DE FORME INVARIABLE

202. Si Ton considère deux positions successives occupées par un système de forme invariable, indépendamment des forces qui Font sollicité, et du temps qu'il a mis pour passer de l'une à Tautre, on voit d'abord qu'il y a une infinité de manières de Tamener de la première à la seconde, et Ton peut se proposer de déterminer les mouvements les plus simples ou les plus avantageux , au moyen desquels on peut , dans chaque cas , opérer ce passage.

Or, quelque déplacement qu'ait subi un système, on peut l'amener dans sa nouvelle position, en faisant d'abord mouvoir tous les points suivant des lignes parallèles et égales à celle qui joint les deux positions d'un même point du système, ou d'un point quelconque qu'on y aura lié invariablement, puis en laissant ce point fixe, et en faisant tourner le système autour de lui , jusqu'à ce que deux autres points , non en ligne droite avec ce centre , viennent prendre la position qu'ils doivent occuper.

Examinons maintenant chacun de ces deux mouvements, de translation et de rotation.

Il est évident que le point que l'on a considéré pourrait parvenir d'une position à l'autre, en décrivant un polygone quelconque, qui commencerait à l'une et se terminerait à Tautre. D'où il suit que le premier mouvement pourra être remplacé par une suite d'autres mouvements de translation!, représentés en grandeur et en direction par les divers côtés de ce polygone. Cette substitution de plusieurs mouvements successifs à un seul s'appellera co/7//^05/iCzb/i, et l'inverse décomposition. On peut donc dire que les mouvements de translation peuvent se composer et se décomposer

de la même mauière que les forces appliquées à un même point.

Quant au mouvement autour du point fixe , il est facile de reconnaître d'abord qu'il peut être décomposé d'une infinité de manières, en deux mouvements, autour d'axes fixes; car on amènerait un point quelconque d'une position à une autre, en faisant tourner le système autour d'une droite quelconque passant par le point fixe , et située daus le plan mené par ce point, perpendiculairement à la droite qui joint les deux positions du point que l'on considère, lesquelles sont nécessairement équidistantes du centre. Le système ayant maintenant deux de ses points dans la position qu'ils doivent occuper ^ il est certain que tous les autres arriveront à la leur, par un mouvement de rotation autour de la droite qui joint les deux premiers. La question est donc réduite à la considération des mouvements de rotation autour d'axes passant par le point fixe.

Les propositions que nous allons démontrer relativement à la composition et la décomposition de ces mouvements sont extraites de la Théoiie nouv^elle de la rotation des corps, de M. Poinsoi; mais, avant d'entrer dans cette exposition, nous commencerons par faire une remarque trèssimple et très-utile. Lorsqu'un corps tourne autour d'un axe fixe, d'une quantité angulaire infiniment petite, les variations infiniment petites des coordonnées d'un point quelconque dépendent des coordonnées de ce point, et des autres données delà question. Pour un point infiniment voisin, ces variations ne diiSereront donc des premières que de quantités infiniment petites par rapport à elles, et l'on peut les substituer les unes aux autres, s'il ne s'agit que de limites de sommes ou de rapports. On peut donc , dans la détermination du déplacement infiniment petit d'un corps qui tourne autour d'un axe, supposer que le «orps, au lieu de partir de la position donnée, parte d'une

228 COURS DE MFCANIQrR.

aulre position infiniment voisine -, les variations des coordonnées de chacun de ces points , ainsi calculées , pourront être prises pour celles que l'on cherchait. Si donc on a à faire éprouver successivement à un corps un nombre quelconque de rotations successives infiniment petites, on pourra supposer chacune déciles effectuée à partir de la position primitive du corps, et la somme totale des variations des coordonnées de chaque point pourra être considérée comme la variation résultante des mouvements opérés à la suite les uns des autres , et dans un ordre quelconque.

