ENTIÈREMENT LIBRE

53. Cas d*un point fixe. — Si l'on prend le point fixe pour origine, les trois forces dirigées suivant les axes seront détruites par la résistance de ce point. Or, des couples appliqués à un système qui renferme un point fixe doivent se faire équilibre comme si le corps était entièrement libre 5 car, s'ils donnaient un couple résultant différent de zéro, on pourrait le transporter de manière qu'une de ses forces passât par le point fixe , qui la détruirait : il resterait donc une force qui ne passerait pas par le point fixe , et mettrait ce système en mouvement. Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre du système seront donc

2 (yZ — zY) = 0, 2 (zX — xZ) = o, Z^Y-jX) = o.

Les couples se détruisant indépendamment du point fixe, n'exercent aucun effort sur lui , et ne tendent qu'à rompre le système. Le point fixe n'est donc sollicité que par la résultante des forces SX, 2 Y, 2Z; cette résultante est

48 COURS DE MÉGANIQUE.

égale et opposée à la force que développe ce point pour établir l'équilibre.

Un corps qui peut tourner librement autour d'un point fixe, constitue la machine que l'on nomme levier; le point fixe se nomme point d'appui. On voit donc que l'équilibre du levier exige que les couples qui naissent du transport de toutes les forces parallèlement à elles-mêmes au point d'appui , se détruisent d'eux-mêmes. S'il n'y a que deux forces , il faut alors qu'elles soient dans un même plan avec le point d'appui, et que les deux couples qu'elles produisent soient de sens contraires et aient des moments égaux. Ces moments sont aussi les moments des forces par rapport au point d'appui.

La résultante des forces transportées au point d'appui , constituant tout ce qui n'est pas détruit par la rigidité seule du corps , ne l'est que par le point d'appui et forme ce que l'on appelle la charge de ce point.

Si le levier n'était que posé sur une surface solide sur laquelle il pourrait glisser librement, il faudrait pour l'équilibre que cette résultante fût normale à la surface fixe.

54. Cas d'un axe fixe. — Si deux points du système sont fixes, tous les points situés sur la droite qui les renferme sont invariables de position , et le corps est dans le même cas que s'il était assujetti à tourner autour d'un axe fixe, dont les points seraient susceptibles d'offrir en tous sens une résistance indéfinie. Si l'on prend cette droite pour axe des s, les trois forces dirigées suivant les axes seront détruites, ainsi que les couples qui sont situés dans les deux plans qui passent par l'axe des z , et dont les bras de levier pourraient être transportés sur cet axe même. Il ne reste donc plus que le couple résultant situé dans le plan xy, et qui ne saurait être détruit par l'axe fixe. La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre est donc ,

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. fo

dans ce cas ,

2(.rY — jX)=o.

55. Pourconnaîtreles efforts exercés sur Taxe fixe , il faut composer les forces qu'il détruit. Les couples situés dans le plan ZX et la force SX se réduisent à une force qui rencontre l'axe, à moins que Ton n'ait ZX = o, auquel cas on aurait un couple seulement : il en est de même dans le plan ZY. Outre ces efforts appliqués à Taxe, il y a encore la force 2Z qui tend à l'entraîner dans le sens où elle est dirigée. L'axe produit donc des forces égales et contraires à celles-ci , puisqu'il les tient en équilibre.

Si deux points seulement du système sont fixes , les résistances ne peuvent provenir que des deux points , et l'on devra décomposer les forces qui rencontrent l'axe en d'autres qui passent par ces points , et feront connaître les forces qu'ils produisent pour détruire celles-ci. Quant à la force dirigée suivant la droite qui les joint , elle peut être décomposée d'une infinité de manières en deux autres appliquées à ces points 5 et il en serait de même s'il y avait un plus grand nombre de points fixes sur la même droite.

56. On pourrait supposer que le corps eût la liberté de glisser le long de l'axe fixe , et en même temps de tourner autour de lui. Dans ce cas, l'axe détruirait toutes les forces dont la direction lui serait perpendiculaire, et n'en pourrait détruire aucune autre. Il faudrait donc décomposer chaque force qui rencontre Taxe en deux autres, Tune suivant l'axe, l'autre perpendiculaire. Mais alors il est plus simple de prendre des axes rectangulaires, et les conditions d'équilibre seront exprimées par les deux équations

2Pcosy = o, ZP(.rcos6 — jcos7) = o.

On connaîtra la résistance de l'axe en composant les couples situés dans les plans ZX, ZY, et les forces dirigées suivant les axes des x et des y.

5o COURS DE MÉCANIQUE.

Si le corps ne pouvait que glisser sans tourner, l'équation S P cos y = o serait suffisante et nécessaire, et le couple situé dans le plan xy ferait connaître la résistance opposée par l'axe à la torsion.

La machine que l'on nomme tour on treuil, n'est autre chose qu'un corps solide qui a la liberté de tourner sans glisser autour d'un axe fixe. Ce qui précède fait donc connaître la condition d'équilibre de cette machine et la charge que supporte Taxe.

