les rayons des deux surfaces qui terminent le solide, par ii le rayon
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. l65
intérieur d'une couche sphérique ayant pour épaisseur du^ et par 9 Taugle d'un rayon quelconque avec l'axe des x. La valeur de V aura pour expression
ûu^du ânBdB
L'intégration par rapport à 6 étant effectuée entre o et tt , donnera la partie de V correspondante à la couche dont l'épaisseur est du 5 en intégrant ensuite le résultat par rapport à u entre les limites a et A , on aura la valeur totale de V. Or on a
r*=z u^ — 2 a tt cos ô^ -H a' ;
d où, en observant que u est constant,
rdr= ausïnBdQy et , par suite ,
V = — fjçududr.
Quant aux limites de r correspondantes à 6=:oetd=;r, il faut distinguer le cas où le point attiré est extérieur au solide y de celui où il est intérieur.
i^. Si le point attiré est extérieur au solide, on aura a > A , et , par conséquent , a > u pour toutes les couches que l'on a à considérer. On a alors
fdr = lu et V
4îr
^JLf%u^du,
« Ja
Si Ton désigne par M la masse du corps , on aura
d'oij
ou
^n 1 pu^du= M; •/a
l68 COURS DE MÉCA.1VIQUE.
vement
p/t\I g fx/M6 __ p t/My
d'où Ton voit que leur résultanie passe par l'origine qui est le centre de gravité de la masse attirante , et qu'elle a la même valeur que si toute la niasse était réunie en ce point. Ce résultat , qui n'est qu'approché pour un corps quelconque , est tout à fait exact dans le cas de la sphère , quelle que soit la distance du point attiré , pourvu qu'il soit en dehors de la sphère. Dans ce cas, l'intégration ferait disparaître tous les termes , excepté le premier de la série.
Le calcul précédent a été fait d'après une loi particulière : on verra facilement que le résultat serait le même dans le cas où l'attraction varierait en raison inverse de toute autre puissance de la distance , et même suivant des lois plus compliquées.
section d'une couche elliptique sur un point intérieur,
165. La proposition que nous avons démontrée relativement à l'action d'une couche sphérîque sur un point intérieur, peut se démontrer géométriquement dans le cas plus général du solide compris entre deux ellipsoïdes semblables ayant leurs axes coïncidents.
En efiet, supposons d'abord le solide homogène-, soient M {Jig* 4o) le point attiré, et yi sa masse. Considérons-le comme sommet d'une infinité d'angles solides qui composent tout l'espace autour de lui, et cherchons la résultante de l'action des deux parties comprises dans un quelconque de ces angles et son opposé au sommet. Soit DCAB une des arêtes de cet angle -, on aura AB = CD par la similitude des deux ellipsoïdes. Si nous désignons par w la mesure de l'angle solide, nous pourrons décomposer le
solide AB en cléments dont les épaisseurs PQ formeront la droite AB, et dont l'expression sera ^r^dr\ multipliant
par ^-^5 on aura l'attraction que cetélément exerce sur le
point M-, on trouve ainsi pf^itMidr^ et la somme pfiitù.AR exprimera l'attraction de la matière contenue dans AB. On trouvera de même pf^tù.QX) pour l'attraction de la matière contenue dans la partie CD ; et comme les droites AB et CD sont égales, ces attractions seront égales, et, par conséquent, se détruiront. Donc, comme il en sera ainsi pour tous les angles solides autour de M , le solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables quelconques n exerce aucune attraction sur un point situé dans Vintérieur de sa plus petite surface.
Cette proposition , étant indépendante de Fépaisseur, a lieu aussi pour une couche infiniment mince. Donc elle est encore vraie pour un solide d'une épaisseur quelconque composé de couches homogènes comprises entre des ellip^ soldes semblables , et dont la nature varie d'une manière quelconque de Vune à Vautre.
166. Surfaces de niveau, — On appelle ainsi celles sur lesquelles un point matériel posé resterait en équilibre sous l'influence des forces du système.
Considérons donc un corps quelconque qui attire un point suivant une loi quelconque \ on aura , d'après ce qui précède ,
pour que la résultante soit perpendiculaire à la surface sur laquelle le point peut se mouvoir, il faut qu'on ait pour tous les déplacements sur cette surface,
Xr/a + Yr/<?4-Z^/7r=:o,
OU
dV , dV ,, dU ^
ce qui prouve que U est constant. L'équation des surfaces de niveau relatives à l'attraction ou à la répulsion du corps est donc
c désignant une constante arbitraire.