Il est encore facile de s'assurer que si le système tournait de la même quantité infiniment petite autour d'un axe infiniment voisin de celui qui est donné, les variations des coordonnées d'un point à une distance finie ne seraient altérées que de quantités infiniment petites par rapport à ellesmêmes, et qui pourraient conséquemmentêtre négligées. En effet, les variations des coordonnées, en se bornant aux quantités du premier ordre infinitésimal , sont le produit de l'angle de rotation infiniment petit, par des fonctions des quantités qui déterminent l'axe. Si donc ces quantités changent infiniment peu, il en résulte, pour les variations des coordonnées, des changements d'un ordre supérieur au premier.

Ainsi , il n'y a aucune erreur du premier ordre infinitésimal dans l'expression des variations des coordonnées des divers points d'un système rigide qui tourne successivement, de quantités angulaires infiniment petites, autour d'axes en nombre quelconque, lorsque l'on substitue à ces divers points, d'autres points infiniment voisins; que l'on substitue de même à ces axes d'autres axes infiniment peu différents, et quel que soit l'ordre dans lequel on effectue ces différentes rotations. C'est à cause de ces avantages que Ion décompose toujours les mouvements effectués dans des temps finis, dans ceux qui s'accomplissent dans les intervalles infini-

PREKIlÈfiK ANNÉE. — STATIQUE. 2,2g

nient petits, dans lesquels on peut décomposer ces temps. Aussi tout ce que nous dirons sur la composition et la décomposition des mouvements se rapportera presque uniquement au cas où ces mouvements seront infiniment petits.

203. faites se angulaire, — Considérons le mouvement continu de rotation d'un système rigide, et concevons un plan passant par Taxe et lié invariablement au système. La position de ce plan détermine celle de tous les autres points, et peut être donnée à chaque instant par Tangle ^ qu'il fait avec un plan fixe mené par Taxe.

Si les accroissements de cet angle sont proportionnels aux accroissements du temps , le mouvement angulaire du système est uniforme. Il en est de même des mouvements des différents points, et leurs vitesses sont proportionnelles à leurs distances à Taxe. On nomme, dans ce cas, vitesse angulaire du système, Fangle décrit par le plan mobile dans Funité de temps ^ c'est la vitesse de tout point situé à l'unité de distance de Taxe.

Si le mouvement angulaire est varié et que Tangle ^ soit une fonction quelconque du temps, on appellera vitesse angulaire à un instant quelconque la limite de la vitesse angulaire moyenne avec laquelle un angle infiniment petit serait décrit à partir de cet instant. Sa valeur est la dérivée

de l'angle par rapport au temps, ou -r^; et Tangle décrit

dans un temps infiniment petit peut être considéré comme le produit de la vitesse angulaire par ce temps, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur.

204. Remarque. — Il ne faut pas perdre de vue le sens que ' nous avons attaché à la composition des mouvements. Nous

avons suppose que le corps avait deux mouvements successifs , et nous nous sommes proposé de déterminer la position à laquelle il parvenait après leur accomplissement. Quelquefois on dit qu'un corps est animé de plusieurs mouve-

23o COURS DE MÉCANIQUE.

ments simultanés; mais comme eiîeclivement Un point ne peut avoir qu'un mouvement à la fois , on entend par là que ce corps a un certain mouvement par rapport à un système rigide, qui lui-même en a un par rapport à un au7re système rigide, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on arrive à un système immobile. Il résulte de là, pour le corps, un certain mouvement dans l'espace, qui est continu si les autres le sont, et qui rentre dans les mouvements résultants tels que nous les avons définis. En effet, considérons tous ces mouvements correspondants à un même temps écoulé : concevons d'abord que le corps se meuve seul et accomplisse son mouvement dans le premier systènie-, qu'ensuite ce système exécute son mouvement dans le second, en entraînant avec lui le corps dans la position qu'il y a prise 5 qu'après cela, le second système exécute son mouvement en entraînant le premier et le corps; et ainsi de suite; il est facile de voir que le corps se trouvera à la fin dans la position où il doit être d'après les données. Mais chacun des mouvements, que nous venons d'indiquer, des systèmes qui entraînent le corps fixement lié à eux, n'est autre cbose qu'un mouvement du corps lui-même , et décomposable en un mouvement de translation suivi d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe. D'où l'on voit que les mouvements simultanés en question , que l'on appelle quelquefois, assez improprement, des mouvements dont le corps est animé simultanément, le placent à une époque quelconque dans la même position où il arriverait par la composition de ces mouvements telle que nous l'avons définie , c'est-à-dire en les produisant successivement.

