Le problème que nous nous proposons est celui-ci

Etant données les forces et les disperses conditions par lesquelles est déterminé le moui^ement absolu d'un point matériel^ étant donné en outre le mouv^ement absolu d'un système rigide : troui^er les forces et les dii^erses conditions qui détermineraient sur ce point un moui^ement absolu y identique à son moui^ement relatif au système.

Ainsi, nous voulons faire rentrer la considération du mouvement relatif dans la considération plus simple du mouvement absolu ; et nous cherchons conmient il faut modifier les données du mouvement absolu du mobile pour que le mouvement absolu qui en résultera soit identique à celui que ce point a par rapport au système.

Soient AX , AY, AZ trois axes fixes de coordonnées , et A'X', A' Y', A'Z' trois axes liés au système, et auxquels nous rapportons les positions du mobile ] de sorte que son mouvement absolu est déterminé par les valeurs successives de or, y, z\ et son mouvement relatif au système, parles valeurs de x\ y\ z\

L'état initial donné , tant pour le point que pour le système, que nous réduirons aux axes mêmes X', Y',Z', fera connaître a ce même instant l'état initial relatif; c'est-à-dire

1 <■ 1 / / / dx dy' dz

les valeurs de x , y' :2 , — r ? -4- » -r—

^ ^ ^ ' dt dt dt

Ainsi déjà on connaît Tétat initial du point dans le mouvement absolu qui serait identique au mouvement relatif en question. Il ne reste donc plus qu'à déterminer la force accélératrice qui doit être appliquée à chaque instant au point dans ce mouvement absolu.

PREMIÈRE AN!f£E. — STATIQUE, 4*^

Or nous savons comment , dans tout mouvement absolu , la force accélératrice est déterminée , en grandeur et en direct-ion, par la déviation. En appliquant cette règle à la déviation relative du point, qui n'est autre chose que la déviation dans le mouvement absolu que nous cherchons, nous connaîtrons la force qu'il faudra supposer appliquée au mobile partant d'un état initial identique à son état initial relatif, pour avoir un mouvement absolu identique à son mouvement relatif. Et c'est cette force que nous désignerons sous le nom àe force relative. Il suffira donc, pour avoir la solution de la question qui nous occupe, de se rappeler la décomposition que nous avons faite précédemment, de la déviation relative (n^ 243).

Cette décomposition étant faite suivant la même loi que celle des forces , si nous représentions la force par la déviation, les composantes de la force seraient représentées par celles de la déviation. Mais ce n'est pas par la déviation même que nous mesurons la force accélératrice, c'est par l'accélération du mouvement par lequel elle est censée décrite, c'est-à-dire par le quotient de celte déviation par

— \ 9 désignant l'intervalle de temps correspondant à la dé-

viation. Donc on aura les composantes de la force accélé-

ratrice relative en divisant par — les composantes de la

déviation relative. On obtient ainsi la proposition suivante : La force accélératrice rclatii^e est la résultante de trois

autres forces accélératrices,

La première est la force donnée elle-même,

La deuxième est la force d'inertie développée par le

point du système, qui coïncide ay^ec le mobile, à t instant

que l'on considère.

La troisième a pour valeur 2 co P'osin^; P'o désignant

la vitesse relative du mobile, o) la vitesse angulaiœ du

^l6 COUES DE MIÊCANIQVIE.

système autour de son axe instantané de rotation y et â l'angle que fait la direction de la vitesse relatii^e ai^ec l'axe instantané, La direction de cette troisième force est perpendiculaire au plan mené par cet axe et la vitesse relative y et dans le sens contraire au mouv^ement de rotation : en d'autres termes, elle est l'axe de la rotation qui amènerait la direction de la vitesse relative vers celle de Vaxe instantané par le plus court chemin.

