A UN MÊME POINT

13. Résultante de deux forces. — Nous considérerons d'abord deux forces commensurables. Soient P, Q (Jîg. 4) ces forces, A leur point d'application-, AM, AN des longueurs proportionnelles à ces forces-, m, n deux nombres entiers , tels que Ton ait P : Q : : m : n :: AM : AN-, partageons les longueurs AM, AN en parties égales AB, BC, AH, etc., dont les nombres soient respectivement m 9 n ; ces diverses parties représenteront des forces, dans lesquelles on pourra décomposer les premières. Menons parles points B, C, etc., des parallèles à AN, et par les points H, K, etc., des parallèles à AM 5 ces droites partageront le parallélogramme AMIN en losanges égaux. Cela posé, les deux

forces égales AB, À H peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes au point D de la bissectrice de leur angle; elles seront alors dirigées suivant les deux cotés BD, HD qui les représenteront aussi en longueur. En agissant de la même manière sur les deux forces BD, BG, on les transportera sur DE, CE; et, en continuant ainsi, la force AH sera transportée en MF, et AM en HF. De même, les forces HK, HF pourront être transportées en FG, KG, et ainsi de suite; de sorte que les deux forces AM, AN seront transportées en NI, MI, sans que leur effet soit changé. Or elles donneraient en I une résultante égale et parallèle à celle qu'elles donnaient en* A; donc, d'après ce que nous avons démontré précédemment , le point I appartient à la direction de cette dernière.

Il suit de là que la résultante de deux forces commensurables est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent ces forces en grandeur et en direction.

14. On peut passer delà au cas des forces incommensurables par la considération des limites. On peut encore employer la réduction à l'absurde, comme il suit.

Si la diagonale AI (fig. 5) n'est pas la direction de la résultante des forces incommensurables AM, AN, soit AH cette direction. Par le point H, où elle rencontre l'un des deux côtés du parallélogramme, menons la parallèle HK à l'autre côté ; nous pourrons prendre entre M et K un point B , tel que AB soit commensurable avec AN, et alors la diagonale AC du parallélogramme NABC donnera la direction de la résultante des forces AN, AB. Il faudrait donc qu'en la composant avec la force représentée par BM, et qu'on peut supposer appliquée au point A, on trouvât la résultante des deux forces données, qui est dirigée suivant AH par hypothèse; ce qui est absurde, puisque cette direc-

1/j COUBS DE MECANIQUE.

est facile de voir que la construction indiquée donne , pour la grandeur et la direction de la résultante, celles de la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois forces.

17. Les polygones fermés, plans ou gauches, jouissent de cette propriété, que si on les parcourt entièrement dans l'un ou l'autre sens , la somme des produits de chaque côté par le cosinus de l'angle que fait la direction suivant laquelle il est parcouru , avec une direction fixe , est égale à

zéro.

Donc, lorsqu'un système de forces appliquées à un point libre est en équilibre, la somme des produits de ces forces par les cosinus des angles formés par leurs directions avec une même direction quelconque est nulle. Réciproquement, si cette propriété avait lieu relativement à une direction quelconque, le polygone serait nécessairement fermé \ et, par conséquent, il y aurait équilibre. Mais il est facile de voir qu'il suffit pour cela qu'elle ait lieu pour trois directions partant d'un même point et non comprises dans un même plan; car, si le polygone n'était pas fermé, la somme dont il s'agit ne pourrait être nulle que pour les directions perpendiculaires à la droite qui joindrait les deux sommets extrêmes ; or cette droite ne peut pas être perpendiculaire à trois directions partant d'un même point, et non comprises dans un même plan. Donc , si la somme est nulle pour ces trois directions, le polygone est fermé, et il y a équilibre. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Pour que des forces appliquées à un point libre se détruisent, il est nécessaire et suffisant que les sommes des projections de ces Jorces sur trois directions non comprises dans un même plan^ soient séparément égales à zéro.

Il est clair, d'après ce qui précède , que dans cet énoncé nous regardons comme positives les projections des forces qui font uu angle aigu avec la direction fixe , et comme négatives , celles des forces qui font un angle obtus. Le plus

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l5

ordinairement, on prend ces trois directions perpendiculaires entre elles. Si donc on désigne par a, 6, y les angles formés par la direction d'une force quelconque P, avec les directions des axes positifs X, Y, Z, et que Ton désigne par le signe S la somme des termes semblables relatifs à toutes les forces, les conditions de l'équilibre seront exprimées par les équations

2Pcosa = o, 2Pcosê = o, 2Pcos7 = o.

18. Si les forces ne sont pas en équilibre, désignons par R leur résultante , et par a , b , c les angles formés par sa direction avec les axes : il y aura équilibre en introduisant dans le système une force égale à R et directement opposée , c'est-à-dire faisant avec les axes les angles 7r — #, 7r — J, 7T — c, dont les cosinus sont égaux et de signes contraires à ceux de a , Z>, c 5 on aura donc

2 P cos a — R cos a = o , 2 P cos 6 — R cos b ~ o , 2 P cos 7 — Rcosc = o,

ou Rcosa = 2 P cos a, Rcos£ = 2Pcos6, Rcosc = 2Pcosy.