205. Cas des axes concourants, — Soit OA [fig* 45) la direction d'un axe autour duquel un système rigide tourne, d'une quantité angulaire quelconque 2a, le sens de la rotation étant déterminé de la manière indiquée précédemment.

phemièrk année. — stati^^ue. 23 i

Soit do même OB un second axe autour duquel le système tourne d'une quantité angulaire 26, quand le premier mouvement est accompli . Nous allons démontrer que le système arriverait à la même position par une rotation unique, autour d'un axe passant par le même point O.

En effet , menons par OA un plan qui fasse avec le plan AOB un angle a , du côté de OB ; et par 06 un autre plan faisant avec AOB un angle 6, du côté de AO. Tl est évident qu'après la première des deux rotations , l'intersection OD de ces deux plans aura pris la position symétrique par rapport au plan AOB, et qu'après la seconde rotation, elle aura repris sa première position. Donc le système parviendrait à la seconde position en tournant autour de TaxeOD.

Cette conséquence a lieu, quels que soient les angles 2a, 26^ mais nous examinerons particulièrement le cas où ils sont infiniment petits. Dans l'angle trièdre, formé par les arêtes OA , OB, OD, les sinus des angles BOD, AOD sont

<?ntre eux comme sin a : sin 6^ donc la limite de -9 qui est

le rapport des vitesses angulaires, en supposant ces angles décrits dans un même temps, est égale au rapport des sinus des angles formés avec OB, OA par la limite de la direction de l'axe OD 5 qui se trouve dans le plan OAB lui-même. Ainsi , les deux rotations infiniment petites, dont le rapport des vitesses angulaires est connu, se composent en une seule, autour d'un axe dirigé suivant la diagonale OP du parallélogramme construit sur les lignes OM, ON {fig. 46) ^ proportionnelles à ces vitesses angulaires, et portées, à partir du point O, sur les axes correspondants.

Il ne reste plus qu'à connaître le sens et la grandeur de la vitesse angulaire du mouvement résultant. Pour cela, on choisira un point quelconque 1 sur l'axe OA, autour duquel s'est effectuée la première rotation \ il ne se déplacera

232 COURS Dl MÉCANIQUR.

qu'à la seconde , et il décrira une ligue infiniment petite IL perpendiculaire au plan AOB (^ig'. 46). Abaissons les perpendiculaires IK, IH sur OB, OD. Les angles infiniment petits , dont le point I tourne autour de OB ou de OD, pour parvenir à sa position L, sont dus à des mouvements de même sens, et en raison inverse de IK et IH , ou de sin KOI et sin HOI , ou enfin de OP et ON. Donc la vitesse angulaire résultante sera représentée par la diagonale OP, puisque la vitesse angulaire autour de OB l'est par ON. De plus, d'après ce que nous avons dit, le sens de la rotation autour de OD est de gauche à droite, comme autour de OB. Donc enfin , si Von prend sur la direction de deux axes, à partir de leur point de concours, des grandeurs qui représentent- les vitesses angulaires des rotations successii^es autour de ces deux axes, la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux lignes représentera la direction de taxe de la rotation résultante, et la grandeur de sa i;/tesse angulaire.

On conclut de là que la composition et la décomposition de rotations en nombre quelconque autour d*axes passant par un même point s^effectuent de la même manière que celles des forces dirigées suis^ant ces axes^ et représentées en grandeur par les vitesses angulaires correspondantes,

206. Cas des axes parallèles. — Considérons maintenant deux axes parallèles dont les directions sont dans le même sens , par exemple au-dessus du plan perpendiculaire sur lequel ils sont projetés. Soient A et B leurs projections, et 2 a, 2 S les angles dont le système tourne successivement autour de A et B. Soit AC (fig> 47 ) ^^ trace d'un plan passant par Taxe A et faisant avec AB Tangle CAB = a du côté de B; et soit de même BC faisant Tangle CBA == 6 du côté de A. La parallèle aux axes, menée par le point C, reviendra à sa première position après les deux rotations , effee-

tuées dans l'ordre indiqué. Le déplacement proposé serait donc produit par une rotation autour de cette droite.

