CHAPITRE V
MOUVEMENT d'UN POINT SUR UNE COURBE FIXE.
302. Considérons maintenant un point mobile qui ne soit pas entièrement libre, mais qui soit assujetti à rester sur une courbe fixe donnée, dont les équations soient
Supposons que le point n'éprouve aucun frottement sur cette courbe, et que, par conséquent , l'action qu'elle exerce se trouve comprise dans le plan normal. Soient N la force normale inconnue produite sur l'unité de masse par la résistance de la courbe, et X, f/, v les angles qu'elle fait avec
368 COURS DR MÉG4MQUE.
les axes 5 le seul efletde la courbe sur le point étant de produire celte force, on peut faire abstraction de la courbe si Ton introduit cette force-, en la réunissant à celles qui sont données , le point pourra donc être considéré comme libre, et les équations générales de son mouvement seront, en désignant par X , Y, Z les composantes de la force accélératrice,
--r- = X4-Ncos>, -;4- = Y-hNcosa, — --- = Z-4-Ncosv.
dt^ ^ dO ^ dt^
La direction déterminée par les angles X, u, v étant perpendiculaire à la tangente , on aura
dx cos \ -h dy ces a-^ dz ces v = o ,
et , de plus ,
ces' > -h cos' f* H- cos' V = 1 .
On a donc sept équations entre les huit quantités J^, .X^ ^i X, /ut, V, N, t'j et il sera toujours possible d'exprimer les sept premières en fonction de t. Quand on y sera parvenu, tout ce qui se rapporte au mouvement du point sera déterminé.
Lorsque Ton a
Xdx-^Ydy-i-Zdz^: d.tf (x, r, z), les équations précédentes donnent
dxd^x -\- dfd^y -^dzd^z
et, en intégrant,
dx^ H- dy^ -^ dz^
La constante C se déterminera par la valeur de la vitesse ^'
PREMIERE AN^ÉE. — STATIQUE. BÔo
ait point de dëparu D'ailleurs, les équations de la courbe, résolues par rapport k^ely^ donneront
L'équation précédente deviendra donc
d'où •
dt =r dz^ (2),
^p (2) «désignant une fonction connue de z-, on tirera de là
t z= fdz^ (z) -^ C\
C étant déterminé par la \aleur initiale de z. On connaîtra donc ainsi z en fonction de r, et, par suite, x etj^ le seront d'après les équations de la courbe.
Ainsi , dans le cas oxilLdx-hYdy -^-Zdz est une différenlielle exacte, le problème est ramené aux quadratures.
303. Pression exercée sur la courbe. — Désignons par T la composante tangent i elle de la force appliquée à l'unité de masse du mobile^ par Q sa composante normale. Le point pouvant être considéré comme libre, après l'intro-
dv d^ s duction de la force N produite par la courbe , — ou -— -
sera .égal à T^ et une force égale à - 5 dirigée vers le centre
de courbure, ou la force centripète , sera la résultante des deux forces normales Q et N. Donc N, ou la force produite par la courbe, sera la résultante de la force centripète et d'une force égale et contraire à Q. Et, par conséquent, la force égale et contraire, où la pression exercée sur la courbe, et détruite par elle , est la résultante de la force Q et de la force centrifuge. Elle se réduirait à la force centrifuge si la force Q était nulle.
Toutes ces forces , que nous avons supposées rapportées à l'unité de masse , se rapporteraient à la masse m , ^i les multipliant par m.
La direction de la pression exercée sur la courbe se déterminera facilement, connaissant sa valeur et celle de ses composantes.
Application au cas d'un point matériel pesant. 304. Soient
les équations de la courbe fixe dur laquelle doit se mouvoir un point matériel soumis à l'action seule de la pesanteur. Désignons par N la force normale que produit à chaque instant la résistance de la courbe rapportée à l'unité de masse ^ par ^, fx, v les angles que fait sa direction avec les axes, et supposons l'axe des z vertical et en sens contraire de la pesanteur. Les équations du mouvement du point seront
d^x dW ^^ d- z
— — = N cos \ , -7-7 = N CCS u , — -— = — 5" H- N cos v.
df dt^ ^^ dt^ ^
Sî l'on multiplie la première par idx^\dL seconde par idj^ la troisième par idz^el qu'on les ajoute, il vient
d.i>^= — 2gdz; d'où v^=z 'igz -\- C.
La constante C se déterminera d'après la valeur A de la vitesse, pour z = h^ et l'on aura
v^ — k^z=zig[h — z).