Quand l'attraction est en raison inverse du carré de la distance , cette équation devient V = c.
167. La fonction V jouit d'une propriété remarquable, qui est d'une grande utilité pour la détermination de sa valeur.
D'après la valeur de r, on a
di di , d'-
d</. r' • d^ r^ ûfy
d'où l'on conclut
Mais, puisque l'on a V == / / / - — 9 ^^^ étant l'élément
de volume, et que, pour diflerentier une intégrale par rapport à des quantités considérées comme constantes -dans
l'intégration, et qui n'entrent pas dans les limites de cette intégrale, il suflSt de différentier sous le signe/, on aura
ri
df
pourvu , toutefois , que la fonction - ne devienne infinie
pour aucune valeur comprise dans les limites de l'intégration ; car on sait que, dans ce cas, la différentiation sous le signe f peut donner des résultats inexacts.
Donc , si le point a , 6 , y ne fait pas partie du corps attirant, on aura
, , rf'V d^\ d'\
('^ .d^^d^'^Tr^'''
Sî le point fait partie du corps , on concevra une sphère infiniment petite dans l'intérieur de laquelle il sera compris -, la fonction V, considérée pour tout le reste du corps , satisfera à Téquation ci-dessus.
Soit j9 la densité du corps au point attiré, ce sera aussi celle de la petite sphère. Les composantes de l'attraction de la sphère sur ce point, qui est dans son intérieur, seront donc respectivement
— I '^F'/p («--'')» — 3 ^f*/p (<5 — ^) , — 3 îTft/p (y — c),
a^ b^c étant les coordonnées du centre de la petite sphère*, on aura donc, en appelant V la partie de V qui se rapporte
1^2 COURS DE MÉC\niQUE.
à cette sphère,
d'où
rf'V rf'V ^'V ,~
et, par conséquent,
la valeur de p se rapportant au point attiré.
Nous allons montrer, par quelques exemples très^simples, comment les équations (i) et (2) peuvent servir à déterminer la fonction Y dont se déduisent les trois composantes de l'attraction.
168. application à la sphère. — La sphère étant supposée formée de couches homogènes , V sera fonction de la distance r du centre de la sphère au point attiré \ la résultante de Tattraction sera dirigée suivant la droite qui joint
ces deux points, et représentée par ^f-j-*
L'équation r* = a* -f- 6* -h y* donnera
dr a dr ^ doL rdQ r .
dr y
et Ton aura, par suite,
d'Y o(} d^\ ïdW dcf} r' dr"^ ' r dr
9} dS
r^ dr
d^\ 6»rf'V ir/V d^' r' dr^ ' /• dr
r' dr
d'v^ r'^ dr"^ r dr
r' flr '
et ajoutant ces trois dernières équations, on aura, en supposant d'abord le point hors de la sphère ,
dr'^ r dr
La fonction V dépend donc alors d'une équation qui ne renferme pas de différentielles partielles. En la multipliant
dy par r*, son premier membre devient la dérivée de ''* -7--
On aura donc , en désignant par c une constante arbitraire,
dr r'
Supposons d'abord que la sphère soit creuse et que le point soit dans T intérieur de la plus petite surface dont nous désignerons le rayon par Ri. L'attraction devant évidemment être nulle pour r = o , il faut qu'on ait
dy c = o, et , par suite , -y- = o
dr
Donc les composantes de l'attraction sont toujours nulles , et le point est en équilibre , quelque position qu'il occupe dans la partie vide de la sphère. Supposons , en second lieu , que le point fasse partie de la masse de la sphère , on a
d'y 7.dy ,
p étant une fonction donnée de r.
Multipliant par r* et intégrant à partir de Ri, il vient,
dy en observant que — étant nul pour tous les points de l'intérieur, Test aussi à la limite Ri ,
Or, I 4 ^''*p^'' est la masse comprise entre cette surface
et la sphère qui passe par le point attiré. Si bn la désigne par M', on aura
La valeur absolue de l'attraction sera donc ^-— r — ; elle est la
même que si la masse M' agissait seule et était réunie au centre.