Lorsque les angles a, S sont infiniment petits, le point C est sur la droite AB, en un point C/ qui la partage en raison inverse des angles a, 6, ou des vitesses angulaires.

De plus, lorsque ]a rotation est effectuée autour de A, et qu'elle s'effectue ensuite autour de 6, le point A étant situé du même côté de C et B, et la rotation autour de C devant l'amener au même point, il en résulte qu'elle est dans le même sens que les deux autres. Il ne reste plus qu^à connaître la vitesse de la rotation résultante. Soit AD la ligne infiniment petite que décrit le point A autour de B, il décrira la même ligne autour de C\ et les vitesses angulaires seront en raison inverse de AB et de AC. Donc, si les vitesses angulaires autour de A et B sont représentées respectivement par BC et AC, la vitesse angulaire résultante le sera par AB.

La loi de composition de deux rotations de même sens autour d'axes parallèles est donc identique avec celle de la composition des forces parallèles de même sens. On trouverait la même identité dans le cas de rotations de sens contraires, soit en le déduisant du précédent, comme dans la composition des forces , ou en le traitant directement.

207. Couples de rotations, — Si les deux rotations qu'où a à composer étaient égales et de sens contraires, on aurait ce que M. Poinsot appelle un couple de rotations. L'effet de ces deux rotations est de donner un mouvement de translation au système dans le sens de l'axe de ce couple. En effet, soit M {fig^ 4^ ) ^^ point quelconque du système, il se mouvra dans un plan perpendiculaire aux axes ; et si pour chacune des rotations il décrit les lignes infiniment petites MC, ME, respectivement perpendiculaires aux droites MA , MB et proportionnelles à leurs longueurs , il parviendra à l'extrémité N de la diagonale du parallélogramme

234 COUKS DE MÉCANIQUE.

construit sur MC, MD. Or, les triangles MCN, AMB sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels , d'où il suit que MN est perpendiculaire à AB. L'effet d'un couple de rotations est donc un mouvement de translation dans le sens de l'aice de ce couple , et qui reste le même , de quelque manière qu'on place ce couple dans son plan, ou dans tout plan parallèle. Pour connaître l'espace parcouru, il suflit de considérer un point quelconque, A par exemple, et il est facile de voir qu'il se déplace d'une quantité égale à la distance AB, multipliée par l'angle de rotation.

Toute translation pouvant ainsi être remplacée par deux rotations , on pourrait se borner à considérer des mouvements de rota tion .

Nous avons vu que les mouvements de translation se composent comme les forces appliquées à un même point; il s^ensuit que les couples de rotations se composeront de la même manière; et si l'on porte sur l'axe de chacun d'eux une longueur égale à l'angle de rotation multiplié par le bras de levier de ce couple, c'est-à-dire par la distance de deux axes de rotation , ces longueurs composées comme des forces, à partir du même point , donneront en grandeur et en direction le mouvement de translation résultant.

On remarquera qu'une rotation autour d'un axe A pourra toujours être remplacée par une rotation identique, autour d'un axe B parallèle au premier, plus un couple de rotations dont le bras de levier sera AB ; car il suffit pour cela d'introduire deux rotations autour de Taxe B qui soient égales à la première et de sens opposés , ce qui ne change rien au déplacement.

208. Réduction générale de tout mouv^ement, — Quelles que soient les rotations et translations infiniment petites opérées sur un système , elles peuvent se réduire à une rota-

tioii autour d'un axe passant par un point arbitraire, et une translation dépendante de ce point.

En effet , toute rotation autour d'un axe peut être changée en une rotation identique autour d'un axe parallèle mené par ce même point quelconque, plus une translation, ou un couple de rotations, dépendant de la position du nouvel axe. Toutes les rotations composées donneront la même rotation résultante autour d'un axe de direction constante y quel que soit le point où Ton ait transporté tous les axes. Mais les mouvements de translation ou couples de rotations donnés , composés avec ceux qu'on a introduits , donneront un couple résultant, ou une translation, variable de grandeur et de direction.

