ij vient dt

dx d^ X dy d^ y

dt dt^ dt dt'

dz d^ z\ di Ir )

(^ dx ^ dy dz\

\ dt dt dt J^

.et, en observant que Féquaiion

donne

dx d^x dr d* y dz d^ z d,ç^

dt dt' dt dt' dt dt' dt

on aura

r ^ ^'^'^ l ^r dx ^dy „dz\

Et comme X , Y, Z sont les dérivées partielles d'une même fonction F (x, j^, 2), on aura

yi^^ ^^r^y ^ydz d'E (X, r, 2)

dt dt dt dt

et l'équation précédente, intégrée entre deux limites quelconques, donnera

a, &, c, A désignant les coordonnées du point et sa vitesse à la première limite.

On voit donc que, dans le cas où X/ir -{-Y dj -{-T^dz est la différentielle d'une certaine fonction de x, j^, z considérées comme variables indépendjantes , si un point maté-

rîel est soumis à raction de forces dont les composantes totales parallèles aux axes soient X, Y, Z, l'accroissement du carré de sa vitesse , en passant d'un point à un autre quelconque , pourra s'exprimer au moyen des coordonnées de ces deux points, quelles que soient la direction et la grandeur de sa vitesse au premier point, quelque temps qu'il mette pour parvenir au second, et quelque ligne qu'il décrive entre les deux.

On peut dire plus généralement, d'après l'équation (2), que si le mobile part d'un point quelconque de la surface dont l'équation serait F (a:, j", z) = C avec une vitesse connue k dans une direction arbitraire^ lorsqu'il arrivera en un point de la surface ayant pour équation F (j:,y, z) = C, sa vitesse p» peut être déterminée de grandeur d'après ces seules données, et indépendamment du temps employé, de la ligne décrite, et du nombre de fois que ce point traverse successivement la seconde surface.

L'équation générale de ces surfaces remarquables étant F (a:,j^,-i:) == C, C désignant une constante arbitraire, elles auront la même équation différentielle

ILdx-^Ydy -4- Z<3fe = o.

Cette équation exprime que les deux directions dont les angles avec les axes ont des cosinus proportionnels respectivement à X, Y, Z, et dx ^ dj^ dz^ sont perpendiculaires l'une sur l'autre. D'où Ton conclut que la force dont les composantes sont X , Y, Z est normale à celle de ces surfaces qui passe par le point que Ton considère.

Ainsi les surfaces qui jouissent de la propriété que nous avons démontrée, sont perpendiculaires à la force qui solliciterait le mobile placé en un quelconque de leurs points; de sorte que, si elles étaient résistantes, ce mobile serait en équilibre , en quelque point de ces surfaces qu'il fût posé.

On leur donne le nom de surfaces de nweau.

BREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 363

Si la fonction F (x^y^ z) ne .peut se réduire à -J pour des valeurs réelles et finies de *r , y, ^, deux surfaces de niveau ne pourront évidemment avoir aucun point commun* Dans le cas contraire, comme on peut le voir dans un Mémoire de M. Bertrand , le point matériel n'aura pas toujours la même vitesse en revenant à une môme surface de niveau 5 il faudra, pour cela, qu'il ait traversé un nombre pair de fois chacune des surfaces de niveau par lesquelles il passera avant de revenir sur celle d'où il était parti.

298. Si la résultante des forces qui sollicitent le point était constamment normale à la ligne qu'il décrit, on aurait

Xdx + Ydx -h Zdz = o;

la fonction F se réduirait donc à une constante , et le second membre de l'équation (i) serait nul^ d'où il résulte que l'on aurait

Ainsi , comme nous l'avions déjà vu, la vitesse d'un point est constante lorsque la force qui agit sur lui est, à chaque instant, normale à la direction de son mouvement.

D'où il résulte qu'un point qui se meut , sans frottement, sur une courbe ou une surface fixe, et qui n'est sollicité par aucune force extérieure , conserve constamment la même vitesse.

Si la résultante est normale à la trajectoire, en quelque^ points seulement , on a , en ces points ,

Xdx -\~ Y dy -i- Z dz = o , ou //.p' = o.

Donc , en général , la vitesse du mobile y sera maximum ou minimum.

299. Si, outre les forces normales à la trajectoire, il en existe d'auires dans des directions quelconques, les premières disparaîtront toujours du second membre de l'équa-

lion (i), et si les autres sont telles, que leurs composantes totales X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une fonction des variables x, ^, z^ considérées comme indépendantes, on parviendra de même à l'équation (2).

Ainsi , la proposition précédente a lieu pour un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe , et sollicité en outre par. des forces telles, que

soit une différentielle exacte par rapport à a:, y, r, ce qui n^aurait pas lieu s'il y avait un frottement ou la résistance d'un milieu; car ces forces ne seraient même pas des fonctions données de x^ y^ z.

300. L'expression Hdx -^Ydy -i-Zdz est une diflférentielle exacte toutes les fois que les forces qui agissent sur le point sont dirigées vers des centres fixes , et que leurs intensités ne dépendent que de la distance du point à ces divers centres.

En effet, soient a, ft, c les coordonnées constantes de l'un quelconque de ces centres -^ x^y^ z les coordonnées variables du mobile , r leur distance, et R une fonction de r qui exprime la force qui agit sur le point donné suivant la droite qui le joint au centre que l'on- considère /Les composantes de cette force seront

a — jo b — y c — z