Lorsque les forces se réduisent à deux , situées dans des plans perpendiculaires à l'axe, la condition d'équilibre consiste en ce que ces forces sont en raison inverse de leur distance à l'axe.

57. Remarque. — Les deux derniers cas particuliers que nous venons de traiter donnent une interprétation , qu'il est bon de connaître, aux six équations de l'équilibre relatives à des axes coordonnés rectangulaires. Si l'on considère trois droites rectangulaires qui se coupent en un même point, et qu'on fixe l'une quelconque d'entre elles de manière que le corps n'ait que la liberté de glisser le long de cet axe sans tourner, les trois premières équations d'équilibre expriment que les forces données ne permettront aucun de ces trois mouvements. Les trois autres expriment que si le corps avait successivement la liberté de tourner sans glisser autour de chacun des mêmes axes successivement, aucun de ces mouvements ne sera produit par les mêmes forces.

Ces trois dernières équations peuvent être énoncées d'une manière qu'il n'est pas inutile de connaître. Si , par le point d'application de la force P, on mène un plan perpendiculaire à AZ qui coupe cette ligne en O, et qu'on décompose la force en une force parallèle à cet axe et une autre située dans le plan perpendiculaire, la première sera P cos y, et la seconde P sin y sera la résultante des forces P cos a ,

PUEM1ÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 5l

P cos ë , parallèles à AX , AY. Le moment de celle force Q par rapport à O , que Ton appelle aussi le moment de la force P par rapport à AZ, sera donc la somme algébrique des moments des deux autres , ou

P(.r cosS — y cos a).

Ce qui est le couple relatif à la force P estimé suivant Taxe des z. D'où Ton voit que les trois dernières équations d'équilibre expriment que les sommes des moments de toutes les forces par rapport à trois axes rectangulaires, sont séparément égales à zéro .

On peut remarquer que la distance du point O à la force Q , n'est autre chose que la distance de O au plan mené par la force P parallèlement à Taxe des z\ c'est donc la plus courte distance de la force P à cet axe. De sorte que le moment d'une force par rapport à un axe est le produit de la plus courte distance de ces deux droites par la composante de cette force perpendiculairement à l'axe.

Cas oit le corps s appuie sur un plan fixe.

58. On prendra pour plan des x et y celui sur lequel le corps s'appuie par un nombre quelconque de points. Ce plan ne peut produire que des forces normales et de même sens, appliquées aux points de contact avec le corps, et ces forces ont nécessairement une résultante normale égale à leur somme. Il est donc nécessaire que toutes les forces appliquées au corps aient une résultante parallèle à Taxe des z : d'où résultent les équations

ïPcOSarrO, lPcOSê = 0, 2 P (a? COS 6 — ^COSa)r=0.

De plus , en composant successivement les forces développées par le plan fixe, on reconnaît facilement que leur résultante ne peut avoir son point d'application en dehors

du polygone convexe qui renferme tous les points de contact ; il est donc nécessaire que la résultante de la force £ P cos y et des deux couples situés dans les plans ZX , ZY, ait son point d'application dans l'intérieur de ce même polygone et tende à appuyer le corps sur le plan. Réciproquement, si cette condition est remplie, l'équilibre aura lieu, parce que cette résultante pourra toujours être décomposée en forces normales au plan et appliquées aux divers points de contact.

Ces forces devront satisfaire aux trois équations données par la théorie des forces parallèles ; elles seront donc indéterminées, s'il y a plus de trois points 5 elles le seront même dès qu'il y en aura plus de deux en ligne droite. S'ils y sont tous , le point d'application de la résultante devra se trouver sur cette droite ; enfin, s'il n'y avait qu'un point de contact, il serait nécessaire qu'il fût situé sur la direction de la résultante.

Conditions pour qu'un système de forces ait une résultante. — Détermination de cette résultante.

59. Pour qu'un système de forces , non en équilibre , soit réductible à une force unique , il est nécessaire et suffisant qu'en introduisant une force convenable , on établisse l'équilibre ; car le système proposé pourra être remplacé par une force égale et opposée à celle-ci. Or, nous avons vu que tout système de forces appliquées à un corps rigide , pouvait être réduit à une force et un couple ; il est donc nécessaire que cette force et celle que Ton introduira détruisent le couple résultant. Or, ces deux forces peuvent toujours se réduire à un couple et une force , et il faut que cette dernière soit zéro ; car, sans cela , il faudrait qu'elle fût en équilibre avec le couple résultant des deux autres. Les deux forces doivent donc former un couple qui détruise le couple

résultant du système donné. 11 faut donc que la force résultante soit parallèle au plan du couple résultant, et ne soit pas nulle. Et réciproquement, s'il en est ainsi, il existera une force qui formera, avec la force résultante, un couple qui détruira le couple résultant; et, par conséquent, le système proposé sera réductible à une seule force.

60. Cherchons maintenant à déterminer la résultante totale du système $ et prenons les axes de coordonnées de la manière la plus générale.

