CHAPITRE VII
ÉQUILIBRE DE SYSTÈMES DE FIGURE VARIABLE COMPOSÉS DE PLUSIEURS SYSTÈMES RIGIDES.
71 . Lorsque tous les points d'un système ne sont pas invariablement liés les uns aux autres , on ne peut plus faire les compositions et décompositions qui réduisent toutes les forces à une seule force et un seul couple. Le principe général d'après lequel on ramène ce cas au précédent , consiste en ce qu'il est évidemment nécessaire et suffisant que chacun des systèmes rigides partiels soit en équilibre, au moyen des forces qui agissent sur lui , et qui se composent tant des forces données que de celles qui naissent de sa liaison avec les autres systèmes. Pour fixer les idées, supposons que ces liaisons consistent en des fils flexibles ou des tiges rigides , dont les extrémités soient fixées à deux points appartenant à des systèmes différents $ ou bien encore que des surfaces appartenant à deux systèmes soient en contact Tune avec l'autre et se pressent mutuellement.
Lorsque l'équilibre est établi, chaque fil étant lui-même en équilibre doit être tiré dans le sens de sa longueur, par deux forces égales et contraires, dont l'une agira sur le premier des systèmes, l'autre sur le second; chacun des deux étant tiré par l'autre.
Si les fils devenaient entièrement rigides, et ne pouvaient ni augmenter ni diminuer de longueur, l'équilibre d'une quelconque de ces verges ou tiges rigides exigerait que les deux forces appliquées à ses extrémités fussent égales , contraires et dirigées suivant cette verge ; mais la force appliquée à chaque corps ne sera pas nécessairement une traction exercée par l'autre, comme dans le cas d'un fil flexible; elle pourra être dans le sens opposé.
PREMlÈKE ANNKB. — STATIQUE. 65
S'il s'agit de deux surfaces en contact, les forces détruites par une surface étant toujours supposées normales à cette surface , il en résulte que chacun des deux systèmes est sollicité par une force dirigée suivant la normale commune; ces deux forces sont de sens contraires, et chaque système, au lieu d'être tiré du côté de l'autre, comme dans le cas d'un fil, est au contraire poussé par lui. Quant à l'intensité des deux forces normales , elle est évidemment la même ; car la résistance d'une surface ne peut détruire une force qu'en en développant une autre exactement égale et opposée.
Ainsi, dans tous les cas où la communication des systèmes partiels s'effectue par des fils flexibles, des tiges rigides, ou des contacts de surfaces rigides, il se développe d'un système à un autre des forces inconnues, égales deux à deux et de sens contraires.
Ces différents modes de communication sont à peu près les seuls qu'il soit utile de considérer. Dans les autres cas qui pourront se présenter, on reconnaîtra toujours que les forces développées par les liaisons seront des actions et réactions égales et contraires ; parce qu'une force ne peut être détruite que par une force égale et opposée.
Lorsque les systèmes rigides sont ce que l'on appelle des machines simples, comme le levier, le treuil, etc., leur ensemble forme ce que Ton désigne sous le nom de machine composée.
72. Cela posé, on pourra, d'après les théories précédentes* former les équations d'équilibre de chaque système rigide $ dont le nombre pourra varier de un à six pour chacun d'eux. En éliminant les forces provenant des liaisons, on aura les équations auxquelles devront satisfaire les forces données pour que le système composé soit en équilibre ; et les équations qui auront servi à l'élimination feront connaître les valeurs de toutes tes forces de liaison, et leurs i. 5
directions , quand elles ne seront pas données immédiatement.
Dans le cas particulier où l'équilibre de chaque système
n'exigerait qu'une équation , et où la communication de l'un à l'autre ne donnerait lieu qu'à deux forces égales et contraires , il est facile de voir qu'il n'y a qu'une seule équation nécessaire pour l'équilibre des forces données.
En effet, soit m le nombre des systèmes; on aura m équations d'équilibre , et m — i forces inconnues , développées par la communication du premier avec le second ,. du second avec le troisième , et ainsi de suite jusqu'au m ième :
Soient X f , X, , . . . , X„,i ces m — i forces. La première équation renfermera X t , la seconde X t et X 2 , la troisième Xj et X 8 , enfin la dernière ne' renfermera que X m i sans compter toutes les forces données.
