Ces formules sont
dx du d^x
de ^ dt de
PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. 3ll
OU encore, en remettant pour dt sa valeur tirée de la pre-
mière
Examinons les différentes questions auxquelles elles peuvent donner lieu.
1°. Supposons que Ton donne a: = F(f), on obtiendra l'expression de la vitesse et de la force par de simples différentiations par rapport à t.
i'^. Soit f^ = F (f ), on aura
__ dv d,Y{t) ^ '^'^ dt" dt '
on connaîtra donc la force accélératrice.
On connaîtra la position du point à chaque instant ei^
dx intégrant l'équation — = F (f), qui donne
X=jY{t)dt.
La constante relative à cette intégration se déterminera par la position initiale du point.
3^ Soit (p = F(«).
On connaîtra la vitesse par la formule
v=fY(t)dt,
et Ton déterminera la constante d'après la valeur initiale de j^. Soit ainsi ^=f[t)'^ on aura la valeur de x au moyen de la formule suivante :
et la constante introduite par cette nouvelle intégration dépendra de la position initiale du point.
3l2 COURS DE MECANIQUE.
4^. Soit p» = F (j:), on en conclura
dx I dx
-=F(.), d'où ' = Jf(^5
la constante se déterminera d'après la position initiale du point, et Ton aura ainsi une équation finie entre x et t.
\j^ force 9 ou — sera égale à F' (x) F (a:),
5**. Soit (j) = F (x) 5 si Ton remplace y par -7— , on aura
^=F(^); d'où vdv=Y{^x)dx,
jBt, en intégrant,
= ./FWrf.=:(^)
On parviendrait encore à ce résultat en remplaçant <f par
-7-- : on aurait alors dt^ '
dx
Si Ton multiplie les deux membres par 2 — j il vient
dx d^x „ , .dx
dt dt^ ^ ' dt
et les deux membres de cette équation sont des dérivées,
— \ î et le second , de 2 y F [x) dx 5 on aura donc
ce qui n'est autre chose que l'équation précédemment obtenue.
PREMIERE ANNÉE. STATIQUE. 3l3
La constante renfermée dans f se détermine par les valeurs initiales de oè et t^. On connaît ainsi la vitesse en un point quelconque du mouvement, et il reste à trouver une équation entre x et t. Désignons 2 /F (x) dx par /(x) 5 nous aurons
et la constante sera déterminée par la valeur initiale de x* 6*^. Soit enfin 9 = F (t'), on aura alors
dv r dv '
^,= FH. d'où ^ = j^y
la constante se déterminera par la valeur initiale de v.
Si Ton peut résoudre cette dernière équation par rapport
à ^, on aura
i- =/(()= j^> d'où x = Sf{t)dt.
D^ns le cas contraire , on remplacera y par — > et l'on aura
vdif „ , , „ ^ r vdv
-3- = F W, d'où :p = I -rr-.
dx \'^ J ^W
Si l'on peut effectuer cette intégration , on aura une équation finie entre i> elx\ et comme on en a déjà une entre t et ^', l'élimination de v^ en fera connaître une autre en X et t.
Telles sont les différentes questions auxquelles peuvent donner lieu les équations du mouvement rectiligne varié. Leur solution dépend toujours ou de différentiations , ou d'intégrations du genre des quadratures. Nous allons en faire l'application à quelques exemples ^
3l4 COURS DE MÉCANIQUE.
Mouvement d'un point matériel pesant dans un milieu
résistant,
268. La théorie admise sur la résistance des milieux est encore assez imparfaite ', mais ici nous regarderons comme exacts les résultats approchés, auxquels des expériences multipliées ont conduit sur cette matière.
Ainsi, nous supposerons que cette résistance est une force normale aux surfaces en chacun de leurs points , proportionnelle au carré de la vitesse relative de ce point et du milieu, estimé dans le sens de la normale, ainsi qu'à la densité du fluide. Il suit de là que la résistance exercée sur une sphère en mouvement est directement opposée au mouvement de son centre , et proportionnelle au carré de son rayon. Si on la divise par la masse de la sphère, on aura la force qui en résulte pour l'unité de masse.
