MN

niment , la vitesse moyenne -r- variera en même temps , et

tendra vers une limite déterminée, que nou3 ^appellerons la vitesse du mobile au point M.

Ainsi, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal, on appelle vitesse d'un mobile à un instant donné , la vitesse moyenne avec laquelle il décrit un arc infiniment petit, à partir de cet instant.

Si Ton désigne par t le temps , et par s la longueur des arcs de la ligne décrite, à partir d'une origine arbitraire, la

limite du rapport — n'est autre chgse que -7- Ainsi la vitesse en un point quelconque du mouvement est exprimée par la première dérivée de l'espace parcouru par rapport au temps.

187. 11 est bon de remarquer que l'arc décrit dans un temps infiniment petit peut être considéré comme le produit de ce temps par la vitesse du mobile au commencement de ce petit intervalle. Car cet arc serait rigoureusement le produit du temps par la vitesse moyenne relative à cet intervalle, et cette vitesse moyenne diffère d'une quantité infiniment petite de cç que nous avons appelé vitesse au commencement de Tîntervalle. Il est évident que l'on pourrait encore prendre la vitesse à une époque quelconque du même intervalle. Le résultat ainsi obtenu ne différera jamais de celui que l'on cherche que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même , et pourra par conséquent lui être substitué toutes les fois que l'on n'aura à considérer que des limites de rapports ou de sommes.

Ainsi, par exemple, l'espace parcouru dans un temps

PREMIÈRE A?iNÉE. — STATIQUE. 21 I

fini sera la limite de la somme des produits des éléments infiniment petits de ce temps , par les vitesses correspondantes aux commencements de ces éléments. La vitesse telle que nous venons de la définir, joue donc le même rôle dans le mouvement varié, que la vitesse premièrement définie, dans le mouvement uniforme, pourvu que Ton ne considère que des termes infiniment petits ; et c'est à cause de cette analogie , qu'il était convenable de lui donner le même nom.

188. Équation finie du moui^ement uniforme. — Le mouvement uniforme d'un point sur une ligne indéfinie , droite ou courbe , peut être représenté par une équation du premier degré entre le temps et la distance.

Désignons par t le temps compté à partir d'une époque déterminée, par x la distance du point mobile M à une origine fixe O, prise sur la ligne indéfinie X'X que ce point parcourt ; a la distance OA de Forigine au point où se trouve le mobile lorsque t = o] enfin i^ sa vitesse, ou l'espace constant qu'il parcourt dans l'unité de temps.

Cela posé , nous nous proposons de trouver une équation au moyen de laquelle on puisse connaître la position du point mobile , à une époque quelconque , c'est-à-dire une équation entre x et t.

Or le mobile parcourant un espace v dans l'unité de temps , parcourra i^t dans le temps quelconque t ; et par conséquent, si Ton suppose d'abord que la direction du mouvement soit celle des x positifs OX , à un instant quelconque on aura

X et a étant des quantités positives ou négatives^ suivant la position des points A et M par rapport à l'origine ^ i^ étant un nombre absolu, et t un nombre positif correspondant aux différentes époques postérieures à celle qui sert d'origine aux temps.

212 C.OUaS DK MÉCANIQUE.

On aperçoit immédiatement qu'il est inutile d'employer une équation distincte de la précédente , pour représenter les positions du mobile, qui correspondent aux époques antérieures à cette origine, et qu'il suffit de donner à t des valeurs négatives dans l'équation ci-dessus.

Enfin, on peut renfermer dans cette même équation les mouvements uniformes, dont la direction est opposée à celle des x positifs ; et Ton aperçoit aisément quMl suffit de supposer que i^ ne représente pas seulement le nombre d^unités de longueur parcourues dans l'unité de temps, mais ce nombre affecté inplicitementdu signe — . De cette manière, l'équation générale

(ï) X z= a -^ vt

peut représenter tous les mouvements uniformes , rapportés à des origines quelconques pour les temps et les distances, et à une direction quelconque du mouvement par rapporta celle des x positifs.

