CHAPITRE V
CONDITIONS ET ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE D*UN SYSTÈME; RIGIDE QUELCONQUE, ENTIÈREMENT LIBRE.
42. Réduction générale. — Toute force peut être remplacée par une force égale appliquée en un point quelconque lié à son point d'application , et par un couple formé d'une force égale et opposée à cette dernière et de la force proposée. Car cela revient à introduire deux forces qui se détruisent.
Si Ton fait cette décomposition pour toutes les forces d'un système , en choisissant le même point pour toutes , . on aura toutes ces forces transportées parallèlement à ellesmêmes , en un même point , et de plus autant de couples situés, en général, dans des plans différents.
En composant , d'une part , toutes les forces , et , d'une autre, tous les couples, le système se trouvera réduit à une seule force et un seul couple.
Or, un couple ne peut être détruit par une force, car alors il pourrait être remplacé par une force égale et opposée. Donc les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système rigide soit en équilibre , sont que la force et le couple soient séparément nuls. Chacune de ces conditions s'exprime, en général, par trois équations. L'équilibre du système est donc exprimé par six équations.
Avant de passer au cas général , nous considérerons en particulier celui où les forces sont parallèles. Il se déduirait facilement du cas général ; mais il est plus simple de le traiter directement.
Equilibre et composition des forces parallèles.
43. Supposons d'abord les forces situées dans un même plan , et d'un point quelconque O abaissons, une perpendiculaire sur leurs directions: eHe les rencontrera en des points que nous rapporterons au point comme origine, et qui seront donnés par leurs abscisses positives pu négatives.
Soient P une quelconque des forces , et x l'abscisse cor-^ respondante ; on la remplacera par une force égale et de même sens agissant en O, et un couple ayant pour moment Vx.
Or, si l'on considère successivement des forces dans des sens différents et des abscisses positives et négatives , on reconnaît facilement que le sens du couple change lorsqu'une seule des quantités P et a: change de sens, et que le sens du couple ne change pas lorsque ces deux quantités restent de même sens ou en changent a la fois. Donc, si les forces sont considérées comme positives dans un sens et négatives en sens contraire, le produit Vx est de même signe pour les couples de même sens , et de signe contraire pour des couples de sens opposé. La somme algébrique de ces produits , faite pour toutes les forces du système , et que nous exprimerons par S Pa? , donne donc la valeur du moment du couple résultant , et le sens de ce couple. Si elle est positive, ce couple est dans le sens de ceux qui correspondent à une force positive et une abscisse positive : il est de sens contraire si la somme est négative. D'après cela, les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre
rREMlÈ&K ANNÉE. — STATIQUE. 30y
seront
44. On appelle moment d'une force par rapport à un point le produit de cette force par la distance de ce point à la droite suivant laquelle elle agit. En employant cette dénomination , on énoncera , de cette manière , les conditions de l'équilibre qui viennent d'être établies :
Pour que des forces parallèles situées dans un même plan et appliquées à un système de points liés invariablement entre eux et libres dans l'espace, soient en équilibre, il est nécessaire et suffisant que la somme algébrique de ces forces soit nulle , ainsi que la somme algébrique de leurs moments par -rapport à un point quelconque du plan.
Si ces deux conditions sont remplies relativement à un certain point du plan , l'équilibre aura lieu , et , par conséquent , la somme des moments des forces par rapport à tout autre point du plan sera nulle. C'est, au reste, ce qu'on vérifierait immédiatement en faisant usage des deux équations données.
45. Si l'équilibre n'a pas lieu, c'est-à-dire si l'on n'a pas à la fois 2P = o, 2 Vx = o, on peut se proposer de déterminer la résultante , s'il y en a une : soient R sa valeur positive ou négative , et x x l'abscisse qui lui correspond 5 il y aura équilibre dans le système , en y joignant une force égale et directement opposée , d'où résulte
— R-f-2P = o, — R*, H-zP^=:o,
ou
2Pjt
On peut donc toujours établir l'équilibre en introduisant une force — R, et, par conséquent, le système proposé peut être remplacé par la force R égale et opposée à — R-,
excepté dans le cas où l'on aurai 1 2 P=o sans avoir £ Pj?=o; on trouverait alors x A infini ; et , en effet , c'est le cas où le système se réduit à un couple. Dans tout autre cas , il existe une résultante égale à la somme algébrique des composantes , et située à une distance du point O égale à la somme algébrique des moments des forces par rapport à ce point, divisée par la somme des forces.
