PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION
326. Lorsqu'un point libre , ou assujetti à se mouvoir sur une surface fixe , est soumis à Faction de forces telles que Ton ait
Xctc -+- Ydf -hZdz = rf.(|>(a',/, z),
et, par suite,
f>'= 2<f{xyXyz) -4-C,
la courbe qu'il décrit jouit de la propriété remarquable, qu'en prenant pour i^ cette valeur en x, y^ z^ Tinté" grale Jy^ds^ prise entre deux points quelconques A et B de cette courbe, est moindre qu'elle ne le serait pour toute autre courbe terminée aux deux points A, B, et assujettie à rester sur la surface fixe, quand le point s'y trouve lui-même assujetti. Il s'agit donc de démontrer que
fy2(f(xyyy z) -hC ds est un minimum quand x^ y, z satisfont aux équations de la trajectoire; et pour cela il faut prouver que la variation à fvds est nulle, \f représentant V2<p (x, y, z) -f- C. Remarquons d'ailleurs que si l'on fixait la courbe quelconque que l'on considère entre A et B, et qu'on assujettit le point matériel à y rester, en le soumettant à l'action des mêmes forces extérieures, sa vitesse serait toujours donnée par la même formule
y/aç (a:,j^, z) H- C. Or le calcul des variations donne
§fvds=zf8[s>ds) z=f{âuds -f- f^ds), toutes ces intégrales étant prises entre les deux points A
et B. Or
et l'équation donne
et il faut remarquer que dans X, Y, Z les valeurs de ,r, y, z se rapportent aux points de la trajectoire, et que X H- âx^ y H- dy, z-^-àz sont celles des points correspondants de la courbe infiniment voisine.
Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe, on a à chaque instant
-^=X-hNcos>, -74 = Y-hNcospi, — -r = Z4-Ncosv; dt' dt^ ^ dt^
et s'il est libre, il suffira de supposer N==o dans ces équations , qui peuvent ainsi représenter les deux cas. On en déduit
X 5a? -^ Y5 r -h Z^z = -^^ ^x -f- ---^ 5r -h -p^ ^z -^ dt^ dt^ -^ dO
— N ( 5a: cos X -h 5/ ces f* + 5a ces v ).
Or, la dernière partie du second membre est nulle si le point est libre, parce qu'alors N = o. Elle est nulle encore si le point étant assujetti à rester sur une surface fixe, la courbe infiniment voisine est aussi assujettie à s'y trouver, parce que la droite qui joint deux points correspondants étant perpendiculaire à la normale dont les angles avec les axes sont X, |jl, v, on a
^x cos ). + ^y cos fx + 5s cos v = o.
On aura donc , dans ces deux cas ,
4lO COURS DS MÉCANIQUE.
et , par suite ,
Maintenant de l'équation
ds^ = dx^ H- dy^ -f- àz^ on déduit
ds $ ds =z dx ^ dx -\- dy ^ dy '\- dzSdz;
d'où, en divisant par dt^ et intervertissant les caractéristiques â et d^
vBds = -^ d$x -h -^ dSy ^-^ dSz.
dt dt ^ dt
Réunissant les deux parties de la variation de J^ds^ ou obtient
f dx . dy ^ dz .\
\dt ^ dt '^^ dt 1
et cette dernière expression doit être prise aux deux limites de l'intégrale. Or, elle y est nulle, puisque les deux points extrêmes étant fixes, dx^ dy^ âz y sont nuls-, et il suffirait même que le déplacement de ces deux points s'effectuât suivant une direction perpendiculaire à la trajectoire, pour que Ton eût, en chacun d'eux,
dx ^ dy ^ dz ^
La variation dfi^ds étant nulle, l'intégrale fi^ds sera, en général , minimum ou maximum. La question ne comporte pas de maximum; mais il pourrait se faire qu'il n'y eût pas non plus minimum.