Si le point attiré est sur la surface extérieure ayant pour rayon R , on aura , en désignant par M la masse totale de la sphère creuse ,
et Tattraction exercée sur lé point aura pour expression
Enfin, considérons un point extérieur à la sphère, c'està-dire pour lequel on ait r^R, on aura, comme dans le
premier cas ,
dY c
dr r»'
mais ^ à cause de la discontinuité provenant des points de la masse, la constante c n'est pas assujettie à avoir la même valeur que pour les points intérieurs. Pour la déterminer, on fera r = R , et l'on devra trouver, d'après le cas précédent ,
dy M
^=-^,5 donc c=^M,
et l'on aura pour tous les points extérieurs ,
dr r^
P&EMIKAE ANNEE. STATIQUE. 1^5
L'attraction aura donc pour expression
et l'on en conclut ce théorème :
. Une sphère creuse composée de couches concentriques homogènes exerce sur les points extérieurs la même action que si toute sa masse était réunie à son centre.
169, Application au cylindre indéfini. — Considérons maintenant un cylindre creux indéfini composé de couches homogènes dont la densité n'est fonction que de la distance à l'axe de ce cylindre, que nous prendrons pour axe des z \ son action sur un point quelconque sera dirigée vers le point où l'axe est coupé par un plan perpendiculaire , mené par le point attiré. Nous prendrons ce point de l'axe pour origine, et nous désignerons par r sa distance au point attiré ; l'attraction ne dépendra que de r, et son expression sera
Or, pour les points qui ne font pas partie de la masse du cylindre , on aura , en observant que Vest indépendant de y,
d'où
d^y ldw___
dr^ r dr Multipliant par r, on a
d'où
dr r
i c étant une constante arbitraire.
ÎT^
Mais remarquons , comme dans le cas d'une sphère creuse, que les points extérieurs et les points intérieurs à la couche cylindrique étant séparés par ceux de la masse de cette couche , pour lesquels les circonstances sont différentes , il n'y a pas continuité en passant des valeurs de r plus grandes que le rayon de la surface extérieure du cylindre, aux valeurs de r plus petites que le rayon de la surface intérieure.
Pour les points de l'iulérieur de cette surface, la valeur de c est invariable; or elle est évidemment nulle pour r = o ; donc on a , pour tous les points de l'intérieur,
dV
D'où l'on conclut qu'ii/z cylindre creux indéfini, composé
de couches concefitriques homogènes ^ n'* exerce aucune
action sur un point situé dans V intérieur de sa sur j ace
interne.
On démontrerait directement cette proposition de la
même manière que pour l'ellipsoïde creux.
dy Cherchons maintenant la valeur de — pour les points
appartenant à la masse du cylindre ; pour ces points , on a
et l'on trouve par l'intégration, en désignant par Rj le rayon de la surface intérieure ,
r — =:~47rJ ^rdr.
dr
dS Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que — est nul
pour r = Ri, puisqu'il l'est pour tous les points de Tintérieur de la surface dont le rayon est Ri. En faisant r = R,
PREMlÈBfi \NNKE. — STATIQUK. 1'}']
on obtient
Pour les points extérieurs on doit avoir
dr "" R
Faisant r=R, on trouve, en vertu de Téquation précédente ,
rdr»
La constante étant ainsi déterminée, on aura pour toute les valeurs de r plus grahdes que R ,
dr r
et l'attraction du cylindre aura pour expression
On voit qu'elle varie en raison inverse de la distance du point à Taxe du cylindre.
Attraction des ellipsoïdes.
170. Pour connaître les trois composantes de Tattractiou d'un ellipsoïde homogène sur un point , on décomposera ce corps en couches infiniment peu épaisses, par une série de surfaces semblables à celle qui le termine ; on cherchera les composantes de Tattraction d'une quelconque de ces couches , en fonction du paramètre qui détermine une des surfaces de cette couche, et de son épaisseur^ puis on intégrera ces trois expressions différentielles en faisant varier le pa-
178 COURS DE MÉGANIQUE.
ramètre entre les limites correspondantes aux surfaces extrêmes que Ton doit considérer.
Si Tellipsoïde est plein, lés surfaces limites seront celle de cet ellipsoïde, et son centre.
Si le solide attirant est compris entre les surfaces de deux ellipsoïdes semblables , ces surfaces seront les deux limites.