Soient p la densité du fluide , que nous supposerons en repos, D celle de là sphère, r son rayon, i^ sa vitesse j la
résistance appliquée à l'unité de masse sera y -~- » y désignant un coefficient constant. Pour plus de commodité dans nos calculs , nous rapporterons cette force à la pesanteur, et nous désignerons par K la vitesse qu'il faudrait supposer à la sphère donnée , pour que la résistance qu'elle éprouve devînt égale à son poids, c'est-à-dire pour que l'on
eût y YT" = S' A^'ors la résistance appliquée à l'unité de
masse sera^^*, et c'est sous cette forme, où l'homogénéité
est mise en évidence , que nous l'emploierons dans les calculs qui vont suivre.
269. Mouvement descendant, — Nous commencerons par le cas où le point matériel se meut dans le sens de la pesanteur. Soient A (fig* 58) le point de départ, et x la
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 3l5
distance du mobile à ce point après un temps quelconque f , au bout duquel il a acquis la vitesse i^. En désignant par 9 la force accélératrice, on aura
d'où
v^ s dp
' s «K» K^^ ^ dt
K' dv
et, intégrant ,
!ig K— *>
Nous n'ajouterons pas de constante , parce que nous suppo sons que la vitesse soit nulle au point de départ. On tirera de là
d'où
(l) f^rrK. = -T-9
et j par suite ,
/gt gi e^ + e ^
dt = — \\e^-^e ^/-hC;
X devant être nul en niême que t , on doit avoir
C=— — 1.2, d'où résulte
3l6 COUES DE MÉCANIQUE.
On a donc ainsi à chaque instant la position et la vitesse dtt mobile; ce qui forme la solution complète de la question. On aurait pu exprimer x en fonction de v^ en remplaçant®
par — 1 ce qm aurait donne
dx
dx K d'où
''^^f.l-lK.'-P^),
et comme on a à la fois ^ = o , x = o , il en résultera
C= — l.K% et 5 par suite , (3) x=—\.
ig K* — P"
La valeur de p» eu fonction de t montre qu'elle est toujours plus petite que K, mais qu'elle tend vers cette limite
à mesure que t augmente , parce que l'exponentielle e tend vers zéro. Le mouvement lend donc à devenir uniforme, et la vitesse a pour limite celle qui rend la force accélératrice égale à la force retardatrice. Cet état n'a jamais lieu rigoureusement 5 mais le mobile s'en approche
i ndéfiniment, et d'autant plus rapidement , que e décroît plus vite, ou que K est plus petit. Or, nous avons trouvé
donc le mouvement devient sensiblement uniforme , d'autant pluspromptement et avec une vitesse d'autant moindre,
PREMIÈRE ANMER. — STATIQUE. SlT
que le milieu est plus dense , et que le mobile a un moindre rayon et une moindre densité-, ce qui est confirmé par l'expérience.
270. Si la densité du milieu est supposée nuUe , le mobile n'est plus soumis qu'à Faction de la pesanteur, la quantité K devient infinie , et Ton trouve, en supposant qu'on ait à la fois ^ = o,^'=o,.r = o,
^ = 8=-j^. dou ^ = 8^=-^.
et, par suite,
X = 2 — , et f»' = 2 gx.
Ces diverses formules, déjà obtenues précédemment, peuvent se déduire des précédentes en y faisant K infini. En effet , si on développe les exponentielles, l'équation (i)
donne, en supposant --=0, {f=zgf^ l'équation (3),
qu'on peut mettre sous la forme
donne , en développant le logarithme ,
supprimant le facteur commun K* et faisant ensuite K infini , on obtient
X z=: ? OU v^=iigx.
271. Moui^ement ascendant. — Soit A {Jig* 5g) le point d'où part le mobile : prenons toujours la direction AX de la pesanteur pour le sens des x positifs , et soit — a la vi-
3l8 GOU&S DE MÉCANIQUE.
tesse du mobile au moment du départ ; on aura
dv V* fi"
d'où
K' de
et intégrant, en observant que Ton a en même temps t ==0, i^ = — a,
^ =: arc tang — -h arc tang — = arc tang —
* — if a
d'où
et, par suite,
Ksm|-.cos- ^^.
. et „ £t dt ûsin |: +Kcos|r
d'où l'on déduit
rKsinff — flcos^ ^ t /isinf^ + KcGs^ ^ K K
= ^I. lasm^-\-Kcos^\ +C.
La constante doit être telle que l'on ait à la fois it =o, je: = o , ce qui donne
Le problème est donc entièrement résolu , puisque , pour toute valeur de f , on peut assigner la position et la vitesse du point, et, par suite, la force qui le sollicite.