Si Ton remplace v* par sa valeur
dx^ -h dy"" + dz^
dt^
OU
il vie»t, eu résolvant par rarpport à f , et supposant que le
dz 'dt
dz v/i-h[r(3)p + [7'T^
point descende, et que, par conséquent, -7 soit négatif,
dt— —
\^h} -r- igh — i^z
De cette équation on tirera t en fonction de z \ si Ton peut la résoudre par rapport à z, on aura, pour chaque valeur de ^, la valeur de z, et, par suite, de a: et j^ : le problème sera donc complètement résolu. Mais lors même que Ton ne pourrait intégrer l'expression précédente , on connaîtrait la vitesse en chaque point , par suite la force centrifuge, et enfin la pression exercée sur la courbe, qui est la résultante de la forcé centrifuge et de la composante normale de la pesanteur.
On remarquera que si s reste la même fonction de z, quoique la courbe change, ds^^ et, par suite r', est exprimé par la même fonction de -zf, et le mouvement sur la courbe est le même. Ainsi, en enveloppant sur un cylindre v^tîcal quelconque, le cylindre projetant d'une courbe, le point pesant passera, aux mêmes époques, par les points correspondants .
305. Effectuons ces calculs dans le cas où la courbe donnée est un cercle vertical. Prenons Taxe des x dans ce plan et tangent au point le plus bas du cercle, il en résultera , pour les équations de cette courbe ,
a étant son rayon. On en tirera
,/j' dx^-^dz^ a^ dz^
dt^ de^ laz — z^ dt
3^2 COUES DF. MÉCANIQUE.
et Téquation
devient
a} dz
laz — z' dO
d'où l'on tire
doadz dt=z
^laz — z' ^X* 4- 2^A — 2gz
on prendra le signe — quand le point descendra , et le signe + quand il montera .
Le carré de la vitesse ayant pour expression
X*-H 2.gh — 11 gz
sera maximum pour z = o, c'est-à-dire au point le plus bas, et cette valeur sera
A* -h 7.gh.
La vitesse deviendra nulle quand on aura
k^-h2gh — 2g'Z=0, ou z=:A-| ,
pourvu que Ton ait ^
car z ne peut surpasser le diamètre du cercle. Dans cette hypothèse , le point parvenu à cette hauteur redescendra , sa vitesse deviendra nulle de l'autre côté pour la même valeur de z, et ce mouvement d'oscillation se continuera indéfiniment. Si , au contraire , on a
/i H > 2 AT ,
la vitesse sera minimum au point le plus élevé du cercle,
PEEMIKR'E ANNÉE. — STATIQUE. S^S
mais elle n'y sera pas nulle , et le mouvement aura lieu constamment dans le même sens.
Enfin , si Ton a
la vitesse serait nulle au point le plus élevé, et le mobile y resterait en équilibre, s'il pouvait y parvenir-, mais nous allons voir que cette position est une limite vers laquelle il tend sans pouvoir l'atteindre jamais. Ce cas est le seul où Tinlégration puisse s^effectuer sous forme finie*, on a alors
, , a dz
On pourrait intégrer celte expression en la rendant rationnelle par les méthodes ordinaires 5 mais on peut y parvenir
dz plus simplement en observant que — p est la difTérentielle
2\Jz
de \/z , et que la fraction peut être décomposée de
2a la manière suivante :
^=-ur
n-^fz)
2 a — z 2 \/2 fl \ ^2« H- v^ ^Ta On aura ainsi , pour le mouvement descendant ,
dz dz
"^ 2\g\\/2a'{-yjz ^'îâ'—^jzj
d'où l'on tire
^y g JTL — jz
sf2Îi — y'j
fl
La constante se délerminera par la condition que Ton ait
en même temps f := o , z = A , et il en résultera ^V g s^a —yfz 2 V ff v^ -
Lorsque le mobile arrive au point le plus bas , on a
A partir de cet instant, — étant positif, ou doit changer de signe la première partie de la valeur de t , ce qui donne
r = - 4 /f 1 ^^ + V^ 1 i /^ I ^ïf IÎZL^.
A mesure que t augmente, z augmente nécessairement, mais il est toujours plus petii que sa-, et l'on trouverait ; = 00 si Ton iaisait z = 2 a. Le mobile n'arrive doue jamais au point le plus élevé du cercle , mais il s'en approche indéfiniment.
306. Considérons maintenant le cas où le mobile oscille de part et d'autre du point le phis bas du cercle. Nous pouvons supposer nulle la vitesse initiale ; car cela revient à prendre pour point de départ un point plus élevé du cercle. On aura alors, pendant que le mobile descend ,
û dz ^ I /n dz / * ^ *
~ v/2^ V^2 az — z» sfii^z^ 2 y g ylhz — z\ ^^J '
et comme — est. plus petit que Tunité, on peut développer
PB)£BI1ÈBE ANNÉE. — STATiQUK. 375
le dernier faeteur de la manière suivante :
2a/ 2 \2a/ ' 2-4 \2fl/
2 4*6* . 2 « \2fl
Or on a , d'après une formule donnée dans le calcul intégral ,
et, par consécjuent , on pourra intégrer, entre de» limites quelconques, autant de termes que l'an voudra de la série qui <5xprime la valeur de dt.