46. Supposons maintenant que les forces ne soient pas dans un même plan \ menons un plan quelconque perpendiculaire à leurs directions, et deux autres plans parallèles aux forces et faisant entre eux un angle quelconque 5 ils couperont le premier suivant deux droites que nous prendrons pour axes des xety^ et nous supposerons que l'on donne les coordonnées des points où les forces percent le plan XY.
Cela posé, soient x,y les coordonnées du point I [fig- 17), où une force quelconque P perce le plan XY, coordonnées qui sont égales à celles du point d'application de la force. On pourra remplacer cette force par une autre, égale et de même sens , appliquée en A , et un couple ayant pour bras de leviçr AI. Menons par le point 1 deux parallèles IB, IC aux axes des x et desj^, et par le point C concevons deux forces égales et parallèles à P et de sens contraires 5 nous aurons ainsi, au lieu du premier couple, deux autres couples ayant pour bras de levier AC et CI ? et P pour force. Le premier sera dans le plan ZY, le second dans un plan parallèle à ZX , et pourra être transporté dans ce dernier plan , où AB sera son bras de levier. Leurs moments seront respectivement Pj r , Pjc, et l'on verrait comme dans le cas précédent qu'en prenant avec des signes contraires les forces et les coordonnées qui sont en sens contraires, les couples situés dans les plans ZX , ZY se réduisent à deux couples situés respectivement dans ces mêmes plan,s et ayant pour moments £ Par, SPjf.
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 4 l
Ils se composent en un seul qui ne peut êlxe nul que s'ils sont tous les deux nuls séparément. Les conditions de l'équilibre du système sont donc
2P = o, 2Par = o, 2P/ = 0.
47. Si les forces ne sont pas en équilibre , et qu'elles aient une résultante R , qui perce le plan XY en un point dont les coordonnées soient #1,^15 il y aura équilibre si l'on introduit une force — R appliquée au même point; et réciproquement, si l'équilibre a lieu de cette manière, R sera la résultante du système. Il est donc nécessaire et suffisant que R , x, , y t puissent être déterminés par les équations suivantes :
— -R-h2P=rO, — R^, + 2Ptf= O, — R/.-f-XP/rr o;
d'où
R = 2P, R-r.^ZPtf, Rj^, = 2Pj.
Ces équations ne sont incompatibles que quand x t ou y x deviennent indéfinis, c'est-à-dire quand on a 2P = o, sans avoir en même temps S P x = o, 2Py = o ; et c'est, en effet, le cas où le système se réduit à un couple.
48. Dans tontes les formules précédentes , x et y désignent les coordonnées des points où les directions des forces percent le plan XY. Elles sont les mêmes que celles des points d'application de ces forces, dont la coordonnée z n'entre pas dans les équations qui expriment l'équilibre, dans le système d'axes qui a été adopté; et l'on pourrait même remplacer les x et y par des droites parallèles à une direction arbitraire, et terminées respectivement aux mêmes plans ZX et ZY; car on ne ferait que multiplier tous les termes des équations par un même nombre. Si , pour chacun des plans ZX, ZY, qui font toujours entre eux un angle quelconque, on substitue aux x et y des systèmes quelconques de parallèles affectées des mêmes signes que ces
coordonnées, et qu'on appelle, comme précédemment, moment d'une force par rapport à un plan , le produit de cette force par la valeur algébrique de cette distance oblique ou rectangulaire de son point d'application à ce plan \ les équations précédentes s'énonceront comme il suit :
i°. Pour qu un système de forces parallèles soit en équilibre , il est nécessaire et suffisant que la somme algébrique des forces soit nulle > et que la somme de leurs mo-r ments par rapport à deux plans qui se coupent suivant une ligne parallèle aux forces , soit nulle pour chacun de ces plans.
