Il est facile de voir comment l'équation (i) peut

donner les conditions de l'équilibre d'un système quelconque.

Soient

L = o, I/=Oj L"=o, etc.,

n équations données entre les coordonnées des m points qui composent le système; les variations de ces coordonnées Satisferont aux équations

dh % dL % dL dh . ,

dh\ dL\ dL' dL\ .

dh\ dL\ dU\ rfL* ,

— -Sx -f- --7- £/ H- -j- £s -h— 7 dx'-t- . . . =: o, ax rf/ az rfx

. Si l'on tire de ces n équations la valeur de n variations et qu'on les reporte dans l'équation (i), elle en renfermera encore S m — w, qui seront entièrement indéterminées. Et comme cette équation doit avoir lieu pour tous les déplacements qui satisfont aux conditions du système , elle sera satisfaite, quelque valeur que l'on donne à ces indéterminées $ ce qui exige que les coefficients de chacune d'elles soient nuls séparément. On aura ainsi 3 m — n équations , nécessaires et suffisantes pour l'équilibre. En les joignant aux n équations données , on aura un nombre d'équations égal au nombre des coordonnées des points du système.

Elles pourront servir à déterminer les positions d'un certain nombre de points d'application , ainsi que les grandeurs et les directions d'un certain nombre des forces , de manière à ce que l'équilibre ait lieu.

Si les variables dont dépend la position du système n'étaient pas les coordonnées des points qui le déterminent, la forme de l'équation (i) changerait. On trouverait toujours les conditions d'équilibre, en réduisant le plus possible le nombre des variations, au moyen des équations de

condition, et égalant à zéro les coefficients de celles qui resteraient dans l'équation , et seraient complètement indéterminées.

100. L'élimination de n variations entre les équations (i) et (2) peut s'effectuer de différentes manières : on pourrait tirer leurs valeurs des n équations (2) et les substituer dans (1), puis égaler à zéro les coefficients des 3 m — n restantes. Mais il vaut mieux multiplier les équations (2) par des facteurs indéterminés X, X', X", etc., puis ajouter à l'équation (1). On égalera ensuite à zéro les coefficients des n variations qu'on voudra éliminer; ce qui déterminera X, X', X", etc., et enfin on égalera à zéro les coefficients des autres variations. On voit donc qu'après avoir ajouté toutes les équations, on devra annuler séparément les coefficients des 3 m variations 5 n de ces équations détermineront X , X', X", etc., et en substituant leurs valeurs dans les autres, on aura les conditions d'équilibre du système.

101 . L'avantage de cette méthode n'est pas d'abréger le calcul, mais de faire connaître les efforts produits par les liaisons , et les forces qui pourraient remplacer les équations qui expriment ces liaisons.

En effet, les 3 m équations auxquelles on parvient, sont

ax ax ax

dy dy dy

„ dL ,,rfL'

dz dz

dL" dz

\ik y— V

dx* ih/ dx'

x +À rf/ + A df + df

Or ces équations seraient les mêmes , si les équations L = o, I/ = o, etc., n'existaient pas , c'est-à-dire si tous les points étaient libres, et qu'on appliquât au point M une force ayant pour composantes

rfL rfL dh .,dh'

a — ? *~r-> A ~7"' A — ; — v # 5 cfcr a/ az dx

au point M' une force ayant pour composantes

*3?' X SP' *^' x *7'" ;

et ainsi de suite pour les autres points.

Quant à la direction de ces forces, en ne considérant d'abord que celles dont les expressions renferment les dérivées de la fonction L , on voit que celle qui est appliquée en M est normale à la surface dont l'équation serait L = o, en ne regardant que a:, y, z comme variables. Celle qui est appliquée en M' est normale à la surface dont l'équation serait L = o , mais dans laquelle #', y', z 1 seraient seules variables , et ainsi de suite pour les autres points.

Ce que nous venons de dire de l'équation L = o peut se dire de toutes les autres 5 et dès qu'on aura déterminé , comme nous l'avons dit, les valeurs de X, X', X", etc., on connaîtra les grandeurs et les directions des forces dont l'ensemble des liaisons tient la place.

102. Mais on peut aller plus loin , et assigner les forces qui pourraient remplacer individuellement chacune des équations qui expriment les liaisons.

Supposons , pour cela , que l'on supprime la condition L = o , en conservant toutes les autres \ nous allons voir que l'équilibre aura encore lieu sur le nouveau système si

l'on applique au point M les trois composantes X — ? X — ?

* dLt . , -. , * dlj * dlu * dLt

A— 5 au point M' les composantes A—, A — , A —f\ et

ainsi de suite pour tous les autres points; et que tous les

termes des équations (3) , provenant des équations L' = o, I/= o, etc., resteront les mêmes dans les équations d'équilibre du nouveau système. En effet, dans ce système, les forces appliquées aux différents points, au lieu d'être, comme dans le premier, X, Y, Z, X', etc., sont

^ .. dh -«. s dh . dh „. . dh

X + I7-» T-f-A— -, Z + A-r-, X'+AtïV»

a j? 07" az , a X

et les équations exprimant les liaisons sont réduites à

JL ^^ O , JL ^= O y • . . .

