Observons encore que , dans le cas d'équilibre d'un

point posé sur une surface , la somme des moments virtuels

ne serait plus nulle pour les déplacements d'un point sui-

vant des droites inclinées au plan tangent , quoique ces déplacements soient compatibles avec les conditions de la question. Elle serait égale au moment delà résultante ; or, celui-ci est négatif, puisque la résultante doit appuyer le point sur la surface. D'où Ton conclut que, dans l'équilibre d'un point posé sur une surface, la somme des moments virtuels des forces est nulle quand le point se déplace sur la surface , et négative pour tous les autres déplacements qu'il peut subir.

93. Cas d'une droite rigide. — Examinons maintenant le cas de forces quelconques appliquées aux extrémités d'une droite inflexible ; nous pourrons nous borner à considérer, à chacun de ces points , la résultante des fprces qui y sont appliquées , puisque son moment virtuel est égal à la somme de ceux de ses composantes. Il faut donc démontrer que, dans le cas d'équilibre , la somme des moments virtuels de ces deux forces est nulle.

i°. Supposons la droite entièrement libre, et soient x, y,z,x', y\ z' les coordonnées de ses extrémités M, M', et / sa longueur, on aura

( x x j + ( r — yy + ( z - z j = /: ;

d'où

(x-a/){Sx-àx')+(y-/)(ty-$y)+)z-z')(8z-$z')=:o 9

ôx, dy, dz, dx f 9 dy\ dz f étant les accroissements infiniment petits des coordonnées des deux extrémités, pour un déplacement virtuel quelconque.

Or, si l'on appelle a , 6 , y les angles formés avec les axes par la direction de la droite MM', on aura

COS a = - — 9 COS 6 = j COS7 =r — - — }

l'équation précédente donne donc

Sx cosa -H à? cos6 -+• dz COS7 == $x' cosa -h Sy cos6 -+- àz' cosy ;

c'est-à-dire que les vitesses virtuelles des extrémités , estimées suivant la direction MM', sont égales. Or , pour qu'il y ait équilibre, les deux forces doivent être égales et dirigées, l'une suivant M' M, l'autre suivant MM'-, donc leurs moments virtuels sont égaux et de signes contraires , et, par conséquent, donnent une somme nulle. Et il en serait de même de la somme des moments virtuels de toutes les forces , puisque cette somme est la même que celle des moments des deux forces qui leur ont été substituées.

2°. Supposons maintenant que les extrémités M , M' soient assujetties à rester sur des surfaces ou des courbes données. Il résultera de là de nouvelles forces qui seront normales à ces courbes ou à ces surfaces, en faisant abstraction du frottement. En joignant ces forces inconnues aux forces données , on pourra considérer la droite MM' comme entièrement libre ; et , s'il y a équilibre , la somme des moments virtuels sera nulle pour des déplacements arbitraires de MM'. Mais, si Von veut que, dans cette somme, il n'entre que les forces données , il sera nécessaire et suffisant que le déplacement de chaque extrémité ait lieu sur la surface ou la courbe correspondante , pour que le moment virtuel de la force normale soit nul. D'où Ton conclut que

Si les forces appliquées aux extrémités d'une droite sont en équilibre, et que ces extrémités soient assujetties à rester sur des surfaces ou des courbes fixes, la somme des moments virtuels de ces forces est nulle pour tous les déplacements de la droite qui sont compatibles avec les conditions auxquelles elle est assujettie.

La réciproque est vraie \ mais , comme elle ne nous est pas nécessaire , nous ne la démontrerons pas ici ; elle se trouvera comprise dans celle qui se rapporte au cas général .

94». Démonstration générale du principe. — Considérons un système de points assujettis à des conditions quelconques exprimées par des équations entre leurs coor-

données, et sollicités par des forces quelconques. Le nombre des équations de condition devra être moindre que celui des coordonnées des points donnés, sans quoi ces points seraient fixes, et l'équilibre aurait lieu sans conditions entre les forces. Nous examinerons d'abord le cas où ces équations seront en nombre moindre d'une unité que celui des coordonnées des points du système. Il suffit alors de se donner la valeur d'une de ces coordonnées, pour que toutes les autres soient déterminées ; tous les points sont donc assujettis à se mouvoir sur des courbes données , et d'une manière déterminée par le mouvement d'un seul. * Quelles que soient les liaisons réelles qui assujettissent ainsi les points donnés M , M', M/', etc. , on peut les remplacer par d'autres quelconques qui permettraient identiquement les mêmes mouvements. Ainsi , on peut supposer les points M et M' liés par deux droites de longueurs constantes MN, M'N, assujetties à se rencontrer sur une surface donnée ; ce qui détermine la courbe que le point N peut décrire sur cette surface. On peut de même lier M', M" par des droites rigides M'N', M /; N', et assujettir le point N' à rester sur une surface donnée ; an liera de même M" à un autre point du système, et ainsi de suite jusqu'à ce que Ton arrive au dernier point. Ces nouveaux points N , JN 7 , N", etc. , ne pourront avoir qu'une position unique pour chacune des positions successives que l'on ferait prendre au système des points donnés; ils ne peuvent donc se mouvoir que sur des courbes complètement déterminées. Actuellement, faisons abstraction des liaisons données pour ne plus considérer que le système des premiers points assujettis à rester sur leurs courbes fixes , et des nouveaux points assujettis à rester sur les leurs, également fixées, et liés aux premières par les droites rigides qui ont été introduites. En vertu de ce nouveau mode de liaison , les points donnés sont assujettis identiquement aux mêmes

mouvements qu'ils pouvaient prendre en vertu des premières liaisons : on peut donc substituer ces nouvelles liaisons aux anciennes sans changer les conditions d'équilibre, et l'on aura à considérer un système de points M, N, M', N 7 , M", N", etc. , liés par des droites rigides et astreints à se mouvoir sur des courbes données, auxquelles on pourra supposer une résistance normale indéfinie.