Cette décomposition de la force relative est due à M. Coriolis , qui a nomxsxé force d'entraînement la seconde composante changée de sens-, et force centrifuge composée la troisième composante. Le mouvement relatif avait été considéré d'abord par Newton dans le cas des planètes , en supposant aux axes mobiles un simple mouvement de translation. Clairaut avait examiné plus tard le mouvement dans un plan , en supposant aux axes mobiles un mouvement quelconque dans ce plan ; mais il avait fait une omission qui a été corrigée récemment par M. Bertrand. M. Coriolis est le premier qui ait donné l'expression générale des forces fictives dont l'introduction ramène le mouvement relatif à un mouvement absolu.

331 . Mais il faut bien remarquer que ces forces fictives n'étant pas données , et dépendant du mouvement relatif même, par les quantités t'© et cî, rendent le problème extrêmement compliqué. Cette décomposition de la force relative 5 qui peut être fort utile daAs diverses questions , n'est autre chose qu'une interprétation des équations différentielles que Ton établirait immédiatement pour procéder a la recherche des équations du mouvement relatif: c'est même ainsi que M. Corîolis est parvenu à l'expression des composantes de la force relative. Et dans le cas où, par la nature des données, le mouvement absolu du point pourrait être complètement déterminé , il ne faudrait pas employer la force relative , mais déterminer le mouvement absolu ^

PREMIÈRE ANViE. — STATIQUE. ^in

on serait alors ramené à une combinaison de mouvements connus , ce qui rentrerait dans les questions traitées dans le second livre. Dans les cas les plus compliqués , le système des équations à traiter se compose des trois équations du mouvement absolu du point , et d'une ou deux équations de condition où peuvent entrer les coordonnées absolues xy z^ les coordonnées relatives x^y' z\ et d'autres quantités dépendantes du mouvement de système : on a en outre les équations qui lient les coordonnées dans les deux systèmes, et dont les coefficients sont des fonctions données du temps.

Si le point est libre, ou si les équations de liaison ne dépendent que de .r, j^, z , le mouvement absolu peut être déterminé séparément^ mais il n'en est plus ainsi lorsque ces équations dépendent du mouvement du système , comme cela arrive presque toujours.

332. Cas particulier où le système n*a quart mouvement de translation, — Lorsque le système des axes mobiles est animé d'un simple mouvement de translation, en vertu duquel tous les poiuts ont des vitesses égales et parallèles, variables suivant une loi quelconque, et décrivent des courbes identiques quelconques-, la vitesse angulaire c<) devient nulle et la troisième composante de la force relative disparait. La proposition générale se réduit alors à la suivante :

Lorsque les axes mobiles restent constamment parais lèles à eux-mêmes , la force accélératrice relatii^e est la résultante de la force accélératrice donnée et d'une force égale et de sens contraire à celle qui déterminerait le 'mouvement d'un quelconque des points du système.

Ce cas particulier est celui auquel on se borne ordinairement dans les Traités élémentaires de mécanique ; il suffit au calcul du mouvement relatif des planètes. Cette dernière proposition peut être immédiatement établie sans recourir à la proposition générale dont nous l'avons déduite; il suffirait de suivre, en partant des données de ce cas I. 27

4l8 COURS DB MÉGAiriQUK.

simple , la même marche que pour le cas général , et Ton arriverait de suite au résultat : nous ne nous arrêterons pas à ce détail.

Si le mouvement de translation du système était rectiligne et uniforme, la seconde composante disparaîtrait aussi; et la force relative ne serait autre chose que la force donnée elle-même.

333 . Cas où le système a un moui^ement de rotation uniforme. Application à la terre, — Dans le cas que nous considérons, la force d'inertie d'un point du système rigide, ou la seconde composante de la force relative , est précisément la force centrifuge en ce point \ la troisième composante est toujours 2mb)^oSÎn(^. Voyons ce que deviennent ces expressions dans le cas où le système rigide est la terre.