Bornons-nous à calculer le temps que met le mobile à arriver au point le plus bas, et qui est le même que celui qu^il mettrait à remonter à la hauteur A ou se termine Toscillation , puisque ces intervalle? sont exprimés par la même intégrale prise entre les mêmes limites o et /i.
La formule de réduction que nous venons de rappeler, déviait
Jo ^hz — 3» "^ 2/1 Jo ^^a — z' '
' C^ 2**"' dz ou, si Ton désigne généralement | , par A„,
Jo sjhz-^z^
Cette formule conduit à ta suivante, en observant que
Ao = îr,
A„ = j-^ '- ^" TT.
Cela posé, pour la demî-oscilladon dcscendaile , les limites des ÎDl^rales sont dans l'ordre inverse de celui qne nous %enons de prendre : il fiindra donc changer le signe du secood nBenii>re , si Ton Tent faire usage de la fonnole qoe noos Tenons de tronYer pour les intégrales qni composent la Taleor de t. Si donc on désigne par T la durée de Toscillation entière « on aura d'abord
on
Cette série sera très-cooTei^mite si — est très-petit, et
Ton calculera facilement rerreur commise en sarrêtant à un terme quelconque. Si Fangle an centre i a , qui mesure Famplitude des oscillations, ne se compose que d'un petit nombre de d^;rés, on peut le plus ordiuai rement se borner au premier terme; et Ton a
='Vl^
cette durée est indépendante de la hauteur A. Si l'on prend les deux premiers , la durée dépendra de A , et l'on aura
-sfîi
oa
Le rapport - étant le sinus-verse de l'angle a , on a
- = I — cos a r= 2 sin'T a.
PREMIERE A]NNÉE. STATIQUE. 3^7
Ainsi , cette dernière valeur de T n'est en erreur que d'une quantité du quatrième ordre par rapport à l'angle a ^ la précédente était en erreur d'une quantité du eecond ordre.
307. Le moyen que l'on emploie pour réaliser ce mouvement consiste à suspendre un poids à un fil très-délié et d*une longueur invariable , dont une extrémité est fixe. Si ce fil inextensible était dépourvu de toute masse et que le mobile fût réduit à un seul point, on aurait ce que l'on appelle un pendule simple. Mais il est beaucoup plus avantageux d'employer un appareil solide au lieu d'un fil , et le mouvement de ce pendule composé ne peut plus être calculé par la théorie précédente. Dans ce dernier cas, on appelle longueur du pendule , celle du pendule simple qui aurait ses oscillations de même durée.
Au moyen d'une formule que nous démontrerons plus tard, on peut déterminer cette longueur d'après la forme du corps oscillant, et la durée de l'oscillation sera donnée par la formule
= Vi'
dans laquelle a représente la longueur connue de ce pendule. Si Ton désigne par n le nombre des oscillations qui auront lieu dans un temps 0, on aura
, ,, , ^ /a Tt^n^a z=ni, d ou Q = me i/ - 9 et g =: ^ — ,
équation qui fera connaître la valeur de la pesanteur. Cest ainsi que, d'après les expériences faites à l'Observatoire de Paris , on a trouvé
En faisant dcîs expériences semblables en diiïërenls lieux
de la terre, on déterminera la loi suivant laquelle varie la pesanteur.
308. On peut encore déterminer le mouvement du pendule au moyen de la formule qui donne Texpression de la force tangcntielle. Soient OB {Jig- 64) le rayon vertical du cercle sur lequel se meut le point pesant, A la position d'où il part avec Ja vitesse fc, et M sa position après le temp» t. Faisons
OBr=/, BOA = a, B0M=:9, AM = J.
La composante tangcntielle de la force accélératrice est ex-
primée généralement par -7-^ en grandeur et en «igné , le
signe -f- se rapportant au cas où elle est dirigée du côté où s croit , et le signe — au sens contraire. Si l'on considère 6 comme négatif quand le rayon OM passe de l'autre côlé de la verticale, on aura généralement
ds dQ d^s d^Ù
^ ^' dt dt dt^ dO
La composante tangcntielle de la pesanteur étant d'ailleurs g' sin 9 , on trouvera , en l'égalant à l'expression précédente,
dT^^-'-i''^'^
d'où , eu multipliant par 2 M et intégrant ,
()=fcosO + C.
La constante C se déterminera par la condition que Ton
ait en même temps 9=:«, — l — z=zh^ ce qui donne
- = yosc,-hC,
PREMlètlE ANXÉE. — STATIQUE. 879
et, par suite.
