I. l'cosa
hC.
Soient a et Q les valeurs initiales données de i' et a^ t aura
l.fleos9 = C, et, par suite,
e COS a gs
DU
La valeur de l' tirée de cette équation, et reportée dans !'(
356 COURS DE HÉCANIQUC.
quation (2), donne
(4) .£î = i—e'^ds.
Cette équation ne renfermant que a et 5, est celle de la trajectoire. Si pour l'intégrer on pose
tang a = /?, elle devient
(5) d>?v^n-p' = -J—-e^"ds,
d'où l'on tire
(6) psli^p'-\rh{p'^sli'\-p') = -'-r^^Q''^' -^y^
y étant une constante arbitraire que Ton déterminera en faisant j = o , p = tang 9 *, ce qui donne
yj.2
7 = tang Ô v'ï -t- tang' Ô -j- 1. (tang -+- y/i -f- tang' ô) 4- -r — ;
mais, pour plus de simplicité, nous conserverons y dans les formules.
Cette équation fait connaître s quand p est donné \ mais elle est peu commode pour la construction de la courbe , et nous allons introduire x ely au lieu de s. Or on a
s/T-hp' et Téquation (5) donne, par suite,
2gs
a} ces' — 71- , ax ■=. — e '^ dp.
S Si l'on élimine l'exponentielle au moyen de l'équation (6),
PBEMIÈBE ANNÉE. STATIQUE. 357
îl vient
, . j f^' dp
(7) dx=i . ■—■ , , î
et comme dj = pdx , on aura
(8) dy^'l.- ^^^
Si Ton intègre par approximation les seconds membres de ces deux équations , on aura x et y pour chaque valeur de p ; ce qui donnera autant de points que Ton voudra de la trajectoire.
Pour savoir à quel instant le mobile passera par un quelconque de ces points , il faut connaître t en fonction de p.
Or la seconde équation (3) donne
dsdt.
fit
g cos a
OU, en remettant la valeur de ds tirée de l'équation (4), et observant que dt et da sont de signes contraires,
gs gs
a cos ô "• t« rfa a cos "~ l> ,
dt=: e — - = e ^ dp.
g cos* a g *
Donc enfin, en éliminant l'exponentielle au moyen de l'équation (6) ,
^[— ^y/l 4-^2 __1^ (^^ y/, ^pi'j^^y
Ainsi le problème est ramené à intégrer par approximation des fonctions données d'une seule variable.
La vitesse du mobile peut s'exprimer exactement en
35B COURS DE MÉGANIQUE.
fonction de p. Si l'on ajoute les valeurs de dx^ et dj^^ puis qu'on les divise par celle Ae dO^ on aura
(ïo) «>'.— ^^ ^-^
Le sommet de la courbe s'obtiendra en faisant p = o\ mais la courbe ne sera plus symétrique par rapport à la verticale menée par ce point. On aura l'amplitude du jet en faisant y^=o'^ elle sera moindre que dans le cas précédent, et son maximum , relativement à Q , correspondra à un angle plus petit que 45 degrés.
295. La branche descendante de la trajectoire est indéfinie et a une asymptote verticale , comnie nous allons le démontrer.
On peut d'abord conclure de l'équation (9) que p augmente indéfiniment, Car le dénominateur du second membre est cornposé de termes. positifs, puisque p est négatif ^ il ne devient donc nul pour aucune valeur de p, et l'intégrale ne pourrait croître indéfiniment si p était limité 5 d'où il résulterait que le temps aurait une limite, ce qui est absurde. Ainsi , la tangente à la trajectoire tend indéfiniment à devenir verticale.
Si maintenant on pose p == — q pour expliciter le signe, et qu'on suppose que q soit déjà devenu très-grand, on
pourra remplacer yi-f-^ par q^ et négliger y et l.p par rapport à q^ ce qui donnera
k^ dq /' dq
intégrant à partir d'un point ayant pour coordonnées x^^ ji, il vient
PREMIERS ANNÉE. STATIQUE. 35q
f/i désignant la valeur de q au point dont les coordonnées sonla:i,y, .
La seconde de ces équations montre que la valeur négative dey augmente sans limite , et que, par conséquent , le point descend indéfiniment. La première apprend que x a
pour limite Xi-] j et que, par conséquent, la courbe a
pour asymptote la verticale correspondante à cette valeur de X.
Mais comme on a négligé certains termes, cette limite n'est pas précisément l'abscisse de l'asymptote 5 et, pour Tavoir, il faudrait intégrer la valeur de dx jusqu'à p = co ,
Quant à la valeur finale de la vitesse, Féquation (10), dans laquelle rien n'a été négligé, donne ft* pour limite du second membre, à mesure que p augmente. La vitesse du mobile tend donc indéfiniment vers celle qui rendrait la résistance égale à son poids, et le mouvement s' approche de plus en plus de l'uniformité.
296. Examinons maintenant le cas où l'angle de projection 6 est très-petit. Le point ne s'élève alors qu'à une trèspetite hauteur au-dessus de l'axe des x, et la tangente étant très-peu inclinée sur cet axe , on pourra négliger p* • et l'on aura ainsi
ds = dx f et s =z X, L équation (5) se réduit à
dx a} ces' ô
d'où l'on tire
^ 7.0} cos^ Ô
et comme on doit avoir en même temps a: = o, p = tang 0,
36o COURS DE MÉCANIQUF.
il en résulte
C = tang G H ,
^ 2a'cos'
et, par suite,
tiJL 3i« eus i; '^
Intégrant et observant qu'on doit avoir à la fois x = o, j^ = o, il vient
-^ \ ^ 2a'cos'Qj 4^a'cos'9 ^ ^
L'équation
-— = a cos 9 . e lit
donne , en remplaçant s par x ,
(it = r, d OU t
a cos â g^a cos 9
Si Ton connaît des points par lesquels passe le mobile , par exemple celui ou. il rencontre le sol , il en résultera , eutre les constantes,, des équations qui pourront servir à les déterminer.
297'. Du mou\^ement produit par une force dont les composantes parallèles aux axes sont les dérivées partielles d^une même fonction de x, y, z. — Si l'on désigne par X, y, Z les composantes de la force motrice qui sollicite un point matériel dont la masse est Tunité , les équations générales de son mouvement seront
Si l'on ajoute ces équations, après avoir multiplié la première par 2 -7- 5 la seconde par 2 H^ i et la troisième par