Tirant X t delà première et le reportant dans la seconde ; puis X 2 de celle-ci et le reportant dans la troisième; et continuant ainsi, on arrivera à une dernière équation ne renfermant plus que les forces données. Ce sera la condition unique de leur équilibre-, et toutes les équations précédentes feront connaître X t , X 2 , . . . , X m j .
Exemples divers.
73. Premier exemple. — Considérons en premier lieu deux leviers , c'est-à-dire deux systèmes rigides liés respectivement à deux points fixes O, O' (fig. 22) autour desquels ils peuvent tourner librement, et sollicités par des forces quelconques. Un fil flexible a ses extrémités fixées en deux points M , M' de ces corps. On demande les conditions d'équilibre de ce système, qui est dans une position donnée où le fil a tous ses points en ligne droite et peut avoir une tension inconnue quelconque.
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. i)n
En désignant cette tension inconnue par X, le levier MO sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont directement appliquées et de la force X qui agit de M vers M'; il résulte de là les trois équations connues, qui renferment chacune X au premier degré. De même le corps M'O' sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont appliquées , et de la force X qui agit de M' vers M. On trouve ainsi trois nouvelles équations qui renferment encore X au premier degré.
Tirant la valeur de X de Tune de ces six équations, on connaîtra la tension du fil ; et la reportant dans les cinq autres , on aura les équations de condition auxquelles doivent satisfaire les forces données pour que le système soit en équilibre.
74. Deuxième exemple. — Considérons maintenant un levier et un treuil ; le premier pouvant tourner librement autour d'un point O, et l'autre autour d'un axe AZ (fig. 23). Ils sont sollicités par des forces quelconques et se touchent en un point M. On demande les conditions pour qu'il y ait équilibre, et la valeur de la pression mutuelle en M.
Désignant par X l'intensité inconnue de cette pression , lé corps MO sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont directement appliquées et de la force X dirigée suivant MN. Il résultera de là trois équations qui renfermeront X et les forces proposées.
Le second corps sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont appliquées et de X qui sera dirigée de M vers N\ L'équilibre de ce corps, qui ne peut que tourner autour d'un axe fixe, conduira à une équation unique renfermant X. On aura ainsi quatre équations, dont l'une fera connaître X* et les trois autres donneront , par la substitution de cette valeur, trois équations de condition entre les quantités don-
nées.
75^ Troisième exemple. — Prenons maintenant pour
68 COURS DE M^CAmQUB.
exemple an polygone formé par des droites rigides dont les angles peuvent varier sans opposer de résistance , et dont les extrémités sont assujetties à rester sur des courbes données.
Soient ABCDE (fig. *4) ce polygone, P, Q, R, S, T les résultantes des forces appliquées respectivement aux points- A,B,C,D,E.
Chacun de ces points doit être en équilibre au moyen des forces qui agissent immédiatement sur lui et de la résistance de la courbe ; et , par conséquent, la résultante de ees forces, abstraction faite de cette résistance , doit être normale à la courbe.
De même , chaque côté doit être en équilibre au moyen des forces de tout genre qui y sont appliquées ; ce qui exige que les deux résultantes de toutes celles qui agissent séparément en À et en B sur cette tige soient égales et directement opposées , et , par suite , que cette direction soit celle du côté lui-même.
II stiit de là que la résistance de ce côté consiste en deux forces appliquées en À et B, et détruisant chacune des deux précédentes. De sorte qu'une tige rigide peut être considérée comme produisant deux forces égales et contraires , agissant dans la direction de cette tige.
Cela posé , désignons par X , Y, Z , U les forces que produisent ainsi les divers côtés du polygone. Soient #, ft, c, d, eiss angles que font les directions des forces P, Q, R, S, T avec les tangentes aux courbes données, considérées dans des sens déterminés; a, a! les angles que les directions des deux forces X font avec les tangentes en A et B \ 6 , 6' les angles des forces Y avec les tangentes en B et C ; et ainsi de suite.
L'équilibre du point À donnera la condition
P cosa -+- X cos a = o.