209. Cas particulier où le mouvement est parallèle à un plan, — Si tous les points du corps se meuvent suivant des lignes parallèles à un même plan, et que l'on conçoive une section faite par un plan fixe parallèle au premier, il en résultera une figure qui se mouvra dans ce plan fixe ; et sa position déterminant celle du corps même, il suflSra de considérer le mouvement de cette figure.

Or, il est facile de démontrer que tout déplacement infiniment petit qu'elle subira , peut être produit par une rotalion autour d'un point déterminé. En effet, on pourra toujours produire ce déplacement , par une translation qui amènera un point A choisi arbitrairement dans la position A' qu'il doit prendre (Jîg, 49), puis, par une rotation convenable 2 a effectuée autour de A'. Menons par A' une droite LM perpendiculaire à AA', et deux autres droites faisant de part et d'autre deLM des angles égaux à «5 puîs^ inscrivons entre ces deux droites deux lignes BB', CC, égales et parallèles à A A'.

Les deux points B , C considérés comme liés à la figure auront été transportés en B', C par la translation 5 ensuite *a rotation amènera B' en B ou C en C, suivant qu'elle de-

23f> COUES DE MECAMQUr..

vra êlre exécutée dans un sens ou dans l'autre. Supposons que ce soit B' qui revienne en B : le système arrive donc dans la position qu'il doit avoir , sans que le point B quitte sa première position, et par conséquent, par une simple rotation autour du centre B, dont la position est entièrement déterminée par la construction précédente. Le corps aura ainsi eficctué une rotation autour d'un axe perpendi* culaire au plan.

La question que nous venons de traiter est renfermée dans celle du mouvement d'une figure sur une sphère, laquelle avait été traitée pour la première fois par Euler.

210. Réduction générale à un tnousfement hélicoïdal, — Nous avons déjà réduit tout mouvement à deux autres, l'un de translation dépendant du point choisi 5 l'autre de rotation et constant quant à la direction et à la grandeur. Décomposons le premier en deux, l'un parallèle à l'axe de rotation , l'autre perpendiculaire. Ces mouvements infiniment petits pouvant être effectués dans un ordre quelconque, nous commencerons par la translation parallèle à l'axe \ il restera une rotation et «ne translation perpendiculaire à l'axe, qui se composeront comme on vient de le voir, en une simple rotation autour d'un axe parallèle au premier.

Tout mouvement est donc réductible à une rotation autour d'un axe, et une translation parallèle à cet axe, mouvement qui n*est autre que celui d'une vis dans son écrou.

On reconnaît facilement que cette translation parallèle a Taxe est la projection, sur cet axe , de la première translation à quelque point qu'elle se rapportât. Elle est toujours la même et égale à la quantité commune dont tous les points du corps, en passant de leur première position à la seconde, se sont éloignés d'un même plan perpendiculaire à la direction déterminée de l'axe. Enfin elle est la plus petite trans-

lation possible, puisqu'elle est la projection de toutes les autres.

On arriverait à ce même résultat par la composition des rotations et des couples de rotations , qui est analogue , comme nous l'avons vu, à celle des forces et des couples. En effet, nous avons démontré dans la Statique que tout système de forces pouvait être ramené à une force , et un couple ayant son axe parallèle à cette force. Donc aussi, tout système de rotations ou translations infiniment petites peut être réduit à une rotation autour d'un axe, et une translation parallèle à cet axe.

2H . Mouvement continu parallèlement à un plan fixe, — Ce mouvement peut être réduit , comme nous F avons déjà dit, à celui d'une figure plane dans son plan. Décomposons le temps en éléments infiniment petits. Le mouvement opéré dans chacun de ces intervalles pourra , comme nous l'avons démontré , être considéré comme une rotation effectuée autour d'un point déterminé, que l'on nomme centre instantané de rotation^ et l'ensemble de ces centres a pour limite un lieu géométrique continu , entièrement déterminé , et immobile sur le plan. Si maintenant l'on considère tous les points liés à la figure mobile, qui sont venus successivement coïncider avec les points du premier lieu à l'instant où ils étaient centres de rotation, on aura un second lieu, invariablement lié avec la figure mobile, et se déplaçant sur le plan. Si l'on connaissait le mouvement de ce lieu, il déterminerait réciproquement celui de la figure qui lui est liée. Or nous allons voir qu'il peut être très-simplement défini.