Les quatre quantités x, a, v', t peuvent donc èlre implicitement négatives , et nous venons de déterminer dans quelles circonstances elles devaient être considérées comme telles. Cette manière de les envisager est , comme nous l'avons dit, indispensable pour que tous les cas soient renfermés dans une seule équation^ ce qui est de la plus haute importance, comme on le sait, dans toutes les formules algébriques.

Cette équation (i) peut donner lieu à diverses questions simples, que Ton traite ordinairement dans les cours élémentaires d'algèbre, et dont nous ne nous occuperons pas ici.

189. Equation différentielle du mouvement uni/orme, — Nous avons vu que , dans un mouvement quelconque, la

ds , .

vitesse était mesurée par —9 s désignant Fespace parcouru^

celle expression devient, dans le casaclucl, ~5 indépendamment de toute considération de signe.

Or, si nous prenons t pour variable indépendante, et, par

suite, J^ positif, -r- sera positif si le mouvement a lieu dans

le sens des or positifs, et négatif dans le cas contraire. Si

donc nous posons u=: —^ c'est dire que nous entendons

par i^ une quantité positive ou négative, suivant que le mouvement a lieu dans le sens des x positifs ou négatifs ; du reste , les origines des temps et des abscisses n^ entrent pour rien, et le mouvement peut être varié d'une manière arbitraire. Ainsi pour avoir une équation qui renferme tous les mouvements uniformes , il suffira de poser

(^ désignant une quantité constante, positive ou négative.

Cette équation se déduirait de (i) par la diiTérentiation ,. comme réciproquement , on en déduirait la première par une intégration, qui introduirait une constante arbitraire a.

190. Mouv^ement uniformément varié » — Après le mouvement uniforme , le plus simple est celui où la vitesse, au lieu d'être constante, varie uniformément, c'est-à-dire de telle sorte que ses accroissements soient proportionnels à ceux du temps. Ce mouvement, qui servira de terme de cornparaison aux mouvements variés plus compliqués, mérite qu'on en dise ici quelques mots, et c'est par lui que nous terminerons ces exemples simples.

La condition que la vitesse (^ ait ses accroissements proportionnels à ceux du temps , entraine celte autre condition

que sa dérivée y soit constanle, et réciproquement. En

désignant donc par a une constante quelconque , positive ou négative, Téquation générale qui renfermera tous les mouvements uniformément variés sera

d'jc

djr

dt="'

"" df "

puisque

^-rfr'

on déduit de là , en intégrant ,

équation qu'on aurait pu obtenir immédiatement : en l'intégrant de nouveau, il vient

(2) or = hbt-^c,

b et c désignant deux constantes arbitraires.

Les accroissements de la vitesse sont positifs ou négatifs en même temps que a, qui est l'accroissement de la vitesse, dans un temps quelconque, divisé par ce temps*, ou Vaccroissement de la vitesse dans l'unité de temps.

On donne à cette quantité le nom particulier d^accélération. En entendant que cette accélération peut être positive ou négative, comme nous l'avons dit, le mouvement peut être dit uniformément accéléré ; et cette dénomination n'entraine pas l'idée d'une vitesse croissante plutôt que décroissante.

Les équations (i) et (2) dans lesquelles a , 6 , c peuvent avoir des signes quelconques, donnent lieu à divers problèmes d'algèbre élémentaire, dont la discussion n'offre aucune difficulté, et dans le détail desquels nous ne pouvons entrer ici .

Du mouvement rectiligne varié en général,

191. Dans ce qui précède, nous avons supposé que le point se mouvait sur une ligne quelconque. Mais mainte-

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 2l5

nant que nous allons faire une étude plus approfondie du mouvement , nous supposerons d'abord , pour ne pas réunir toutes les difficultés , qu'il s'effectue sur une ligne droite.

La notion d'accélération que nous venons de donner dans le mouvement uniformément accéléré peut recevoir une extension analogue à celle que nous avons donnée à la vitesse.