Ces équations s'obtiendraient immédiatement par la considération du polygone APBDA , qui montre que la projection de la résultante sur une direction quelconque est égale à la somme algébrique des projections des composantes. Elles déterminent la direction et la grandeur de la résultante. Si Ton fait, pour abréger,

2Pcosa = X, 2Pcos6 = Y, 2Pcos7 = Z,

on trouvera R = /F+Y 8 -H Z%

cosrt = — 5 cos6 = — , cosr=r--- R R R

l6 COURS DR MÉCANIQUE.

19. L'expression de la résultante peut être rendue indépendante de la direction des axes. En effet, si on forme les carrés de X, Y, Z, en observant que cos* « -+- cos* 6 -h cos* y = i , et que pour les directions de deux forces P et P' faisant

entre elles un angle désigné par PP', on a

cos a cos a' 4- cos € cos 6' -+- cos 7 cos 7' = cos PP' ,

on obtiendra

R* = 2P 2 h- 2 2PP'cos PP 7 .

■ 20. On peut obtenir ces résultats par des considérations différentes. Si, suivant la règle du parallélipipède des forces, on décompose chacune des forces P, P', etc., suivant les trois axes rectangulaires, les composantes de la force quelconque P seront Pcosa, Pcosê, Pcosy, et Ton remarquera que , d'après les signes des cosinus , ces composantes seront positives quand elles agiront dans le sens des axes positifs, et négatives quand elles agiront en sens contraire. Donc, si Ton fait la somme algébrique des composantes qui sont dans le même axe , on aura la grandeur et le signe de la force à laquelle elles se réduisent. Ainsi toutes les forces seront remplacées par trois autres , agissant suivant les axes, et ayant pour valeurs respectives

iPcosa, 2Pcos6, ZPC0S7.

Or il ne pourrait y avoir équilibre si elles n étaient pas nulles séparément, car elles se composeraient en une seule qui ne serait pas nulle-, les conditions nécessaires et en même temps suffisantes pour l'équilibre sont donc

2Pcosa = o, 2Pcos6 = o, 2Pcos7 = o.

S'il n'y a pas équilibre, ces trois forces donneront pour résultante du système, la diagonale du parallélipipède dont

elles seront les arêtes. Si donc on pose

2Pcosa = X 7 2Pcos6 = Y, zPcos7 = Z,

on aura

R = v/X 2 + Y J -*- Z% et

cos a ~ — 1 cos b = ~ > cos c =r — • R * R R

21. Ca$ général oh les axes sont obliques. — Si les trois directions, choisies pour la décomposition des forces , ne sont pas rectangulaires, il sera toujours nécessaire et suffisant que les sommes algébriques des composantes soient nulles suivant chaque axe, en affectant de signes contraires celles qui sont en sens opposé. Les trois équations de l'équilibre n'ont pas la même forme, parce que les parallélipipèdes sont obliques; mais elles constituent un système équivalent à celui que donneraient trois axes rectangulaires, puisque l'un et l'autre système sont nécessaires et suffisants pour l'équilibrée. Si l'on désigne par X 1? Y l5 Z t les composantes positives ou négatives de Tune quelconque des forces données, toutes ces forces pourront être remplacées par trois forces dirigées suivant les axes et représentées , en grandeur et en signe , par les trois sommes

Les trois forces qu'elles représentent sont donc les composantes de la force qui peut remplacer les forces données , c'est-à-dire de leur résultante, et les conditions d'équilibre de ces forces seront exprimées par les équations

zX, = o,, 2 Y, = 0, ZZ, = o.

On arriverait aux mêmes conséquences par la considération des projections des côtés du polygone fermé , parallèlement à trois plans non parallèles à une même droite, et pouvant former un système de plans coordonnés.

l8 COURS DE MECANIQUE.

22. Nous appellerons quelquefois force estimée suivant une direction 9 la projection de cette force sur cette direction 5 c'est la composante déterminée que Ton trouve en décomposant la force en d'autres , dont l'une soit dans cette direction et les autres dans le plan perpendiculaire. Ainsi , dans les formules précédentes, Pcosa, Pcosê, Pcosy sont respectivement les valeurs de la force P estimée suivant les axes des .r, des y et des z.

Equilibre d'un point assujetti à rester sur une surface

ou une courbe fixe.

23. Si un point , situé sur une surface qu'il ne peut quitter, est sollicité par une force normale à cette surface, il restera en équilibre; car toutes les directions suivant lesquelles il pourrait se mouvoir étant sémblablement placées par rapport à la force, il n'y a aucune raison pour qu'il prenne l'une plutôt que l'autre , et , par conséquent, il n'en prendra aucune : ce principe est confirmé par toutes les expériences. Mais si le point est sollicité par une force oblique , on peut la décomposer en deux autres, dont l'une soit normale et l'autre dans le plan tangent; la première est détruite par la résistance de la surface , mais rien ne s'bppose à ce que la seconde mette le point en mouvement , si l'on suppose qu'il puisse se mouvoir librement sur la surface dans toutes les directions. C'est ce qui n'aurait pas nécessairement lieu s'il j avait ce que l'on appelle un frottement ; mais nous en faisons abstraction pour le moment , et nous supposons tous les mouvements entièrement libres sur la surface.