En effet, soient A, B, C, D, E, F, etc. ( fig, 5o), les positions successives des centres de rotation correspondants aux divers intervalles de temps-, A', B', C, D', etc., les points liés à la figure , et qui viennent coïncider respectivement avec les premiers , à l'instant où ils deviennent centres de

rotation . Lorsque, par exemple, B' est en B, la figure tourne autour de B jusqu'à ce que C vienne en C ; alors elle tourne autour de C jusqu'à ce que D' vienne en D, et ainsi de suite. D'où il suit que ces deux polygones ont les côtés égaux et roulent Tun sur l'autre sans glisser, tandis que la figure arrive successivement à toutes les positions qu elle doit avoir aux instants considérés.

Supposons maintenant que les intervalles de temps diminuent indéfiniment^ les deux polygones tendent à devenir deux courbes déterminées, l'une fixe, Fautre mobile avec la figure à laquelle elle est invariablement liée. Ces deux courbes sont constamment tangentes^ des arcs égaux de ces courbes s'enroulent les uns sur les autres, et, par conséquent, il n'y a pas glissement.

Si donc on adaptait à la figure donnée la courbe lieu des centres instantanés relativement à cette figure , il suffirait de faire rouler, sans glisser, cette figure sur celle qui est le lieu des mêmes centres sur le plan fixe ; et la figure prendrai t ainsi le mouvement qu'elle doit réellement avoir.

Pour avoir le mouvement dur-eoyps Itti-mème , il suffira de considérer les deux surfaces cylindriques qui se projettent sur le plan fixe, suivant ces deux courbes, et de les faire rouler l'une sur l'autre sans glisser,

212. Moui^ement continu autour d'un point fixe, — Ce mouvement peut être décomposé en une infinité d'autres effectués dans des intervalles de temps infiniment petits, et qui peuvent être considérés comme ayant lieu autour d'axes successifs infiniment voisins; chacun de ces axes peut être considéré comme lié au corps dans la position où il est relativement à lui à rinstant où il devient axe de rotation. On a ainsi deux systèmes de droites , > Tun immobile dans Tespace, l'autre fixement lié au corps mobile. Ce second système constitue un angle solide , à faces infiniment petites, qui viennent successivement coïncider avec celles de

PRKMIKRE ANNÉE. — STATIQUE. 289

l'angle solide fixe. Les deux systèmes forment à la limite deux surfaces coniques, Tune fixe, Tautre liée au corps et toujours tangente à la première suivant une génératrice, puisque les surfaces dont elles sont les limites avaient toujours une face commune.

Il est facile de voir, en outre, qu'elles ne glissent pas l'uue sur Tautre. Car la génératrice commune étant Taxe instantané de rotation a une vitesse nulle, et, par conséquent, ne peut se déplacer que d'un infiniment petit du second ordre, dans Tinter valle de temps du premier ordre, pendant lequel a lieu une rotation du même ordre : ce qui exclut tout glissement. Et, d'ailleurs, c'est aussi une conséquence immédiate de ce que des faces égales de surfaces polyédriques s' appliquant toujours les unes sur les autres, les surfaces coniques qui s'enrouleront le^ unes sur les autres le seront elles-mêmes , et, par conséquent, il n'y aura pas glissement.

On peut donc se représenter le mouvement d'un corps autour d'un point fixe , comme déterminé par le roulement d'un cône fixement lié à ce corps sur un cône immobile dans l'espace ayant, comme le premier, le point fixe pour sommet.

On rentrerai! dans le cas précédent en supposant le point fixe à l'infini.