327. Quand le mobile est assujetti à rester sur une surface fixe et n'est sollicité par aucune force extérieure,
sa vitesse est constante, et fvfds=z\^s\ donc l'arc parcouru est un minimum entre deux quelconques de ses points, et, par conséquent, le temps employé à le parcourir est aussi minimum.
328. jipplication au moui^ement d'un point. — La trajectoire décrite par un point libre, ou assujetti à rester sur une surface, satisfaisant à la condition de minimum pour l'intégrale f^ds^ lorsque Ton a
on peut, en exprimant cette condition, parvenir aux équations de cette ligne. Considérons d'abord le cas d'un point libre.
En mettant pour i^ sa valeur tirée de l'équation
il faudra écrire les conditions de minimum de Tintégrale
J si dx^ '\' df -{- dz^ V'^2<j)(x,/, z) H-C.
Les règles du calcul des variations conduisent aux équations suivantes :
Hds J dx\ JJf.( ^\ Z^^.^/ ^
c \ dz I V \ ds
On sait que ces trois équations se réduisent à deux, et ce sont celles de la trajectoire , en remplaçant t^ par sa valeur en x^j^ z. Si l'on effectue les différentiations, en prenant s pour variable indépendante , on obtient
d^'x dx ( dx ^^ày dz\
^='iû^'^ii\^'ds-^^-Ts-^^iuy
d'^y dy l ^ dx ^dy r,dz\
'' = ''-d^^£[^-d;'^''i'^''ds)'
ds^ ds \ ds ds ds
4l2 GOUES DE MÉCANIQUE.
Si l'on multiplie la première par — ? la seconde par — ?
et qu'on les retranche^ qu'ensuite on multiplie la première
par -j et la troisième par — » et qu'on les retranche , on
aura les deux équations suivantes, qu'on pourra encore considérer comme celles de la trajectoire :
d ^ * dx
dx df //irV 'd
ds ds \^^ J ^^
dz ' dx
ds ds \ds / ds
Si l'on veut prendre x pour variable indépendante, et qu'on
ds^ dx
multiplie les deux membres de ces équations par — ?
on aura
dx \ds J dx*
dx \^^ / ^^
Ces équations rentrent dans celles que nous avions déjà obtenues en partant des équations du mouvement d'un point sur une surface; il suffira, pour les en déduire, de supposer nulle la force provenant de la surface. On les intégrera après avoir remplacé t^* par 2 (j) (:r, j^ z) ■+• C, et X, Y, Z par leurs valeurs données en fonction de r , 7*, z.
Le principe de la moindre action donnerait de même les équations de la trajectoire quand le point est assujetti à se mouvoir sur une surface fixe.
329. Si l'on considère un point libre sollicité vers un centre fixe par une force dépendante seulement de la distance, la courbe est plane , et Ton peut se borner à deux
PREMliRE ANNIÉE. — STATIQUE. 4^3
coordonnées x^ y\ Ae plus , XflJr -h Yaî^ est une différentielle exacte , de sorte que le principe de la moindre action a lieu , et on peut l'appliquer à la détermination de la trajectoire. Mais, dans ce cas, il sera plus simple d'employer un système de coordonnées polaires r, d en prenant pour pôle le centre d'action.
Soit y la force dirigée vers le centre , on aura , en suppo* santla constante renfermée dans l'intégrale indéfinie,
p»= — . nfffdr, ds = ^dr^-hr^dB^ et l'intégrale qu'il faudra rendre minimum sera
/ ^dr^-^r^dQ^ y/— ^fff dr.
Le calcul des variations conduit à l'équation
, r^dOd—^ fffdr d. — ^ ^ ^ = o,
ou
s/d'r^-+-r^dQ'
Cy
c désignant une constante arbitraire.
On tire de là
ou
- c» / dr^ I \
f^dr=-^(y^^-^-j.
fffdr^ —
La force 9 étant donnée en fonction de r , f(fdr sera une fonction connue de r, et l'on aura ainsi l'équation polaire de la trajectoire, que nous retrouverons plus tard par une autre méthode.
4l4 COURS DE MÉCANIQUE