L'équilibre du point B donnera
X cos a' -f- Q cos b H- Y cos 6 = 0,
«t Ion trouvera de même pour les autres points ,
Y cos 6' H- R cos c -+- Z cos 7=0, Z COS7' -f- S cos rf-f-U cos S = o , Ucostf'-h Tcos£ = o*
Éliminant X, Y, Z,U entre toutes ces équations, il en reste une seule entre les forces données , qui sera la condition d'équilibre du système. Les autres feront connaître les intensités des forces X, Y, Z, U.
Quant au sens dans lequel elles agissent, et qui n'esjt pas connu d'avance, il sera déterminé par les signes que devront avoir les cosinus des angles a, a', 6, 6', etc. Ainsi, la première équation faisant connaître le signe de cos a , détermine le sens de la force X provenant de la tige AB et agissant en A ; d'où résulte le sens de la seconde force X appliquée en B, et, par suite, le signe de cos a' . La seconde équation fera connaître ensuite le signe de cos 6 , d'où résultera le sens de la force Y agissant en B 5 et ainsi de suite jusqu'au dernier côté.
76. Si Tune des tiges était normale à l'une des courbes , il en résulterait des conséquences particulières qu'il est bon de remarquer. Supposons , par exemple, que BC soit donnée normale à la courbe en B 5 on aura
cos 6 = 0,
et les deux premières équations donneront, par l'élimination de X , une équation de condition qui ne sera autre que la condition d'équilibre des deux forces P et Q qui seraient appliquées à la tige unique AB, dont les extrémités seraient liées aux deux premières courbes. En effet, cela devait être, puisque la force Y étant détruite par la résistance de
la courbe en B , doit être considérée comme n'existant pas pour les points situés du côté de B que Ton considère.
Les trois autres équations donneront , par l'élimination de Z et U, une équation qui sera celle de l'équilibre du sys* tème C , D, E considéré isolément , et dans lequel il y aurait une force indéterminée Y agissant en C suivant la ligne BC , dans l'un quelconque des deux sens. En effet , cette tige BC peut être sollicitée par une force quelconque en c dans le sens de sa longueur, sans qu'il en puisse résulter aucun déplacement, vu qu'elle sera détruite par la résistance de la courbe à laquelle elle sera normale en B. '
77. Quatrième exemple. — Considérons maintenant un système de points liés entre eux par des fils flexibles et inextensibles , et formant ce que Ton appelle un polygone funiculaire. Dans ce cas, les systèmes rigides partiels 9e réduisent à des points. Soient À, B, C, D (fig. a5) ces points; U, P, Q, R, S, V les forces qui y sont appliquées, et dont les deux extrêmes U, V agissent par l'intermédiaire des fils ou cordons AU, DV.
Pour que ce système soit en équilibre, il faut que chacun des points A, B, C, D soit en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées. Ainsi , par exemple , le point B est sollicité par trois forces qui sont les efforts exercés par les cordons BA, BC, et la force Q$ ces trois forces devront donc être dans un même plan , et chacune d'elles proporr tionnelle au sinus de l'angle des deux autres. Mais l'équilibre de chacun des cordons exige encore qu'il soit tiré par des forces égales et contraires , et dont l'intensité se nomme la tension du cordon. Au moyen de ces conditions, on pourra déterminer les tensions de tous les cordons , et les rapports des forces entre elles lorsque Ton connaîtra la figure du polygone en équilibre.
78. On peut déterminer très-simplement la tension T d'un cordon quelconque CD , en observant qu'il y a équi-
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. n\
libre entre cette force T et la partie du système qui est située d'un côté quelconque de CD. Considérons par exemple les forces U, P, Q, R et T-, elles ne cesseront pas d'être en équilibre si Ton rend inflexible le polygone ABC; et, par conséquent, la force T est égale et opposée à la résultante des forces U , P, Q , R. Et comme on peut transporter des forces en un point quelconque de leur résultante sans cbanger leur effet , on obtient le théorème suivant :
La tension d'un cordon quelconque est la résultante de toutes les forces situées d *un même côté de ce cordon, et transportées parallèlement à elles-mêmes en un quelconque de ses points.