Soient P, P', P", etc. , les résultantes des forces appliquées respectivement aux points M, M', M", etc. , dont les coordonnées sont x, y, *, x 7 , y 1 z\ x f \y f \ z ,f 9 etc.

Appliquons aux extrémités de MN (fig. 3o) deux forces égales dirigées suivant cette droite dans des sens différents , et donnons-leur une intensité Q et un sens tels, que le point M soit en équilibre par l'action des forces P et Q et la résistance de la courbe donnée. Cela est toujours possible si la droite MN n'est pas perpendiculaire à cette courbe , et c'est une condition qu'on pourra toujours remplir, puisqu'on est maître de choisir, comme on veut , les longueurs MN, M'N. On peut de même admettre que M' N n'est pas normale à la courbe qui contient M', et il s'ensuivra qu'aucune des deux lignes MN, M'N ne sera normale à la courbe que peut décrire le point N : car, si une droite de longueur constante se déplace de manière que ses deux extrémités parcourent des arcs infiniment petits de même ordre, et que l'un de ces arcs soit perpendiculaire à la droite donnée, l'autre le sera de même. Donc, puisque les droites MN , M'N ne sont pas perpendiculaires sur les courbes décrites par M et M', elles ne le seront pas non plus sur la courbe décrite par N. Nous choisirons toutes les autres longueurs de telle manière , qu'aucune des droites rigides qui lient les points entre eux ne soit normale sur les courbes que ses extrémités peuvent décrire.

Appliquons de même, suivant NM', deux forces Q' égales et contraires, et telles, que le point IN soit en équi-

gO COU ES DE MÉCANIQUE.

des moments virtuels correspondants à ce déplacement est nulle.

Réciproquement , si cette somme est nulle pour tout déplacement possible, il y aura équilibre. En effet, si les forces pouvaient mettre le système en mouvement , tous les points se mouvraient sur certaines courbes que Ton pourrait supposer fixes sans altérer en rien ce mouvement 5 et Ton pourrait, de plus, supposer des liaisons qui permettrai eiît sur ees courbes le mouvement qui a lieu, mais de telle sorte que le mouvement d'un seul point entraînerait celui de tous les autres. On rentrerait encore dans le premier cas quant aux liaisons, et la somme des moments virtuels serait nulle sans qu'il y eût équilibre, ce qui est contraire à ce qui a été démontré précédemment.

Donc enfin ,

Quelles que soient les équations qui lient les coordonliées des points qui composent un système, auquel sont appliquées des forces quelconques , il est nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la somme des moments "virtuels de ces forces soit nulle pour tous les déplacements infiniment petits, compatibles avec les liaisons du système.

96. Dans ce qui précède, nous avons supposé que les courbes ne produisaient que des forces normales. Si elles pouvaient détruire des forces dirigées suivant la tangente , au moyen d'un obstacle au mouvement du point dans un sens seulement, l'équilibre pourrait avoir lieu sans que la somme des moments virtuels fût nulle; mais alors elle serait nécessairement négative. En effet, l'obstacle tient lieu d'une force dirigée du côté où le point peut se déplacer. En l'introduisant et supprimant l'obstacle , la somme des moments virtuels sera nulle. Or, si l'on ne considère que le déplacement virtuel compatible avec l'hypothèse de l'obstacle, le moment virtuel de la force introduite sera positif; donc la somme des autres sera négative. Elle serait nulle si l'équi-

PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. gi

libre avait lieu indépendamment de l'obstacle, parce que la force qui le remplacerait serait nulle.

97. Il suit du principe précédent que le moment virtuel de la résultante de forces quelconques est égal à la somme des moments virtuels de ses composantes ; car il y aurait équilibre entre ces dernières si Ton y ajoutait une force égale et opposée à leur résultante. La somme totale des moments virtuels serait donc nulle , et, par conséquent, la somme de ceux qui se rapportent aux composantes serait égale et de signe contraire au moment de la force qui leur fait équilibre, et qui est égale et opposée à la résultante. Cette somme est donc égale au moment de la résultante, puisque deux forces égales et contraires, appliquées à un même point, ont des moments virtuels égaux et de signes contraires.

98. Si Ton remplace chaque force par ses composantes parallèles à trois axes rectangulaires , son moment virtuel sera la somme de ceux de ses composantes. Soient X, Y, Z les composantes d'une force appliquée au point M dont les coordonnées sont x , y , z \ et d x , dy, dz les variations de ces coordonnées dans un déplacement infiniment petit du système. Les moments virtuels des forces X , Y, Z seront , comme nous l'avons démontré, ILâx, Yây^Xdz^ et le moment de leur résultante sera

X'^ + Y^ + Zk

L'équation générale de l'équilibre d'un système quelconque de points sera donc

(i) 1 (TLSx -+- YSjr -h Zdz) = o,

la somme £ s'étendant à toutes les forces du système, et les variations des coordonnées de leurs points d'application pouvant avoir toutes les valeurs compatibles avec les équations qui lient ces coordonnées.