En effet, désignons par Ai^ Paccroissement de vitesse que prend le point, à partir d^un instant quelconque, lorsque le temps croît de At, et imaginons un mouvement uniformément accéléré dans lequel la vitesse serait la même que celle du mobile au premier instant , et qui aurait une accélération telle, que la vitesse croîtrait de même de Ap» dans le temps Ai 5 cette accélération moyenne sera mesurée, d'après ce qui précède, par — ? et tendra vers une

certaine limite à mesure que At tendra vers zéro.

Cette limite est ce que l'on appelle V accélération dans le mouvement proposé, à l'instant que Ton considère. Son expression est

— ou —7-dt dt^

Et il est facile de voir qu'elle jouera le même rôle dans le mouvement varié en général , que dans le mouvement uniformément accéléré , pourvu que Ton ne considère que des intervalles infiniment petits. En effet , si A / est infiniment pelit, on aura

Af» dv

e étant aussi infiniment petit, et, par conséquent,

Ac ~ — A^ 4- s^^.

Donc, raccroissement Av de la vitesse ne diifèi^e de

■j ^t que d'une quantité infiniment petite, par rapport à

Ai^, et qui pourra être négligée toutes les fois qu'on ne considérera que des limites de sommes ou de rapports. Donc 9 dans tous les cas de ce genre , l'accroissement infiniment petit de vitesse pourra être calculé comme si le mouvement était uniformément accéléré, et que l'accélération de ce mouvement fût égale à ce que nous avons appelé l'accélération dan& le mouvement varié en question.

Remarque. — Il est bon de remarquer que nous avons considéré de deux manières fort différentes un mouvement varié quelconque , comme limite de mouvements successiis de durées infiniment petites. Dans un cas, ces mouvements élémentaires sont uniformes , dans l'autre ils sont uniformément accélérés.

Les premiers ont, à l'instant commun , le même — que

leproposé> en d'autres termes, la même vitesse^ les seconds,

le même -7- et le même — rr? c'est-à-dire même vitesse et dt dt^

même accélération. Les premiers ont, s'il est permis de s'exprimer ainsi , un contact du premier ordre avec le proposé^ les seconds , un contact du second ordre. Mais aussi on ne peut, même dans un temps infiniment petit, remplacer le proposé par les mouvements élémentaires du premier genre que pour calculer les accroissements d'espace ; tandis qu'on peut employer les autres pour le calcul de l'accroissement de la vitesse.

Mouvement curviligne d'un -point.

192. Direction de la vitesse. — La définition que nous avons donnée de la grandeur de la vitesse est indépendante

PREMliRE ANNÉE. — STaTIQUR. 21 7

de la ligne que décrit le mobile , et que l'on nomme ordinairement la trajectoire. Mais quand le mouvement est curviligne, il y a une considération de plus à introduire, celle de la direction. Dans le mouvement rectiligne, la droite qui joint une position du mobile avec une autre infiniment voisine, a toujours une même direction, celle de la droite qu'il décrit, et qu'on nomme la direction du mouvement. Dans le mouvement curviligne, la droite qui joint une position déterminée à celle qu'il a , après un temps infiniment petit, varie à mesure que l'intervalle diminue, et tend vers une limite que l'on appelle quelquefois la direction du moui^ement à l'instant considéré, et que nous nommerons spécialement direction de la vitesse à cet instant. E^e se confond évidemment avec la tangente à la trajectoire au point que l'on considère, prise dans le sens du mouvement.

Les cosinus des angles qu'elle fait avec les trois axes d'un système de coordonnées rectangulaires seront donc, en grandeur et en signes ,

dx dy dz €is ds ds

en considérant ds comme la valeur absolue de l'élément de l'arc , et dx^ dj^ dz comme les accroissements positifs ou négatifs des coordonnées x^j, z du mobile dans le temps infiniment petit dt.