79. Si l'une des forces était appliquée à un point mobile sur le fil, par exemple à un anneau qui pût glisser librement sur ce fil , l'équilibre exigerait une condition particulière.
Soit P la force appliquée à l'anneau M, et supposons l'équilibre établi ; il ne sera pas troublé si l'on rend fixes les deux points  et B. Mais alors le point M (fig. 26) ne pourrait se mouvoir que sur la surface d'un ellipsoïde de révolution dont A et 6 seraient les foyers ; on peut donc faire abstraction du fil et supposer que le point est assujetti à rester sur cette surface fixe. Il est donc nécessaire, pour son équilibre, que la force P qui le sollicite soit normale à l'ellipsoïde, et, par conséquent, partage l'angle AMB en deux parties égales. Ainsi , quand un des points d'application des forces sera mobile sur le fil , la direction de la force devra diviser en deux parties égales l'angle des deux cordons correspondants , et I eur tension sera la même.
Il en serait de même si l'anneau étant fixe, le fil pouvait glisser sur lui sans résistance; car l'équilibre aurait évidemment lieu, en supposant égales les tensions suivant MA, MB; et, par conséquent, il y aurait mouvement si l'on augmentait Tune des deux.
80. Lorsque le polygone est en équilibre, il y sera encore si l'on rend sa figure invariable; et, par conséquent, toutes les forces extérieures qui y sont appliquées doivent satisfaire aux conditions d'équilibre d'un système rigide. Si donc on les transporte parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles doivent donner une résultante nulle, ce qui donne trois équations.
Réciproquement, si ces conditions sont satisfaites, on pourra donner au polygone une figure telle , que les forces données de grandeur et de direction s'y fassent équilibre.
En effet, plaçons arbitrairement le point A {fig. 25), et donnons au cordon AB la direction opposée à la résultante de U et P, et une tension égale à cette résultante. Donnons ensuite au cordon BC une direction contraire à la résultante de la force Q et de la tension du cordon AB, et une tension égale à cette résultante; et continuons ainsi jusqu'au dernier sommet D : la direction et l'intensité qu'il faudra donner à la force qui tiendra ce point en équilibre, seront telles que le polygone entier y sera lui-même; elle sera donc égale et opposée à la résultante des forces U , P, Q , R , S transportées en D , et , par conséquent , sera la force donnée V. On peut donc toujours donner au polygone une forme telle , que des forces données de grandeur et de direction s'y fassent équilibre, pourvu que, transportées en un même point, elles s'y détruisent. Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés du polygone, aura lieu encore à la limite lorsque les côtés tendant vers zéro, il s ? approchera indéfiniment de se confondre avec une courbe.
81 . Si les extrémités du cordon sont fixes, les forces U et V ne sont plus données , et l'on peut encore se proposer de déterminer la forme du polygone en équilibre et les va T leurs de ces deux forces.
Pour cela, on partira de la première extrémité fixeU, et Von supposera connues les trois composantes de la ten-
PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. "j3
sion U; on dé Lermi nera , en conséquence, la position du point A , ainsi que les positions des autres points et les tensions de tous les cordons. Les coordonnées du point extrême du dernier cordon seront donc exprimées en fonction de celles du premier point que l'on peut supposer nulles , et des trois composantes de la force U. En égalant ces expressions aux valeurs données des coordonnées du second point fixe, on aura trois équations qui détermineront ces composantes , ainsi que toutes les tensions , et les positions de tous les sommets.
82. Si les directions des deux cordons extrêmes se rencontrent, les forces U, V ont une résultante : d'où il suit que les forces P, Q, R, S en ont une égale et opposée*, et, par conséquent , lorsque le polygone est en équilibre et que les deux extrémités sont fixes, on connaîtra l'effort exercé sut chacune d'elles en prolongeant les cordons qui y aboutissent , puis transportant à leur point de concours les forces données et les décomposant en deux forces dirigées suivant ces mêmes cordons. Chacune de ces composantes mesurera la tension du cordon correspondant, et l'effort qui sera exercé sur le point fixe où il est attaché.