PREMIÈRK ANNEK. STATIQUE. SlQ
Le mobile cessera de monter quand i^ sera devenu nul : la force sera g à cet instant et le fera descendre ^ mais alors la résistance changera de sens et on retombe dans le premier cas. La valeur 9 de t correspondante à cet instant est donnée par Téquation
. gB gQ sQ a '
K sin ^ fl ces ^ = G , d'où tang ^ = —r-
La valeur de x devient
C'est la distance de Forigine A au point le plus élevé B. A partir de ce point , le mouvement peut être déterminé par les formules relatives au premier cas, si l'on prend ce point pour origine. Cherchons qitelle vitesse aura le mobile quand il repassera en A , et quel temps il mettra à y revenir.
Egalons pour cela la distance AB ou — 1. — ;: — à la
valeur de x donnée par la formule ( 3 ) , il en résultera
— 9 a ou i'^ = a^
Le mobile revient donc en A avec une vitesse moindre que celle qu'il avait au moment du départ, et d'autant moindre que K est plus petit.
Pour connaître la valeur de t relative à cet instant , il faut dans l'équation (2) substituer à x la valeur particulière
et l'on aura
3ao couBS DK MÉCANIQUE.
d'où
Cette équation étant réciproque donnera h la fois e et e ; on aura, en prenant la plus grande racine,
gt— Il. TV^ . T .— , d'où fl' = -l.-
et )e temps total écoulé entre le départ et le retour aura
pour valeur
. ., ^ f a , a + \/a'+K'\ . + .' = -(^.rc,a„g- + l.*g ).
272. Autre loi de résistance. — Supposons maintenant la résistance proportionnelle à la vitesse, et représentée par
g —t K étant la vitesse qui rendrait la résistance égale au
poids du corps que l'on considère -, si le mouvement est dans le sens de la pesanteur, on aura
d'où
i la vitesse initiale est nulle, on aura C = -I.K,
et, par suite, d'où
On aura donc
et comme on a j: = o pour « = o, on aura
et, par conséquent,
^~Kf + — f e ^—1
La valeur de t^ apprend que la vitesse tend indéfiniment à se réduire à^K, c'est-à-dire à celle pour laquelle la résistance est égale au poids du mobile. Quant à la valeur de x, elle croit indéfiniment.
273. Dans le cas où le mobile aurait une vitesse initiale a, et ne serait pas soumis à l'action de- la pesanteur, mais à la résistance seule du milieu, on aurait
V di> ^ IL di> K , ^
^ ^JL dt , g V g
et comme on a i^ = a pour / = o, il en résulte .
^ K, , K, P C= — I. «, et 1= 1.-5
a'où
if ^=1 ae " = On lire de là
v=iae ^ = —
de
a:=za \ e ^diz= ^e *^4-C,
et comme on a en même temps t=zOj j? = o, on aura
^ ûK aKf -%\
C = — 9 et, par suite, x=z — ii — e /•
On voit que la vitesse a pour limite o, à mesure que le
temps augmente indéfiniment; et a: a pour limite — : de
sorte que le point tend indéfiniment vers une position déterminée, quMl ne peut jamais atteindre.
274. Mou\^ement ^vertical d'un point dans le vide. — Supposons un point matériel placé en A [fig* 6o) au-dessus de la surface de la terre , et attiré vers son centre O en raison inverse du carré de la distance. Prenons le point A pour origine des x que nous regarderons comme positif dans le sens de la pesanteur ; et désignons par g cette force appliquée à Funité de masse , placée à la surface de la terre , à la distance r du centre. On aura, d'après l'hypothèse,
ç = , — ~2 — \i ^^ posant OA = a. L'équation à intégrer sera
donc
d^x gr^
IF'" {a — xf
Elle devient, en la multipliant par iidxy
d^x , dx 2— r-r «i: = as^r*
dt^ ° (a---xY
PRBIIIKEE AIVNiLk. — STATIQUE. 323
j- 1 correspondante à raccroissement dty et le second est celle de — ^ — correspondante à Taccroissement dx relatif à dt.