Mais si le point attiré se trouvait dans l'intérieur du solide , il serait inutile de considérer la partie située au delà de la surface d'un ellipsoïde semblable passant par ce point, parce que l'on sait que son action est nulle.
On voit donc que, dans tous les cas, la question revoient à calculer les trois composantes de l ^attraction d'une couche comprise entre deux ellipsoïdes semblables et infini-ment rapprochés y sur un point situé en dehors de cette couche y ou sur sa surface.
Nous commencerons par établir quelques propositions qui ramènent ce problème au cas où le point attiré est situé sur la surface extérieure de la couche. Ces propositions et les calculs qui suivent sont tirés des Mémoires de M. Ghasles.
Comparaison de Caciion de deux couches homofocales
sur un même point extérieur,
171. Considérons une couche homogène comprise entre deux ellipsoïdes semblables, infiniment rapprochés.Les composantes de son action sur un point extérieur M (Jig' 4^) dont les coordonnées sont x, y^ z^ sont proportionnelles aux dérivées partielles par rapport à x , d'une fonction V qui exprime la somme des masses des éléments de la couche, divisées par leurs distances au point M.
Considérons, en second lieu, une couche homogène d'une densité quelconque, comprise entre deux ellipsoïdes
PREMIÈRK ANNÉE. STATIQUE. 1 79
semblables entre eux, dont Textérieur passe par M, et qui soient respectivement homofocaux avec ceux qui terminent la première couche -, ces deux ellipsoïdes seront complètement déterminés , et les axes de même direction seront dans le 'même rapport dans les deux systèmes.
Désignons généralement par points correspondants sur les surfaces de deux ellipsoïdes quelconques , ceux dont les coordonnées sont respectivement entré elles comme les axes qui leur sont parallèles. Il est facile de reconnaître que, quand ces ellipsoïdes sont homofocaux, la distance d'un point quelconque de Tun à un point quelconque de l'autre est égale à la distance des points respectivement correspondants .
Cette proposition se déduit immédiatement des deux suivantes , dont la démonstration est trop facile pour que nous la rapportions :
1°. La d^érence des carrés des distances du centre à deux points correspondants de deux ellipsoïdes homofo^ eaux est constante;
2°. Le produit de deux rayons quelconques , pris respectivement dans les deux ellipsoïdes , par le cosinus de leur angle y est le même que pour les rayons menés aux points correspondants.
La somme des carrés de ces rayons est aussi la même de part et d'autre, en vertu de la première proposition. D'où résulte le théorème en question.
On voit facilement aussi que si Ton considère les deux couches homofocales dont il a été déjà parlé, tout point pris dans Tépaisseur de l'une a son correspondant dans l'autre ^ et deux portions terminées à des surfaces dont tous les points sont correspondants dans les deux couches , sont proportionnelles aux produits des trois coordonnées des points correspondants , ou aux produits des axes des elHp* soïdes intérieurs ou extérieurs, et, par suite, aux volumes
l8o COURS DE MÉCANIQUlL.
des deux couches; car ou peut décomposer ces deux volumes en parallélipipèdes infiniment petits ayant leurs arêtes parallèles aux axes , et leurs sommets en des points correspondants. Les arêtes de ces parallélipipèdes seront proportionnelles aux axes parallèles; les volumes seront donc proportionnels aux produits des trois axes respectifs, et, par conséquent, leurs sommes ou les deux volumes en question le seront aussi comme nous l'avons annoncé.
Cela posé, partageons le volume de la couche proposée en éléments infiniment petits, et divisons la masse de chacun d'eux par la distance au point M, de l'un quelconque de ses points, que Ton pourra choisir sur la surface même de l'ellipsoïde passant en M', vu l'épaisseur infiniment petite de la couche -, nous aurons ainsi tous les éléments de l'intégrale V. Partageons ensuite le volume de la seconde en éléments correspondants , et divisons la masse de chacun par la distance au point M' correspondant de M sur la surface extérieure de la couche donnée. Deux éléments correspon-^ dants étant entre eux comme les couches entières , et leurs distances aux points correspondants M , M^ étant égjales , les deux sommes ou les deux fonctions V seront aussi entre elles comme les masses des deux couches. Or, la fonction V, qui se rapporte à la couche passant par M, est constante pour tous les points de son intérieur, et, par conséquent, pour tous ceux de la surface extérieure de la couche passant par M' : donc aussi la fonction V sera constante pour la couche proposée , quelque position que l'on donne au point M sur rellipsoïde homofocal passant par M. Donc la résultante de F attraction de la couche proposée sur le point M est normale à V ellipsoïde homofocal passant par ce point.