83. Lorsque toutes les forces P, Q, R , S (Jig- 27) sont parallèles , il est facile de voir que tout le système est compris dans un même plan. Supposons, de plus, que l'un des cordons, BC par exemple, soit perpendiculaire à la direction des forces-, remplaçons-le par une force égale à sa tension, et ne considérons que les forces situées d'un même côté de ce cordon. La tension d'un cordon quelconque DE est la résultante de toutes les forces situées d'un même côté et transportées au point D ; donc la composante perpendiculaire aux forces sera constante pour tous les cordons , et égale à la tension de BC ; et la composante parallèle aux forces sera la somme de toutes ces forces depuis B just qu'en D.
84. Lorsqu'une force sollicite un point qui est retenu par plusieurs cordons , on aura la tension de chacun d'eux en décomposant cette force en d'autres qui soient dirigées suivant tous les cordons. Il y aura indétermination si leur nombre est plus grand que trois -, et cela tient à l'hypothèse que Ton fait de l'inexteusibilité des cordons. C'est ainsi que nous avons déjà vu que les pressions exercées par un corps qui repose sur un plan par plus de trois points ne sont pas déterminées individuellement. Dans la réalité , les pressions en chaque point du plan, et les tensions de chaque cordon sont déterminées , parce que chaque cordon s'allonge , et chaque point de contact d'un corps sur le plan cède plus ou moins. Ces circonstances , jointes aux propriétés physiques de la matière qui les forme, font connaître chaque force en particulier $ mais ces recherches sont étrangères à notre cours , et nous ne nous en occuperons pas.
Equilibre d'un fil flexible et inextensible dont tous les points sont soumis à l'action de forces quelconques.
85. Soient X , Y, Z les composantes de la force qui sollicite un point quelconque du fil, et qui est rapportée à l'unité de longueur, de sorte qu'un arc infiniment petit d$ soit sollicité par une force dont les composantes soient !Lds,YdS)Zids. Les extrémités du fil peuvent être fixes, ou sollicitées par des forces données de direction et d'intensité-, il s'agit de trouver les conditions de l'équilibre du système, qui n'est autre chose qu'un polygone funiculaire d'un nombre infini de côtés.
Or, dans cet état, un élément infiniment petit quelconque du fil doit être en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées -, et réciproquement , si cela a lieu , le fil entier sera en équilibre.
Soit donc ds un élément quelconque*, il ne cessera pas d'être en équilibre si l'on rend sa figure invariable. Or, les forces qui le sollicitent sont les tensions exercées à ses extrémités, qui sont dirigées respectivement suivant les tangentes en ces points et en sens inverse, et de plus les forces X*/y, Yrf$, Zds.
La tension T, variant d'une manière continue en même temps que l'arc s de la courbe, en est une fonction conti-
dx d'Y dz
nue , ainsi que les cosinus — > -~- > — des angles que fait la
fiJf (ta fto
tangente avec les axes. Les composantes de là tension considérée dans le sens où s augmente sont donc , aux deux extrémités de l'arc ds,
T — , T ^ T - , ds <ls ds
et
ds \ ds ) ds \ ds ) ds \ dsj
Supposons les arcs s comptés à partir de l'extrémité A (fig. 28), et soit MN Tare infiniment petit ds. Les direct tions des deux forces tangentes aux points M et N se rencontrent si la courbe est plane , et elles peuvent être considérées comme se rencontrant même dans le cas d'une courbe à double courbure , parce que leur plus courte distance est infiniment petite par rapport à ds. Elles ont donc une résultante-, et par conséquent les forces qui agissent en tous les points de MN doivent avoir une résultante égale et opposée à la première, et, par suite, comprise dans le plan osculateur de la courbe. Les conditions cherchées de l'équi-. libre son t donc celles de forces appliquées à un même point , et elles doivent exprimer que les sommes des composantes parallèles h chaque axe sont séparément nulles. Si donc on
1 i m ^ m ^/ rn ^ j • a
observe que les composantes 1 — » 1 -y-» 1 y doivent être changées de signe, on aura les équations suivantes :
rf.[T .
as
\ 4- Z «fc = o.
dx dy
Si l'on multiplie la première par — * la seconde par — > la
dz troisième par — > et qu'on les ajoute, en observant que
Ton a
w+wh*)'-
et, par suite ,
dx dx dy dy dz dz
ds ' ds ds ' ds ds ds
on obtiendra
dT-\-Xdx +Ydy + Zdz =0,
équation qui pourra remplacer une quelconque des équations (1).