213. Moui^ement continu en général. ^-'hes mouvements infiniment petits dans lesquels on décomposera le mouve-ment peuvent être ramenés d'une infinité de manières à une translation et une rotation ^ nous nous bornerons à considérer celle où la translation est parallèle à Taxe de rotalion. M. Poinsot n'a pas cru devoir parler de ce cas, parce que la marclie à suivre est la même que dans les précédents^ et que cela l'aurait écarté, sans aucun intérêt , de son objet. L'ensemble des axes de rotation et de glissement forme une surface réglée dans l'espace, et une autre dans le corp*

24o COURS DE MÉGANIQUE.

mobile. Toutes les génératrices de la seconde viennent successivement s'appliquer sur celles de la première; et, eu supposant que la rotation soit exécutée après la translation, une génératrice de la seconde viendra , par une rotation , s^appliquei sur sa correspondante, sur laquelle elle glissera d'abord en entraînant le corps dans sa translation, et autour de laquelle elle tournera ensuite jusqu'à ce que les deux génératrices suivantes soient venues coïncider; et ainsi de suite.

Or, au moment où la rotation autour d'une génératrice commune a amené une seconde génératrice à coïncider, les deux surfaces ont deux génératrices communes, et, par conséquent , sont tangentes dans toute Tétendue de ces génératrices. On peut donc dire que le mouvement du corps peut être réalisé par le mouvement d'une surface réglée, liée à ce corps sur une autre surface réglée fixe dans Fespace, à laquelle elle est tangente suivant toute une génératrice , et sur laquelle elle roule en glissant le long de cette génératrice.

Le rapport du glissement à la rotation dépend de la nature du mouvement et peut même être nul. Si l'une des surfaces est développable , il est clair que l'autre l'est aussi, puisque leurs éléments coïncident dans toute leur longueur.

On rentre dans le cas précédent s'il y a un point fixe dans le corps; les deux surfaces deviennent des cônes, et le glissement est nul.

Démonstration analytique des pmpositions précédentes.

214. Il n'est pas inutile de voir comment les principales propositions qui viennent d'être établies sur le mouvement d'un corps solide, peuvent être démontrées par le calcul. Nous déterminerons la position du corps à chaque instant, au moyen des coordonnées rectangulaires d'un point quel-

PBBMIERE ANNÉE. — STATIQU/. 24 1

conque O lié à ce corps , et des angles formés avec les axes fixes AX, A Y, AZ par trois axes rectangulaires OXi, OY, , OZi liés invariablement au corps et passant parle point O. Soient a, i, c, a', ft', c', a", b"^c" les cosinus des angles que forment les axes des x', j<', z' respectivement avec ceux des x^ y^ z^ et |, yj, ^ les coordonnées du point arbitraire du système mobile par lequel on mène les axes des x\y ^ z\ dont on a choisi la direction dans le corps, indépendamment du point O par lequel on les fait passer. On aura, entre les coordonnées d'un point quelconque M dans les deux systèmes d'axes, les relations connues

Considérons un point déterminé du système pour lequel, par conséquent, x'y* z' seront indépendants du temps t. Supposons que t augmente d'une quantité finie Af , et désignons par la caractéristique A les accroissements finis correspondants des autres variables. Les équations (i) donneront

IA:c = AÇ-4-.r'A« + y' l^h + z'Ac, ^y=z^'n -f-^'Art'+ r'AA' + z'Ar', A3 = AÇ -hx' ^a"'\-y'^b"-^z'^c".

Les premiers membres de ces équations sont les composantes du déplacement de ce point, parallèlement aux axes fixes 5l les premiers termes des trois seconds membres sont les composantes du déplacement de O 5 et il est facile, comme nous allons le voir, d'interpréter les trois derniers termes de chacun des seconds membres. En effet, si en supposant le point O fixe, on change la direction des axes X', Y', Z', de manière que dans le temps A« les cosinus a, i, c, a', etc., varient des mêmes quantités Aa, Afc, etc., il faudra laisser I. 16