2°. La résultante d'un système de forces parallèles est égale à la somme algébrique de ces forces; et son moment par rapport à un plan quelconque parallèle aux forces est égal à la somme algébrique des moments des composantes.
3°. Le seul cas où des forces parallèles n 9 ont pas de résultante est celui. où leur somme est nulle, sans que la somme de leurs moments par rapport à deux plans parallèles aux forces le soit elle-même pour chacun de ces plans.
49. La résultante passant toujours par un même point , qui est le centre des forces parallèles , quelque direction que Ton donne au système , en faisant tourner les forces autour de leurs points d'application, il s'ensuit, comme nous l'avions déjà démontré (n° 6) , que le moment de la résultante par rapport à un plan que/conque est égal à la somme des moments des composantes par rapport à ce plan; car, en amenant les forces à être parallèles à ce plan sans cesser d'être parallèles entre elles et de conserver leurs sens respectifs , et sans changer leurs points d'application , pn rentre dans le cas précédent , et le théorème est démontré, puisque les moments sont restés les mêmes, malgré le changement de direction des forces.
11 suit de là que , pour avoir la distance positive ou négative du centre des forces parallèles à un plan quelconque,
PREMIÈRE ANM-E. — STATIQUE. % 4^
il faut diviser la somme algébrique des moments des forces par rapport à ce plan , par la somme algébrique des forces. On déterminera donc les trois coordonnées de ce point, en prenant les sommes des moments par rapport aux trois plans coordonnés , et les divisant par la somme des forces. On retombe ainsi sur la régie donnée (n° 35).
On voit que, pour que le centre des forces parallèles soit situé dans un certain plan , il est nécessaire et suffisant que la somme des moments des forces par rapport à ce plan soit égale à zéro.
Equilibre de forces dirigées d'une manière quelconque
dans l'espace.
50. Quoiqu'il soit plus commode pour le calcul de prendre des axes de coordonnées rectangulaires , il est cependant nécessaire de traiter la question plus généralement; et nous supposerons les axes obliques.
Nous allons commencer par réduire le système total des forces à trois forces dirigées suivant les axes de coordonnées, et à trois couples situés dans les plans de ces axes pris deux à deux.
Soient P, P', P",.. . les forces données; (X, Y, Z) t (X', Y', Z'), . . . leurs composantes positives ou négatives; et (x 9 yi z), (x'yf', z f ), ... les cordonnées de leurs points d'application respectifs.
Considérons Tune quelconque des forces données , par exemple la force P (fig. 18), appliquée au point M; supposons , pour fixer les idées , que ses trois composantes X , Y, Z soient dans le sens des axes positifs, et, de plus, que les coordonnées #, y, z du point d'application M soient positives. La force Z peut être remplacée par une force égale et parallèle appliquée en A, et un couple situé dans le plan MAZ; ce couple peut être décomposé en deux,
autres, Z, AB, Z, AC, situés dans les plans zx, zy. On remarquera que AB , AC ne sont pas les bras de levier de ces couples , puisqu'ils font avec les forces de ces couples des angles égaux à ceux des axes des coordonnées situés dans leurs plans. Mais pour les couples que chaque force P donnera dans un même plan coordonné , l'angle des forces et du bras de levier oblique sera toujours le même, puisqu'il sera celui des axes de coordonnées , et par conséquent il n'y a aucun inconvénient à prendre, au lieu de leur moment, le produit de la force par le bras de levier oblique \ car ces produits ne différeront des moments que par un facteur constant, et Ton aura la même équation en égalant leur somme algébrique à zéro. Quant aux signes de ces moments, 1 nous considérerons comme positifs ceux des couples dont I Taxe serait du même côté de leur plan que Taxe des coordonnées positives qui n'y est pas renfermé.
Les moments des couples Z,AB, Z,AC seront donc exprimés par — 7jX et -I- Zy.
Chacune des forces X et Y donnera semblablement une force égale et parallèle appliquée en A , et deux couples dont les moments se déduiront des précédents par des changements de lettres dont la loi est facile à saisir 5 ils seront, pour la première, — Xy, -i-Xs} et, pour la seconde, — Ys, -hYx.