Soient x u y Xy z t les coordonnées de son point d'application, etX t , Yj, Z t ses composantes; il y aura équilibre en introduisant dans le système une force appliquée au même point, ayant pour composantes

d'où Ton tire, d'après les équations générales de l'équilibre, en représentant par X, Y, Z les sommes des composantes suivant les trois axes ,

X| = X, Yi = Y , Z, = Z;

et réciproquement , si l'on satisfait à ces équations , il y aura une résultante appliquée au point (x t , j l5 z x ) , et ayant pour composantes X t , Y t , Z t . Les trois premières font connaître les composantes de la force cherchée , et , par suite , la direction de cçtte force et son intensité. Les trois autres déterminent les coordonnées de son point d'application , et deviennent , en vertu des premières ,

Z ri — Y s, = L, Xz,- Z*, = M, Y* t — X/, = N.

Or, si on les ajoute après avoir multiplié la première par X, la seconde par Y, et la troisième par Z, on trouve

LX +MY + NZ=o, équation nécessaire pour qu'il n'y ait pas incompatibilité,

et par suite pour qu'il y ait une résultante. Les trois équations se réduisent donc à deux quelconques d'entre elles , et comme elles sont du premier degré par rapport à Xt . y^ , z, , elles déterminent une ligne droite. Le système peut donc être remplacé par une force dont les composantes sont X, Y, Z, et appliquée en un point quelconque de cette droite qui, par conséquent, ne peut être autre chose que la direction même de la résultante. C'est ce qu'on reconnaît d'ailleurs d'après ses équations , qui montrent quelle est parallèle à la résultante des forces X, Y, Z.

61 . Lorsque l'équation précédente n'est pas satisfaite, le système n'a pas de résultante, mais il peut être réduit à deux forces non situées dans un même plan. En effet, il peut être remplacé par un couple et une force non parallèle au plan du couple; et l'on peut toujours faire en sorte que cette force rencontre Tune de celles qui forment le couple : il suffit de transporter convenablement ce de.rnier. Or, si l'on compose ces deux forces appliquées au même point, et dont l'une n'est pas comprise dans le plan du couple, elles donneront une résultante qui ne sera pas située dans ce plan. Le système sera donc réduit à deux forces non situées dans un même plan.

Une construction inverse ferait voir réciproquement que deux forces non dans un même plan peuvent être remplacées par un couple et une force non parallèle à son plan, et que par conséquent elles n'ont pas de résultante. On peut encore démontrer très-simplement cette dernière proposition, sans s'appuyer sur la théorie des couples. En effet, si deux forces , non dans un même plan , avaient une résultante , il y aurait équilibre en introduisant une force égale et contraire. Cet équilibre ne serait pas dérangé en liant les points du système à une droite fixe, et choisie de manière qu'elle rencontrât la direction de la force introduite et de l'une des proposées , sans rencontrer l'autre ; ce qui est pos-

sible d'une infinité de manières. Mais alors deux des forces étant détruites , il faudrait que la troisième le fût ; ce qui n'est pas, puisqu'elle ne rencontre pas Taxe. Donc les deux forces n'avaient pas de résultante.

Résultante de forces dans un même plan.

62. Si toutes les forces sont dans un même plan , on prendra les axes des x et des y dans ce plan •, les composantes et les coordonnées parallèles à Taxe des z seront nulles \ on aura donc Z = o , L = o , M = o , et la résultante sera déterminée par les équations

X,= X, Y,= Y, Y-r,-X ri== N.

Les deux premières déterminent la grandeur et la direction de cette force \ la troisième est celle d'une droite dont tout point peut être considéré comme le point d'application de la résultante : c'est donc l'équation même de la résultante. Elle deviendrait impossible si l'on avait X = o , Y = o , sans avoir N = o \ ce qui s'accorde avec la remarque générale faite précédemment : les forces se réduisent alors à un couple. Toutes les fois que l'on n'a pas X = o , Y == o , la résultante existe sans autre condition, et l'on peut remarquer que la condition générale exprimée par l'équation

LX + MY + NZ = o

est satisfaite , puisque Ton a

63. La troisième équation, qui détermine la résultante h peut être mise sous une autre forme, en introduisant, comme précédemment , les moments des forces par rapport a l 'origine.

Soient R l'intensité de la résultante, et R/' son moment

positif ou négatif; la force opposée à R aura pour moment — Rr, et l'équilibre sera exprimé par les trois équations

X, = X, Y, = Y, — Rr-f-2P//=o;

d'où

Rr=2P/?.

La troisième apprend que le moment de la résultante par rapporta un point quelconque du plan est égal à la somme algébrique de ceux des composantes ; mais elle deviendrait impossible si R était nulle sans que l'on eût 2Pp = o : il n'y aurait donc pas alors de résultante. Et , en effet , on voit que , dans ce cas , les forces données se réduisent à un couple ; dans tout autre cas , on obtient une valeur de r qui satisfait à la troisième équation . Il existe donc une résultante dont on connaît la valeur, la direction , la distance à l'origine ; de plus, le sens dans lequel elle tend à faire tourner autour de ce point est connu par le signe du moment R r ; la résultante est donc entièrement déterminée.