Donc^ les intégrales ne peuvent différer que d^une constante , et l'on aura
Nous supposerons la vitesse nulle au point A , d'où résul* tera
a •et y par suite,
Cherchons maintenant x en fonction de t. Or, on tire de cette équation , en observant que dx et dt sont de même signe,
dx râ la — X dx la ^ ^
d'où
r \ 1g J sjax — x^ ^ y ^9 J ^ox — x^
— dx
^ax — j et , enfin ^
, , \ I a ( I ; a a — ix\
324 COURS HE MtCANIQLE.
Comme on doit avoir x = o pour t = o, la constante sera nulle 5 pourvu qu'on prenne zéro pour Tare dont le cosinus est Funité. Le problème est donc complètement résolu^ puisque , pour une valeur quelconque de a: , on peut déterminer l'instant où le mobile y passera , et la vitesse qu'il aura. Réciproquement, pour une valeur donnée de f, on connaîtrait la valeur de x par la résolution approchée d'une équation numérique , ou par la construction de la courbe représentée par l'équation (2), dans laquelle t représenterait l'ordonnée.
Ces formules ne s'appliquent qu'autant que le point ne pénètre pas dans l'intérieur de la terre ; elles ne s'étendront donc que jusqu'à x = a — r. Au delà de ce point, la force devient proportionnelle à la distance au centre , et le mouvement est représenté par des équations différentes que nous allons déterminer.
275. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le mobile parte du point A (fi g' 61 ) de la surface de la terre avec une vitesse nulle*, nous prendrons l'origine des x au centre, à cause de la symétrie par rapport à ce point, et nous regarderons les x comme positifs dans le sens OA. L'expression de la force sera
X d'x Multipliant par 2 dx et intégrant , il vient
et comme on a j^ == o pour x = r, on aura C = gr^ d'où
Il reste à trouver une équation entre x et t. Or, celle-ci
PREMIÈRE AWNKF. — STATIQUE. 3^5
donne
di
^^\/rTr
nous prenons le signe — pour la racine carrée , parce que dx et dt sont de signes contraires, tant que le mour vement a lieu en sens contraire des x positifs. On obtient, en intégrant,
• arc ces - •
La constante est nulle, puisque l'on a en même temps f = o, a: = r. Cette équation, résolue par rapport à jr, devient
(4) ' x=:rcos.r i/-.
La valeur de v^ montre que la vitesse est maximum quand le point passe au centre, et qu'elle redevient nulle pour a: = — r, c'est-à-dire à l'extrémilé opposée du diamètre. Le point se trouve alors dans les mêmes circon-r stances^ il revient donc vers sa première position par un mouvement identique au premier, et l'on aura un nombre indéfini d'oscillations scmblat>les. La vitesse ne dépendant que de a:*, est la même pour deux positions situées à égale distance du centre.
On voit, par l'équation entre xt\t^ que le point arrive
jau centre après un temps égal à - \/~*, que pour des époques également distantes de cet instant, les distances au centre sont égales, et que le point arrive à Textrémité du
diamètre après un temps égal à t: i Z-, et qui exprime par
conséquent la durée de Toscillation.
Les calculs qui précèdent ne s'appliquent pas seulement
3^6 COCBS DE MBCâXlQUK.
à la q[aestion particulière qui nous y a conduits, mais à tontes cdles où Ton a à considérer nne force proportionnelle à la distance a im point fixe; ce qoi se rencontre sou- Tcnt dans Tétode de la Fhjsicjne.
276. Les fomudes précédentes se réduisent sensiUenient à cdles dn mouTement uniforméoient accéléré , qnand on suppose l'espace parconm très-petit par rapport à la distance an centre; ce qui revient à supposer la force sensiblement constante.
Ainsi l'équation (i) peut se mettre sous la forme
Soit
h étant très-petit par rapport à r et représentant Félévation du point A au-dessus de la surface de la terre;
— se réduira à Tunité , en négligeant les quantités de
Tordre de -, et Ton aura, k ce degré d'approximation ,
Passons à la formule (2). On aura
remplaçant a par r+ A , et n^ligeant les termes où entrent les rapports - ? -1 il restera ^; et la première partie de t
Pe même, en développant arc cos , ou bien
PRIMIÈRS KVViZ. -^ STATIQUS. 827
arc sm , on trouvera que la seconde partie peut
être réduite à i/ — , et Ton aura
= Wr,
y OU X m 2 — .