Réunissant les moments des couples situés dans le même plan, on aura, au lieu de la force P, ses trois composantes X , Y, Z appliquées au point A , et trois couples situés dans les plans coordonnés , et ayant respectivement pour moments, à des facteurs constants près,
yZ — zY..., zX — xTL . . . , xY — /X.
Une discussion semblable à celle que nous avons faite dans le cas des forces parallèles démontrerait la généralité de ces expressions , en considérant les coordonnées #, y, z
et les composantes X, Y, Z comme positives quand elles sont dirigées respectivement dans le même sens que les axes AX, A Y, AZ, et comme négatives quand elles sont dirigées en sens contraire.
Si Ton fait la même décomposition pour toutes les forces du système, et qu'on indique par 2 la somme des termes semblables relatifs à toutes les forces, on trouvera, en égalant à zéro les expressions des trois résultantes dirigées suivant AX, AY, AZ, ainsi que des trois couples résultants situés dans les plans coordonnés ,
2X = o, zY = o, 2Z = o,
2(/Z — zY)=o, 2(zX — *Z) = o, 2(.rY — yX) =o.
Telles sont les équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre d'un système rigide entièrement libre.
Dans le cas où les axes sont rectangulaires, désignons par a, 6, y les angles que la direction que la force quelconque P fait avec les axes positifs ; on aura
X=rPcosa, Y=Pcos6, Z = PcoS7,
et ces six équations d'équilibre deviendront
2Pcosa = o, 2Pcos6 = o, 2PcoS7 = o, 2P (jpcosy — zcosê) = o, 2P (zcosa — .zcosy) = o,
2P(xcos6 — jcosa) = o.
Cas où les forces sont situées dans un même plan.
51. Si toutes les forces étaient dans un même plan, par exemple dans le plan XY, les composantes Z seraient nulles ainsi que les coordonnées z , et les six équations générales se réduiraient aux trois suivantes :
Si Ion voulait traiter directement ce cas particulier, il n'y aurait qu'à suivre la même marche que dans le cas général, en parlant des données plus simples de la question actuelle. On prendrait deux axes AX, A Y (fig. ip)) dans le plan des forces , et l'on substituerait à une force quel* conque P ses deux composantes X, Y, parallèles aux axes. On remplacerait ensuite X par une force égale et parallèle
appliquée en A , et le couple X , BM \ de même Y pourrait être remplacée par une' force égale et parallèle appliquée
en A , et le couple Y, AB. Les bras de levier obliques de ces couples faisant avec les forces un même angle, qui est celui des axes de coordonnées, on pourra prendre pour les moments les produits des forces par ces bras de levier, qui sont les coordonnées des points d'application des forces. Dans le cas où les deux composantes X, Y, ainsi que les coordonnées a:, y, sont dirigées dans le sens des axes positifs, on a deux couples de sens contraires dont la somme des moments est xY — /X, en considérant comme positifs ceux dont le sens est celui de la rotation de Taxe des x positifs vers l'axe des j- positifs*, et Ton reconnaîtrait, comme précédemment , que si le sens des composantes et des coordonnées change, il faut conserver cette même expression, en y considérant comme négatives les quantités dont la direction a changé. De cette manière, les résultantes des forces dirigées suivant les axes seront SX, 2 Y, et le moment du couple résultant sera 2 [x Y — yX). Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre seront donc
2X = o, zY-=o, ï(xY — jX) = o.
52. La dernière peut se présenter sous une autre forme , en décomposant la force quelconque P en une force égale et parallèle appliquée en A, et un couple ayant pour moment Pp, p désignant la distance de la force P au point A. Décomposant , suivant les deux axes , la force appliquée en
A, et faisant la même transformation pour toutes les forces, on réduira le système à deux forces SX, 2 Y, dirigées suivant les axes, et un couple ayant pouï moment 2P/J, les termes de cette dernière somme étant considérés comme de mêmes signes ou de signes contraires , suivant que les couples sont de même sens ou de sens contraire. Les équations d'équilibre seront donc
La troisième, qui est la seule dont la forme soit changée, exprime que la somme des moments des forces > par rapport à un point quelconque du plan, est nulle.