193. Composition et décomposition des vitesses, — Lorsque plusieurs forces sont appliquées à un même point , nous avons vu dans la Statique qu'elles pouvaient être remplacées par une seule ^ et il y a une construction géométrique très-simple pour obtenir cette résultante, lorsque toutes les forces sont représentées , pour leurs grandeurs et pour ieurs directions, par des droites partant de ce point. Lorsque des constructions semblables se rencontrent sans quïl s'a-

gisse de forces, il est commode d'employer des déoominalions analogues qui indiquent immédiatement ce qui , autrement, exigerait de longs développements. C'est dans ce sens que nous emploierons quelquefois ces expressions, résultante de droites données de grandeurs et de directions partant d'un même point 5 composantes d'une ligne de direction et de grandeur donnée.

C'est dans ce même sens que nous entendrons la composition et la décomposition des vitesses. Ainsi, pour avoir les composantes d'une vitesse donnée suivant trois directions données , nous construirons sur la droite qui la représente en grandeur et en direction , un parallélipipède dont elle soit la diagonale et dont les trois côtés soient dans les directions choisies pour les composantes. Ce serait l'inverse pour la composition de trois vitesses; et quel que soit le nombre des composantes données ou cherchées , on entendra toujours qu'il y a les mêmes constructions à faire que s'il s'agissait de composer ou décomposer des forces appliquées à un même point. Si l'une des composantes étant parallèle à une direction donnée, toutes les autres lui sont perpendiculaires , cette composante est ce qu'on appelle la vitesse estimée suivant cette direction. Ce n'est autre chose que la projection de la vitesse sur cette direction. Nous verrons par l'usage l'utilité que ces transformations peuvent avoir. Mais jusqu'ici il ne faut attacher à ces dénominations de composantes et résultantes de vitesses que le sens précis qui résulte de nos définitions.

194. Composantes de la vitesse parallèlement aux axes, — Si l'on suppose les axes rectangulaires , ces composantes ne seront autre chose que les projections de la vitesse sur les axes. En prenant la vitesse en valeur absolue, et sa direction comme nous en sommes convenus , il faudra faire

les produits de — respectivement par — ? — ? -- ; ce qui

PREMlEaE ANNEE. — STATIQUE. 219

donnera pour les composantes de la vitesse,

dx dy dz dt ' r// ' t/r '

elles seront positives ou négatives , suivant que la direction de la vitesse fera avec les axes des angles aigus ou obtus.

Mais il est facile de voir que ces expressions subsistent encore dans le cas d^axes obliques.

En effet, soient M une position quelconque du point, et M' celle qu'il occupe après un temps très-petit 5 Aj:, Aj-, A^ les accroissements des coordonnées de M; le parallélipipèdedont les arêtes sont Aa:, Ay, Az, et la diagonale MM', tend à devenir semblable à un parallélipipède qui aurait les arêtes parallèles aux axes, et sa diagonale suivant la tangente. Or, ce dernier est semblable à celui dont la diagonale et les arêtes seraient la vitesse et ses composantes : donc les rapports de celles-ci à la vitesse sont les limites des rapports

àz

MM''

dx ds'

ds'

dz ds'

ds Les multipliant par la vitesse j-^ on retrouve pour les composantes les expressions précédentes

\ dx dy dz

dt' dt' dt

On peut remarquer que — est la vitesse d'un point qui se

inouvrait sur l'axe des j: en ayant toujours la même abscisse q\ie le point dans l'espace 5 et il en serait de même

220 COUaS DE MÉCANIQUE.

pour les deux autres composantes. D'où l'on voit que les composantes de la vitesse d'un mobile sont les vitesses de ses projections rectangulaires, ou obliques, sur les trois axes de coordonnées.