Une surface ne pouvant donc détruire que les forces qui lui sont normales, produit toujours le même effet qu'une force égale à la somme de celles qu'elle détruit et agissant dans la direction normale opposée. Il en est de même de la

PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. iq

résistance d'une courbe sur laquelle un point peut se mouvoir librement. Elle détruit les forces dont la direction est comprise dans le plan normal mené au point d'application, et n'en détruit aucune autre. Sa résistance pourrait donc toujours êlre remplacée par une force normale, égale et contraire à la résultante de celles qu'elle détruit.

24. Cela posé, soit F (.r, y, z) = o P équation d'une surface sur laquelle doit rester un point sollicité par des forces quelconques,?, P',etc, il n'est plus nécessaire, pour son équilibre, que ces forces se détruisent} il suffit que leur résultante soit normale à la surface, et, par conséquent, que les cosinus des angles formés avec les axes par la direction de la résultante soient proportionnels à ceux qui se rapportent à la normale. Or les premiers sont entre eux comme les quantités désignées précédemment par X, Y, Z. Les autres peuvent s'exprimer en fonction de .r, y^ z au moyen de l'équation de la surface; désignons-les par cos a , cos b , cos c.

Les conditions d'équilibre sont donc exprimées par les

équations

cos a cos b cos c

Si ces équations n'étaient pas satisfaites, il n'y aurait pas équilibre 5 et si Ton voulait savoir en quel point de la surface les forces proposées seraient détruites, il faudrait trouver les valeurs de x, y, z , qui satisferaient à ces deux équations et à celle de la surface.

Si la surface ne résistait que dans un sens, il faudrait s'assurer si la résultante des forces agit dans le sens contraire , sans quoi elle ne serait pas détruite. Ce cas est celui d'un point qui ne serait que posé sur une surface qu'il ne pourrait pénétrer, mais dont il pourrait être détaché.

6M \ Si le point était assujetti à rester sur une courbe

donnée , il faudrait , pour qu'il fût en équilibre , que la résultante fût perpendiculaire à la tangente. Or cette dernière ligne fait avec les axes des angles a,b , c dont les cosinus sont déterminés en fonction de x K y, z par les équations de la courbe, La condition d'équilibre sera donc exprimée par l'équation

X cos a -+- Y cos 6 + Z cos c = o.

Si cette équation n'était pas satisfaite pour le point donné, il n'y aurait pas équilibre. On déterminerait le point de la courbe où les forces données seraient détruites, en cherchant les valeurs de x y y, z , qui satisferaient à cette équation et aux deux équations de la courbe.

Autre manière d'avoir égard à la résistance des surfaces

ou des lignes.

26. La résistance d une surface ou d'une courbe produisant toujours une force normale, on pourrait substituer cette dernière à la surface ou à la courbe, et considérer alors le point comme entièrement libre. La grandeur de cette force sera une des inconnues de la question-, sa direction sera dans l'un ou l'autre sens de la normale, s'il s'agit d'une surface, et ne sera assujettie qu'à être perpendiculaire à la tangente, s'il s'agit d'une courbe.

27. Considérons d'abord le cas d'une surface dont l'équation soit F(x, y, z) = o -, soient N l'intensité de la force normale qui la remplace , et a , b , c les angles qu'un des deux sens de la normale fait avec les axes -, les composantes de N seront

ztNcosa, ±Ncos£, rbNcosc,

les signes supérieurs correspondant à l'un des sens de la normale, et les signes inférieurs à l'autre. Maintenant, le

point devant être considéré comme libre, les deux forces qui le sollicitent doivent être égales et opposées , ainsi que leurs composantes respectives ; les équations d'équilibre seront donc

X±Ncosa = o, Y±Ncosè = o, Z±Ncosc = o, d'où, en éliminant N,

cos a cos b cos c

Ces deux équations sont nécessaires et suffisantes pour l'équilibre , parce qu'elles en remplacent deux des précédentes , et que la troisième sera toujours satisfaite en prenant une valeur convenable de N et un signe convenable pour le second terme.

Mais on calculera plus facilement N en observant que , puisqu'elle est égale et opposée à la force donnée , sa valeur sera

28. Considérons maintenant un point assujetti à rester sur une courbe dont les équations soient

La force N , qui remplace la résistance de la courbe , peut avoir une direction normale arbitraire. Les angles a , b , c , que la tangente à la courbe fait avec les axes, sont des fonctions de x , y, z données par les deux équations précédentes. Si l'on désigne par a , 6 , y les angles que fait avec les axes la direction de la force N, on aura

cos a cos a •+- cos b cos 6 -f- cos c cos 7 = 0, et les équations de l'équilibre seront