Nous pouvons maintenant comparer les actions exercées sur le point M par la première couche , et une autre dont les deux surfaces semblables seraient homofocales à celles
PREMIÈRE ANNEE. — STATIQUE. l8l
de la première , et seraient comprises entre elles et celle qui passe par M. En effet, les fonctions V qu'elles fourniraient: relativement au point M , étant divisées par leurs masses respectives, donnent le même résultat, d'après ce qui a été dit précédemment. D'où il suit que les dérivées partielles de ces deux fonctions sont, comme elles-mêmes, dans le rapport des masses des deux couches; et, par conséquent, les résultantes des attractions de ces deux couches sur un même point extérieur sont de même direction , et proportionnelles à leurs masses (*).
Enfin cette proposition nous conduit à la réduction que nous avions annoncée. En effet, nous pouvons supposer que la couche dont nous venons de comparer l'action à celle de la proposée, vienne se confondre avec celle dont la surface extérieure passe par le point M. Ces deux actions étant de même sens, et proportionnelles aux masses des deux couches. Tune d'elles détermine Tautre. D'où Ton voit que, pour reconnaître l'action d^une couche sur un point exté^ rieur ^ il suffit de calculer celle qu ^exerce sur ce même point une couche homofocale et de même matière , dont la sur^ face extérieure passera par ce point, et de la multiplier par le rapport du volume de la première à celui de la seconde, sans rien clianger à sa direction.
Calcul de V action d'une couche elliptique sur un point
de sa surface^
172. Soit M (fig* 4^) ^^ point quelconque de la surfac43 extérieure d'une couche homogène , comprise entre deux
(*) Cette proposition conduit facilement, comme l'a montré M. Chasles, et comme nous le ferons voir bientôt , au célèbre théorème de Maclaurin , par lequel on ramène le calcul de Tattraction d'un ellipsoïde homogène sup un point extérieur à celui d'un autre ellipsoïde sur un point de sa surface ; problème plus facile et qu'on a su résoudre longtemps avant l'autre.
l82 COURS DE mÉCkVlQVJL,
ellipsoïdes semblables et infiniment rapprochés. L'attraction de cette couche sur ce point sera dirigée suivapt la normale MN à Fellipsoïde extérieur; de sorte qu'on pourra remplacer chaque action élémentaire par sa composante , suivant MN.
Considérons le point M conune sommet d'une infinité d'angles solides , composant l'espace situé d*un même côté du plan tangent.
Soient dcaVun quelconque de ces angles, et MM' la direction d'une de ces arêtes : on peut décomposer la partie de la couche qu'il renferme en éléments dont le volume aura pour expression r^drdoij r étant leur distance au point M. Multipliant par la densité |0, par la force attractive y de deux unités de masse, situées à l'unité de distance, par la masse fx du point supposé en M, et divisant par le carré de la distance, on aura l'attraction de l'élément de la couche sur la masse ^] son expression sera
intégrant de M à P, on aura
p/yLMVd(ù'y intégrant ensuite de P' à M', on trouvera
Or, M'P' = MP, puisque les deux ellipsoïdes sont semblables ; donc l'attraction de la partie comprise dans l'angle doD se réduira à
Multipliant cette force par cos PMK , on aura sa composante suivant la normale , et l'on obtiendra ainsi , en observant queMPcosPMK = MK,
2 py^pi MK db^.
P&EMlÈaE ANNÉE. — STATIQUE. l83
Cette expression n'est exacte ({u'en supposant l'arc PK infiniment petit, comme cela a lieu ici, puisque MK est infiniment petit.
L'angle extrême KMP est droit, parce que PK est un infiniment petit d'un ordre moins élevé que MK^ de sorte que, si Ton fait la somme de toutes les expressions semblables , pour tous les éléments dtù^ on aura, pour l'action de la couche entière,
4 '^py'f* MK.
Au lieu de l'épaisseur MK de la couche au point M , il vaut mieux introduire la différence des demi-grands axes a et a-^da des deux surfaces.
Or on a