195. ZJéwa^zb 72.— 'Considérons un point animé d'un mouvement varié quelconque , et à un instant quelconque menons la tangente à sa trajectoire au point M où il se trouve [fis* 44)» Concevons ensuite qu'à cet instant un second mobile commence à se mouvoir sur la tangente avec la vitesse qu'a le premier en M; et soient M', N les positions simultanées de ces deux points après un temps quelconque : la droite NM' indique de combien le mobile a été dérange de la position qu'il aurait eue, si sa vitesse était restée constante en grandeur et en direction; sa considération est très-importante dans l'étude du mouvement, principalement lorsque l'intervalle de temps écoulé entre les positions M, M' est infiniment petit. Nous lui donnerons le nom particulier de déi^iation. Elle pourra être envisagée sous le rapport tant de la grandeur que de la direction qui sera toujours estimée de N vers M'. Elle sera, par conséquent, entièrement déterminée quand on connaîtra en grandeur et en signe ses trois composantes parallèles aux axes. C'est le calcul que nous allons faire , en supposant que le mouvement soit donné, c'est-à-dire que les coordonnées X, y^ z 4u mobile soient des fonctions connues du temps f.

196. Composantes de la déuiation suwant les axes. — Soit 9 un intervalle de temps infiniment petit*, les coordonnées de N sur la tangente seront , après ce temps ,

dx ^ dr dz ^

"+rfr'' y-^it'^ \^dt'-

Celles du point M' sur la trajectoire seront, en les développant par la formule de Taylor, et représentant par e,

PttEMlÈBE ANNÉE. STATIQUE. 221

e', s'', des quantités infiniment petites,

dx ^ fd^x \ Ô»

dy ^ d^y \ 0^

dt ^ \dt^^ / 2

En retranchant les coordonnées de N de celles de M', on aura en grandeurs et en signes les composantes de la déviation NM'; leurs valeurs sont

(■^+0^' (^"^'JT' (-sF-^'jr

Les expressions des composantes de la déviation peuvent être simplifiées lorsque Q est infiniment petit, car on peut alors négliger le second terme qui est infiniment petit, par rapport au premier \ elles se réduisent à

iPx ô» d'^y ô» dH Ô»

dt^ 2 <//' 2 dt^ 2

et la déviation elle-même devient, en supposant les axes rectangulaires ,

197. Direction de la dèv^iation. — On appelle direction de la déviation en un point quelconque M , la limite vers laquelle tend la direction NM' à mesure que M' tend vers M. Les cosinus des angles de NM' avec les axes rectangulaires étant toujours proportionnels aux composantes de NM', et respectivement de mêmes signes , il s'ensuit que la direction de la déviation au point M fait avec les axes des angles dont les cosinus peuvent être représentés proportionnellement en grandeurs et en signes par les trois quantités

il^x d^y d^z IF' lîF' dP'

222 COURS DE MECAMIQUK.

Leurs valeurs même s'obtiendraient en divisant ces quantités par

vm*&h{w

Si le mouvement avait lieu suivant une ligne droite, la déviation serait évidemment dirigée suivant cette même

droite 5 et, en effet, dans ce cas, les quantités —j-^y -^-71

d'^z • 11 y ^ dy dz

-7— sont proportionnelles a -^-9 -—-5 — • dt^ ^ ^ dt dt cU

198, accélération dans le mous^ement déi^iatoire. — Nous avons vu qu'en négligeant les quantités d'un ordre supérieur au second , par rapport à , et , par conséquent , infiniment petites par rapport à la déviation NM', la valeur de cette dernière quantité était

d^'rV fd^zY

Elle croit donc comme l'espace parcouru d'un mouvement uniformément accéléré par un mobile partant du repos , l'accélération étant égale à

Ainsi, en se représentant la déviation comme décrite par le mouvement d'un point, et bornant l'approximation aux quantités du second ordre qui suflSsent pour le calcul des accroissements infiniment petits de vitesse, on peut dire que le mouvement déviatoîre est uniformément accéléré ; et dans ce mouvement l'accélération a pour valeur

/[d^xY [d'^rY [d^zY

En multipliant cette expression par les cosinus des angles formés avec les axes par la direction de la déviation, et

PREMIÈEE ANIfÉE. STATIQUE. 223

calcules ci-dessus , on trouvera pour les composantes de

cette accélération, en grandeurs et en signes, les trois

expressions

'dF'' "5F' Ht^'