On tirera de là, en observant que dd est de signe contraire à dt tant que le mouvement reste dans le même sens,
— IdQ
si k'^'\- igi{cosB — ces a)
On rentrerait dans le calcul précédent en exprimant 6 au moyen de Tordotinée du cercle comptée à partir du point B. Si l'on suppose que les angles a et ê soient assez petits potir qu'on puisse négliger leurs quatrièmes puissances, et que, de plus , la vitesse initiale soit nulle, la formule précédente se simplifie beaucoup, et devient
V g si 01} — f
d'où
arc cos -■
Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que Ton doit avoir à la fois f = o , = a.
La vitiîsse devient nulle lorsque B=. — a. Il en résulte
Telle est la durée de Toscillalion. Le mouvement recommence ensuite en sens contraire d'une manière identique ^ le point revient en A avec une vitesse nulle, après le même
intervalle de temps tt i / - : il se trouve alors dans les mêmes
38o COURS DE MÉCANIdUF.
circonstances qu'au commencement, et cette double oscillation se reproduit indéfiniment, si Ton fait abstraction de toutes les résistances extérieures.
309. Dans tout ce qui précède, nous avons pu faire abstraction de la résistance de Tair. Cette action modifie très -peu les résultats et n'exige que de très-petites corrections dans les formules. Nous n'entrerons ici dans aucun détail sur ce sujet, et nous nous contenterons de montrer comment une résistance quelconque modifierait les équations générales du mouvement d'un point sur une courbe.
Soit F (<^) une fonction donnée quelconque de la vitesse du mobile, qui exprime la résistance produite par un milieu ou un frottement. Les équatiops du mouvement du point matériel pesant seront
— = NcosX-FH,
d^Y ^ dy
-^=Ncosp-F(cO^,
^'2 XT ^, ^dz
-p- = ^ ces V ~ F ( (^ ) s^x
dt^ ^ ^ ds ^^
d'où Ton tire
d,v^= — ■ igdz — 2F (c) ds.
Or, au moyen des équations de la courbe on peut exprimer ds au moyen de z etdz^i^ s'exprimera de même en fonction de z^ dz et dt : de sorte que l'on aura une équation différentielle entre z et t seulement. Si on peut l'intégrer, on connaîtra z, x^ y en fonction de ^ , et le mouvement sera complètement déterminé.
L'équation précédente donne , en l'intégrant,
g{à-z)f Y{v)ds;
d'où l'on voit que rinlégrale 2 I ¥ [i^) ds expriiae la
Jh
perte éprouvée dans le carré de la vitesse par la résistance représentée par F ( v').
310. Moui>ement sur la cycloïde. — Si Ton prend pour axe des x la tangente au sommet, et pour axe des z la perpendiculaire à la base, Téquation différentielle de la cycloïde est
dz / z
dx y la — z
a étant le rayon du cercle générateur. Supposons que le plan de cette courbe soit vertical et que l'axe des z soit dans la direction contraire à celle de la pesanteur. On aura Téquation trouvée précédemment dans le cas d'une courbe quelconque
v^ — k^=:ig[h — z)
ou
— z=zP^ Q.gh — 2gZ,
On peut supposer k nul en élevant convenablement le point de départ sur la cycloïde, pourvu que l'on n'ait pas fc« 4- ^gfi ^ 4ga'^ c'est le cas que nous supposerons. On a donc l'équation aussi générale
ds^
di' & V ^
Or, d'après l'équation de la cycloïde, on a
ds^ . 7,a dz^ dt^ """ z dt^ ' donc
V S s/fiz — z'
on prendra le signe — quand le mabile descendia, et le signe + quand il montera.
On trouve en intégrant , dans le cas du mouvement descendant,
arc cos
La constante est nulle, parce qu'on doit avoir à la fois f = o, z =h\ si Ton fait z = o, on trouve
=Vi-
Ainsi, de quelque point que le mobile parte , il arrivera au point le plus bas de la cycloïde dans le même temps; c'est ce qui a fait donner à cette courbe le nom de tautochrone. Si l'on intègre la valeur de dt a partir du point le plus bas , dans un sens ou dans Tautre , on aura des éléments égaux ; ce qui montre qu'à des intervalles de temps égaux, à partir de cet instant , la position du mobile correspond à des valeurs égales de z . Il remontera donc à la hauteur A , où sa vitesse sera nulle . dans le même temps qu'il a rais à descendre, et la durée de l'oscillation sera
TT 1/ - OU TT i / -^
Or, 4 ^ est le rayon de courbure de la cycloïde au point le plus bas. La durée de l'oscillation sur la cycloïde , quelle que soit son amplitude, est donc la même qu'elle serait sur le cercle osculateur au point le plus bas , mais pour des amplitudes infiniment petites.
311. Si maintenant on considère une courbe quelconque dont le plan osculateur au point le plus bas soit vertical, on pourra la considérer dans une étendue infiniment petite de part et d'autre de ce point , comme se confondant avec le