Dans le cas le plus ordinaire, ILdx ■+- Ydy -+- Zdz est la différentielle d'une fonction <p (x, y, z) , et Ton aura alors
et si l'on connaît la tension T A au point dont les coordonnées sont x\ y\ z\ on aura
de sorte que l'on connaîtra la tension en tout autre point,
en fonction de ses coordonnées-, et dans tous les cas, la différence des tensions inconnues qui ont lieu en deux points du fil ne dépendra que des coordonnées de ces points. La valeur de T étant substituée dans deux des équations (i) , on aura les équations de la courbe formée par le fil.
86. Fil sollicité par des forces normales . — Si la force dont les composantes sont X, Y, Z était normale en tous les points de la courbe , on aurait
(f (x>y<) z) serait constant, et, par suite, T; dans ce cas, le fil est donc également tendu en tous ses points. C'est ce qui aura lieu par exemple lorsqu'il sera tendu sur une surface qui ne produira aucun frottement.
La tension T étant constante, les équations (i) deviennent
dx dy dz
Id. — zzz — TLds, Td.-fz= — Yds, Td.y=z — Zds, ds ds ds
d'où
ou , en désignant par P la force , et par R le rayon de courbure ,
T 2 = P 2 R>, d'où P = 5*
Ainsi , quelle que soit la force normale , le fil prendra une figure telle, que cette force soit en raison inverse du rayon de courbure.
D'où il suit que si la force est constante et que la courbe soit plane , elle formera un arc de cercle.
Si la force normale est la résistance d'une surface , comme elle doit toujours être comprise dans le plan osculateur de la courbe, ce dernier est normal à cette surface , et la courbe
mi ère position à la seconde , fait un angle aigu avec celle suivant laquelle on estime la vitesse ; elle est négative quand cet angle est obtus. De sorte qu'on obtient en grandeur et en signe , la vitesse d'un point estimée suivant une direction quelconque, en multipliant la grandeur absolue de cette vitesse par le cosinus de l'angle que sa direction fait avec ceHe suivant laquelle on l'estime.
On appelle moment virtuel d'une force, le produit de son intensité par la vitesse virtuelle de son point duplication, estimée suivant la direction de la force.
Cela posé % le principe des vitesses virtuelles consiste en ce que
Si un système quelconque de points est en équilibre 9 et que Von conçoive un déplacement infiniment petit de tous ses points, qui soit compatible avec toutes les conditions auxquelles il est assujetti, la somme des moments virtuels de toutes les forces est nulle, quel que soit ce déplacement. Et réciproquement 9 si cette condition a lieu pour tous les déplacements virtuels, le système est en équilibre.
Dans cet énoncé, les infiniment petits sont considérés de la manière ordinaire. L'équation n'est exacte qu'en considérant les limites des rapports, après avoir divisé par l'une quelconque des quantités infiniment petites} en d'autre termes, la somme des moments est infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes.
Avant de passer à la démonstration générale de ce principe, considérons quelques cas particuliers, et d'abord celui d'uu point unique.
89. Cas d'un point unique. — L'équilibre d'un point entièrement libre exige que la somme des forces estimées suivant une direction arbitraire soit nulle; et réciproquement si cela est, il y a équilibre. Soient donc P Tune quelconque des forces appliquées à ce point, p. l'angle quelle
PREMIÈRE ANNEE. — STATIQUE. 8l
forme avec une direction quelconque, on devra avoir
2PcoSfi = o;
et réciproquement, si cette équation a lieu pour toute direction , le point sera en équilibre. Si l'on multiplie tous les termes par une quantité arbitraire m, F équation devient
2P/wcos/x = o.