199. Remarque, — Il faut bien remarquer que cette accélération est celle du mouvement déviatoire, au moyen duquel on regarde la déviation comme décrite, et non pas du mouvement lui-même sur la trajectoire. Ce serait trop détourner les mots de leur sens naturel. Nous avons d'abord appelé accélération, Taccroissement de la vitesse dans Tunité de temps, cet accroissement ayant lieu uniformément; nous avons ensuite étendu cette définition au cas d'une variation quelconque, par la considération des infiniment petite : il n'est pas possible d'aller plus loin sans dénaturer celte nolion. Si donc on considérait l'accélération dans un mouvement curviligne varié, il serait naturel d'entendre par là

l'accroissenient de vitesse rapporté à l'unité de temps, ou — i

ce qui ne serait nullement l'accélération du mouvement déviatoire que nous venons de calculer. C'est pourquoi nous ne désignerons jamais celte dernière sous le nom d'accélération du mouvement sur la trajectoire.

200. Composantes de la déviation suivant la tangente et la normale, — Nous avons vu que les composantes de la déviation suivant les axes avaient pour expressions, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à ces composantes ,

2 dt' '

.2 dt' '

2 dt'

Soient NM' [fig. 44) la déviation, M'P la perpendiculaire abaissée de M' sur la tangente en M ; NP et PM' seroQt, d'après notre définition, les composantes de NM'' suivant la tangente et la dîreclion PM'.

224 COUnS DE MÉCANIQUE.

La composante taugentielle NP s'obtiendra , en grandeur et en signe , en projetant sur la tangente les trois composantes de NM' suivant les axes. En supposant toujours les axes rectangulaires , les cosinus des angles que forme avec eux la direction de la tangente prise dans le sens du mouvement, sont

dx dy dz

ds ds ds '

d'où il suit que la composante tangentielle de la déviation aura pour valeur

02 dxd'^jç-^-dfd'^X'^'dzd'^z 2 dsdt"*

Mais de Téquation

dx^ -f- flTr* 4- dz^ = ds^ on tire

dxd^x -^ dfd^jr-i- dzd^z =■ dsd^s', l'expression précédente devient donc

Ô' d^s G' di^

— — ou •

2 dt^ 2 dt

Telle est l'expression de la composante tangentielle.

Quant à la seconde composante M'P, on sait que si l'on désigne par R le rayon de courbure de la trajectoire en M , on aura, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à M'P,

mais MM' étant l'espace parcouru dans le temps 9, on pourra remplacer MM' par ^'Q, et Ton aura, au degré d'approximation demandé ,

PREMIÈAR ANNEK. — STATIQUE. 2^5

Telle est donc l'expression de la composante normale , dont la direction peut être remplacée par sa direction limite, sans changer le degré d'approximation. Cette direction limite est celle de la normale menée du point M au centre de courbure de la trajectoire. Ces deux composantes peuvent être désignées par les noms de déflation tangeniielle et déifialion centripète.

On reconnaît facilement, d'après les expressions de ces deux composantes , que, si le mouvement est uniforme, la déviation est normale à la trajectoire^ et, s'il est rectiligne, R étant infini, la déviation est dans le sens de la tangente ou de la ligne du mouvement.

201 . Composantes tangentielle et normale de Vaccélé^ ration dans le mouvement déviatoire. — Le mouvement déviatoire étant dirigé suivant NM', et par suite aussi, l'accélération de ce mouvement, les composantes de cette accé* lération suivant la tangente et la normale principale seront, avec Taccélératiou elle-même, dans les mêmes rapports que NP,PM', NM' , et nous avons déjà remarqué que les composantes de l'accélération dans un' mouvement rectiligne NM' sont les accélérations des mouvements des projections du point sur les directions que Ton considère. Nous aurons donc les expressions des composantes de l'accélération en

divisant par — les expressions des espaces infiniment petits

NP, PM' parcourus, dans le temps 0.

Les composantes tangentielle et normale de Taccéléra-

lion du mouvement déviatoire sont donc , la première -j^

ou —5 et la seconde -— • dt R

On les désigne quelquefois sout les noms d! accélération

tangentielle et accélération centripète,

O.-J.G COURS DE MKCANIQITE.