^, y?, Ç constants dans les équations (i), et les seconds membres des équations (2) seront réduits à la seconde partie que nous cherchons à interpréter. D'où l'on voit que ces secondes parties ne sont autre chose que les composantes du déplacement que prendrait le point quelconque M si l'on donnait au système un mouvement autour du point fixeO, qui fît changer, dans le temps A^, les inclinaisons des axes Xi Yi Zj de la même manière que dans le déplacement réel. Il suffit donc , pour amener chaque point dans sa véritable position , de faire exécuter au corps les deux mouvements successifs qui produiront ces deux composantes pour chaque point. D'où résulte cette proposition générale :

Tout déplacement fini d'un système rigide peut être produit en lui donnant d'abord un moui^ement de translation qui amène un quelconque de ses points dans la position quil doit at^oir^ puis un moui^ement de rotation autour de ce dernier point; mout^ement qui est le même, quel que soit le point choisi, et ne dépend que des changements de direction des lignes du système.

Il est évident qu'on aurait pu effectuer d'abord la rotation autour du point o pris dans sa première position, puis effectuer la translation; les valeurs de Ax^ Aj-, Az seraient les mêmes, et, par conséquent, le système arriverait à la même position. C'est ce que l'on reconnaîtrait d'ailleurs immédiatement par la Géométrie.

215. Simplification du mous^ement autour d'un point, — Il est facile de voir que tout déplacement du corps autour du point fixe O peut être produit par une rotation autour d'un axe passant par ce point.

En effet, en supposant le point O fixe, les équations (2) donnent, pour Axy Ay, Az, des valeurs qui seront nulles pour tous les points du corps qui satisferont aux équa-

PREMlènS AlfNÉE. STATIQUE. 243

lions

ix' ^a H-/Aft -f-z'Ac=o, x'Aa'H-/A6'-h3'Ac' = o,

Tous ces points auront donc la même position avant et après le déplacement. Si , en éliminant x\y'^ et, par suite, z', entre ces trois équations , Féquation de condition résultante est satisfaite , il y aura une infinité de valeurs pour x', /', z^ satisfaisant aux équations (3) et qui correspondront à des points en ligne droite avec Torigine O; sinon, l'origine seule satisferait. Or nous allons voir que cette équation de condition est satisfaite^ d'où il résultera que tous les points d'une certaine droite passant par O ont conservé leur position première après le déplacement , et , par conséquent, que ce déplacement peut être opéré en faisant tourner le système autour de cette droite fixe.

En effet , les quantités a, &, e, a', etc., satisfont constamment aux cquations suivantes :

a^-\^d''^a"''=\^ b^ -\- b'^ -h b''' z= I, c» + c'»-hc"^=ri.

D'où Ton tire , en donnant à a, i, c, etc., les accroissements Aa, Ab^ etc., et retranchant les équations précédentes ,

l (û4-|Aa)A/i-f (a'4-|Aa')Aâ'-+-(a"H-7Aa")Afl" = o,

(4) I (Ô4-i.A^)Aè-h(^'-+-iA3')AÔ'4-(ô"4-|Ar)Ai»" = o,

( (c -h 1 Ac).Ac +{tf' -h |Ac') Ar' -I- (c" 4- i Ac/') Ac" = o;

alb -h b^a -f- a'Ab' -h- ^' A a' -h «" A *" -h ^"A«" -h AaA^-h Aii'Aè'H- Aa"A^"=o,

, aAc -hcAfl -hû'Ac'-t- c' Afl'-h fl"Ac" -h c"Aa" ^ '^ + AflAc4- A«'Ac'-t- Aa"Ac"= o,

bàc -^cAb -f-^>'Ac'H-c'Aô'-f- ^^ Ac" 4- c^AÔ'^ -h AbAc-h Ab'Ac'-hAb"Ac''z=o.

Cela pose, multiplions les équations (3) respectivement para -f-^ Aa, a'-t- f Aa', a^-f-yAa", et ajoutons-les 5 nous aurons, en vertu de la première équation (4) ,

-+- »'[« 4- •5-A«)Ac-h(fl'-f.|Afl') Ac'-f-(«"-f-|A/i'') Ac"]=o.

On trouverait deux autres équations en multipliant les équations (3) successivement par