Or m cos fi est la projection de la grandeur m portée, à partir du point donné , sur la direction que Ton considère , et projetée sur la direction de la force P ; de plus , le point étant entièrement libre , m peut être considéré comme la distance de sa première position à une autre quelconque qu'il pourrait prendre ; et en la supposant infiniment petite, elle sera ce que nous avons appelé la vitesse virtuelle de ce point. Ainsi SPmcosfx est la somme des moments virtuels des forces -, donc , si le point est en équilibre , cette somme est nulle, et réciproquement; ce qu'il fallait démontrer. On peut observer que, dans ce cas, on peut prendre, au lieu de la vitesse virtuelle , une quantité finie quelconque ; et, de plus , que la somme des moments virtuels est rigoureusement nulle , et non pas seulement égale à une quantité infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes.
Dans le cas où le point n'est pas ^n'équilibre, il suffirait, pour qu'il y fût, que Ton introduisît une force égale et opposée à la résultante. Or, la somme des moments serait alors nulle , et , de plus , deux forces égales et opposées , appliquées ^u même point, donnent évidemment des moments virtuels égaux et de signes contraires; donc le moment virtuel de la résultante est égal, en grandeur et en signe, à la somme des moments virtuels des composantes.
Dans cette relation , toutes les forces sont considérées en valeur absolue, et il est nécessaire d'examiner si elle se modifie lorsque les composantes sont susceptibles d'être
affectées d'un signe quelconque, comme lorsqu'il s'agit d'une force P que l'on décompose en trois autres X, Y, Z, parallèles à des axes rectangulaires. Si d'abord on suppose ces trois forces positives , les variations âx , â jr, âz seront en grandeur et en signes les vitesses virtuelles de ces forces respectives , et l'on aura
Si maintenant une quelconque d'entre elles, Y par exemple, est négative, la valeur absolue de la force sera — Y, mais aussi la vitesse virtuelle sera — ây^ et le moment virtuel sera toujours exprimé par Yây ; de sorte que l'équation précédente est générale en considérant de la manière ordinaire les signes des composantes , ainsi que des coordonnées : c'est d'ailleurs ce que Ton trouverait directement en projetant sur la résultante la ligne brisée formée par âx , âj^ âz et la vitesse virtuelle.
Il est bon de remarquer que si les axes étaient obliques , TLâx ne serait pas le moment virtuel de la force X, puisque dx ne serait pas la projection de la vitesse virtuelle du point sur la direction de X; il en serait de même des deux autres composantes , et l'équation précédente ne subsisterait plus.
90. Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe , nous savons qu'il est nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la résultante soit normale à cette surface, et par conséquent que ZPcosfx soit nulle pour toutes les directions situées dans le plan tangent. On aurait donc encore, comme dans le cas précédent ,
2Pm cos f* = o ;
mais on ne pourrait plus regarder m comme la distance de deux positions possibles du point , puisque l'extrémité de la ligne m ne se trouve pas sur la surface.
Mais, si l'on prend sur la surface même un point situé à une distance infiniment petite ds du premier, la direction de la droite qui les joint a pour limite celle d'une tangente quelconque à la surface, et par conséquent 2P cos/x est infiniment petit; donc 2PcJ$ cosf/. est infiniment petit par rapport à ds 5 et par conséquent , dans le sens ordinaire où Ton entend les équations infinitésimales , on a
ZP£$ COSpt = o.
Donc , dans ce nouveau cas d'équilibre , la somme des moments virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements infiniment petits , compatibles avec les conditions de la question ; et réciproquement.
91 . Si le point est assujetti à rester sur une courbe fixe , il est nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la résultante soit normale à la courbe, et, par suite, que la somme des forces estimées dans le sens de la tangente soit égale à zéro. D'où l'on conclut, comme dans le cas précédent, qu'en désignant par ds un arc infiniment petit de la courbe,
on aura
zP#,y cosp =0,
en négligeant les infiniment petits du second ordre. Il est donc nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la somme des moments virtuels des forces soit nulle pour tous les déplacements des points , compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti.
Si le point n'était que posé sur la surface ou sur la courbe, nous avons déjà dit qu'il serait nécessaire, mais non suffisant, que la résultante fût normale. Les conditions que nous venons d'indiquer auraient donc encore lieu , mais ne suffiraient plus.