Le mouvement autour du soleil étant produit par une force appliquée à toutes les molécules, et qui peut être regardée comme sensiblement la même pour des masses égales, quelle que soit leur position dans la terre , ne change pas d'une manière appréciable les mouvements relatifs, et nous en ferons abstraction. Nous considérerons donc la terre comme ayant un mouvement uniforme de rotation autour de son axe immobile ; la rotation entière s'effectue dans un jour sidéral, c'est-à-dire dans un temps exprimé parle nombre 86164 ; d'où résulte

ce qui est une très-petite quantité. L'angle d est celui que fait la vitesse relative avec l'axe de la terre , ou le complément de celui qu'elle fait avec Téquateur; de sorte que i^r sîn S est la projection de la vitesse relative sur l'équateur.

En supposant la vitesse relative peu considérable, la troisième composante est très-petite par rapport aux deux

PREMlinE ANNÉE. — STATIQUE. 4l9

autres-, et, si on la néglige dans une première approximation, on arrive à la proposition suivante :

Le mouvement apparent d*un point à la surface de la terre peut être calculé en supposant la terre immohile, et joignant la force centrifuge à celles qui agissent effectis^ement sur ce point.

Si l'attraction de la terre est la seule force agissant sur le point, on retombe sur le résultat déjà obtenu dans le calcul de la force qui sollicite les corps à l'état de repos, en tenant compte du mouvement de rotation de la terre.

La composante que nous avons négligée produit des perturbations dont nous ne parlerons pas ici. C'est elle qui produit le phénomène , observé depuis longtemps , de la déviation des corps vers Test, quand on les abandonne sans vitesse à l'action de la pesanteur. C'est encore elle qui produit le mouvement du plan d'oscillation du pendule, mouvement que Poisson avait pensé devoir être insensible, à cause de la petitesse de cette force , mais que les belles expériences de M. Foucault nous ont fait connaître.

334. Remarque générale. — Le mouvement relatif coïncidant avec un mouvement absolu dans lequel Tétat initial serait le même que l'état relatif initial , et dans lequel la force serait la résultante de la force donnée et des deux forces fictives, c'est-à-dire la force relative 5 il s'ensuit que toutes les propositions démontrées dans le mouvement absolu d'un point libre subsisteront dans le mouvement relatif en y considérant le point cpmme soumis à l'action de la force relative. Nous allons en donner quelques exemples.

' 335. Principe des aires dans le moui^ement relatif — La remarque que nous venons de faire nous donne immédiatement les conséquences suivantes :

Lorsque la force relativ^e d*un mobile passe constam" ment par un même point du système en moui^ement, la

^20 .COURS DE MÉCAiriQUE.

trajectoire relatii^e du mobile est planel et le rayon vecteur, mené du point constant au mobile^ décrit des aires relatives proportionnelles aux temps correspondants.

Et réciproquement :

Si le rayon vecteur mené d'un point constant du système au mobile, décrit des aires dont les projections sur trois plans rectangulaires liés au système croissent proportionnellement aux temps^ ou, en d^ autres termes^ si la trajectoire relativ^e d'un mobile est plane et que les aires décrites par son rayon vecteur, partant d'un point constant de ce plan, croissent proportionnellement au temps, la force relativ^e qui agit sur le mobile passe à chaque instant par ce point constant.

336. Équation des forces vii^es dans le mouvement relatif d'un point libre. — En considérant le mouvement absolu qui est identique au mouvement relatif du mobile, la moitié de l'accroissement de la force vive dans ce mouvement, pendant un temps infiniment petit, sera égal au travail des forces pendant ce même temps. Donc, en introduisant les dénominations du mouvement relatif, le travail élémentaire de la force relative est égal à la moitié de la force vive relative, correspondante au même temps. Or le travail d'une force est égal à la somme de ceux de ses composantes , et le travail relatif de la troisième composante de la force relative est nul , puisque cette force est perpendiculaire à la vitesse relative , et , par conséquent , à la trajectoire relative. On peut donc énoncer celte proposition :

Dans le mouv^ement relatif d'un point libre, la moitié de r accroissement de la force vii^e, dans un intervalle

infiniment petit, est égale au travail correspondant de la force réelle, plus au travail de la force d'inertie que produirait le point s'il était lié au système à l'instant que Von considère.