Dans la seconde question , les espaces parcourus sont /• — Xy et si on les suppose très-petits par rapport à r, la formule (3), qui peut se mettre sous la forme
se réduit sensiblement à
p'z=:2g{r^ x); la formule (4) développée devient
Si l'on néglige les termes qui renferment r en dénomina^ teur, elle se réduit à
277. Remarque relatis^e aux solutions singulières. — . L'équation différentielle du mouvement d'un point, jointe aux circonstances initiales, détermine complètement le mouvement de ce point pendant un temps indéfini. Mais quand on intègre celte équation , il faut avoir soin de n'omettre aucune de ses solutions, et tenir compte aussi bien de celles qu'on appelle singulières, que de celle qu'on désigne sous le nom à^ intégrale générale. Le problème suivant donnera un exemple d'un mouvement qui est repré-
328 COURS DE MÉCâNIQUC.
sente jusqu'à une certaine époque par l'intégrale générale, et depuis celle époque , par l'intégrale singulière.
Supposons un point en mouvement dans un fluide dont la résistance soit proportionnelle à la puissance m de la vitesse, m étant compris entre o et i. Il part de l'origine des X avec une vitesse a dans le sens des x positifs , et n'est soumis à aucune autre force que la résistance du milieu. L'équation de son mouvement sera
k désignant une constante connue. On tire de cette équation
^,^m rfp 3:: — ^ fif^
et, par suite,
( 2) c'-'" = a'"" — (i — m) kt.
Observons que la puissance fractionnaire v^ ne comporte dans aucun cas le double signe dans l'équation diflérentielle, et qu'il est entendu qu'elle sera toujours considérée comme implicitement positive; sans quoi l'équation (i) ne représenterait pas les conditions de la question mécanique, 11 faut donc, dans tout le reste du calcul, considérer l'exposant m comme ne donnant qu'une valeur positive à la puissance de i^ où il entrera 5 el , lorsqu'une équation lui donnera une valeur négative, elle ne représentera pas le mouvement du point.
Nous avons dit qu'il fallait considérer toutes les solutions de l'équation (i); il faut donc tenir compte des solutions singulières , qui se réduisent à
La solution complète du problème proposé est donc donnée par les équations (2) et (3) , et il ne s'agit plus que de
reconnaître laquelle on doit considérer à un instant donné quelconque.
Or, il est évident qu'au moment du départ, la vitesse étant a , et ne pouvant être détruite que dans un temps fini, on ne devra pas faire usage de Téquation (3) dans le commencement du mouvement. On devra donc prendre l'équation (2). Mais on n'en devra faire usage que jusqu'à l'époque pour laquelle on aura
(i — m) kt =z a^-'^^ ou t z=z
parce qu'au delà on aurait une valeur négative pour ^'*~"*, ce que nous avons vu ne pouvoir convenir à la question mécanique proposée. Jusqu'à cette valeur de t, l'équation (3) ne peut convenir, mais elle est satisfaite à cette époque, et elle devra l'être indéfiniment ensuite, puisque l'équation (2) ne peut l'être, et que le problème a certainement une solution , qui ne peut être représentée que par l'une ou T'autre de ces deux équations.
Il suit de là que depuis t = o jusqu'à t = --9 on
aura
P=: [«'-"» — (i ^m)Aty—'",
et depuis cette dernière valeur de t jusqu'à ^ = 00 , on aura i^ = o, et le point restera immobile dans la position où il
sera arrivé au bout d'un temps égal à -, —•
Nous pouvons maintenant intégrer l'équation (2) après
avoir remplacé p» par — > et nous savons jusqu'à quelle va-
leur de t elle donnera la valeur de x qui convient à la question ; de sorte qu'il n'y aura plus aucune discussion à
33o COUaS DE MÉCANIQUB.
faire. On aura ainsi
et par suite , en exprimant que pour t = o on a x = o,
Le point où s'arrêtera le mobile correspondant à
a*"^= (i — m) ht aura pour abscisse , r-' Il était
d'ailleurs bien facile de reconnaître à priori que si, à une certaine époque, la vitesse du point devenait nulle , il resterait constamment dans la position où il se trouverait alors. En eiTet, un point placé sans vitesse dans un milieu, résistant suivant une fonction quelconque de la vitesse, restera indéfiniment dans la position où on Faura mis, puisque aucune force ne lui sera appliquée^ il n'aura aucune tendance à se mouvoir d'aucun côté , et restera perpétuellement en repos.
