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dont le raTca de «:aj*:»:ire iirraii * oc axunil jxvBa- prv^-
jectiiMi SOT le pl^n de la cic-zrle donsiee, oi}'.d 3e œ^îte ocmrKr même. Elle sera d:>:x en£n la ix>éine «|ue sur la courK^ âtnée dans on p!an vertical passant par la tarpet;te au point le ^ns hasde lacouriie donnée., et qui sorait la prvv* jection de cette cocilpe sur ce plan TtrrticaK
312. Chercfacms maintenant si la cycloiJe est la $«^u!o coorbe tatuodirone . quand on fait abstraction de totiU résistance.
Prenons poor origine le poini où le mobile doit parvenir dans un temps constant « qael que soit le point de la courbe d'où il parte sans TÎlesse. Nous coiisîdèixMx>n$ reptation de la cotirbe entre 5 et z seulement ; car rêqttation
^=^g\h^z^ ou — = 2-r A— r ,
ne renfermant que 5, ^ et / , il s'ensuit que, pourvu qu ou ait la même relation entre 5 et z , on en tii^ra toujours la même Talear de t en fonction de s. De sorte que, si Ton conçoit le cylindre qui projette une courbe sur un plan
horizonud, un poiot matériel pesant mettra le même temps à parvenir d^un point à un autre de cette courbe, soit qu'on développe ce cylindre , soit qu'on Tenroule sur tout autre cylindre ayant ses arêtes verticales.
U ne s'agit donc ici que de déterminer s en fonction de z, et nous ne considérerons que les courbes qui peuvent donner pour 5 uu développement procédant suivant les puissances de z. Comme on doit avoir à la fois z := o ets = o,«il ne saurait y avoir d'exposant n^atif , ni de' terme indépendant de z. Soit donc
flc, 6,7, etc., étant des nombres positifs quelconques, et A, B, C, etc., des quantités entièrement indéterminées. Soit h le z du point de départ , on aura
ds^ i r^ ds
T désignant le temps employé pour parvenir à l'origine , et qui doit être indépendant de A.
Substituant à ds sa valeur tirée de la série, il vient
Ts/^g=AoL j 4-B6 / 4-.-..
Jo \h — z Jo y A — z
Soit
z = hz\ d'où dz z= h dz' ;
les limites de z' seront o et i, et Ton aura
r^z^-'dz ,„ . r'z'^'-^dz'
Jo \h — z Jo V' — ^'
Jq si h — z Jo y I
lEE. STATIQUE. 3o5
et ainsi des autres. Il en résultera , en posant
T </^ = AA'aA" - * + BB'S A* - ' +....
Or, pour que ce résultat soîl indépendant de h et ne soit pas zéro, il faut que tous les termes disparaissent, excepté un, dans lequel l'exposant de h sera zéro. Donc la série qui donne s se réduit à un seul terme , et l'exposant de z j est égal à |-, on a donc
Or, cette relation entre i et z ne convient qu'à une cycloïde, dont te sonunet est pris pour origine, et la perpendiculaire à la tangente en ce point, pour axe des x. Donc il n'y a d'autre tautochrone dans le vide que la cycloïde dans la position où nous l'avions considérée, du moins parmi toutes les courbes pour lesquelles s est développable suivant les puissances de z.
313. Cette propriété de l'isockronisme des oscillations d'un point qui se mouvrait sur une cycloïde avait fait penser à mesurer le temps au moyen d'un pendule simple dont l'extrémité décrirait des arcs de cycloïde. Il suffirait, pour obtenir un pareil mouvement, de suspendre un poids au moyen d'un fil flexible et inextensible, à un point qui serait l'origine de deux brancbes de cycloïde dont le cercle générateur aurait pour diamètre la moitié de la longueur du fil. On voit , d'après la propriété de la développée de la cycloïde , que lorsque le fil s'enroulerait sur ces courbes, ou se déroulerait, son extrémité décrirait une cycloïde dont le sommet serait le point le plus bas ; les oscillations seraient donc isochrones. Mais im pareil pendule serait loin
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d'offrir dans la pratique les mêmes avantages que le pendule circulaire, et Ton n'en fait aucun usage.