En traitant cette question comme la précédente, on aura, pour déterminer l'équilibre , les équations suivantes :

v % dh\ , dlJ , dh"

dx 1 dx dx

dh\

dh' dh"

df * dy

az dz

dh\ dz)

v , % £/L\ , dh' , r/L"

Or, X ayant été pris avec la valeur qu'il avait d'après les équations (3), il est clair que toutes les équations (4) sont satisfaites, en prenant pour / t , a s , etc., les valeurs mêmes de a', a", etc. D'où Ton conclut, comme nous l'avons annoncé, que, si l'on supprime du premier système les liaisons qu'exprime l'équation L = o , et qu'on introduise en chaque point trois forces parallèles aux axes et égales au produit de a par les dérivées partielles de la fonction L par rapport aux coordonnées respectives de ces divers points , l'équilibre ne sera pas troublé 5 et l'ensemble des forces qui remplaceraient les liaisons restantes est représenté par l'en-

g6 COURS DE MÉCANIQUE.

semble des termes des équations (3) qui proviennent des fonctions L/, L", etc.

Si , dans le nouveau système , on supprimait encore les liaisons exprimées par une autre équation , on verrait de même qu'il faudrait introduire en chaque point des forces représentées par les termes des équations (3) qui renferment les dérivées partielles de cette équation $ car ces termes sont les mêmes dans les équations (3) et (4)} et ainsi de suite.

On connaît donc ainsi les forces qui pourraient, sans rien déranger dans l'équilibre, remplacer l'une quelconque des "équations de liaison.

Il faut remarquer, toutefois , que l'équation L = o pourrait résulter de liaisons matérielles très-variées , et les efforts produits sur ces liens devront être calculés suivant leur nature. Ce que nous avons déterminé seulement, ce sont les forces qui en résultent sur les points dont les coordonnées sont a:, y, z , x', jr f , etc.

103. Deux systèmes de forces appliquées à des points liés entre eux d'une manière quelconque sont dits équivalents lorsqu'ils pourraient être détruits séparément par les mêmes forces ; et il est clair que la même propriété ne se conserverait pas en général , si la nature des liaisons changeait. Or il résulte du principe des vitesses virtuelles que la somme des moments virtuels de deux systèmes équivalents est la même , puisqu'elle est égale et de signe contraire à une même somme.

Si deux systèmes peuvent être détruks séparément par un troisième , il est évident que tout autre système qui détruirait l'un des deux détruirait l'autre , puisque la somme de leurs moments virtuels serait la même , en vertu de la première condition. Réciproquement, si la somme des moments virtuels de deux systèmes est la même , ils feraient évidemment équilibre aux mêmes systèmes.

PREMlèaE ANNÉE. — STATIQUE. 97

application du principe des vitesses virtuelles à l'équilibre

d'un fil flexible.

104. L'équation que nous allons traiter dépend du calcul des variations , puisque nous devrons considérer tous les points du fil comme se déplaçant infiniment peu, et que l'intégrale qui exprime la somme des moments virtuels de- * vantêtre nulle, elle aura sa dérivée nulle. Il s'agira donc de déterminer la forme de la courbe par la condition que la variation d'une intégrale définie, prise dans toute son étendue, soit nulle en passant de cette courbe à toute autre infiniment voisine *, pourvu que tous ses points n'aient fait que se déplacer, et que les éléments infiniment petits qui la composent aient respectivement conservé leur grandeur* Or, ce problème est du genre de ceux que le calcul des variations a pour objet de résoudre.

Soient Xi/5, Yds, Zds les composantes de la force qui sollicite l'élément ds; le principe des vitesses virtuelles donnera l'équation

,fds(Xèx-hY8y + Z3z) = o,

cette intégrale étant prise dans toute l'étendue du fil , et les variations dx, ày, àz étant telles, que l'élément quelconque ds conserve la même longueur, c'est-à-dire que l'on ait

$ds = o, ou -r-rf&r-t- -j-aoY -f- — dSz = o.

as r ds ds

Cette équation a lieu pour tous les éléments, et Ton a, par conséquent, autant d'équations de condition que d'éléments. D'après la théorie précédente, on doit les multiplier par des coefficients indéterminés , variant de l'une à l'autre, et qui, par conséquent, dépendent de s; de sorte 1. • 7

g8 COURS DE MÉCANIQUE.

qu'on peut les représenter tous par une fonction quelconque de s, que nous désignerons par X • et , ensuite , on doit ajouter tous ces produits à la somme des moments virtuels, puis égaler à zéro les coefficients de toutes les variations. Cette somme sera une intégrale prise entre les mêmes limites que la première , et l'on aura ainsi l'équation d'équilibre :

X, ox t + Y, ày-i + Z.'eTs, + X,tf x 2 + Y,^,-*- Z,**,

x t yiz u XiftZt étant les coordonnées des extrémités, et Xj Yi Z 19 X s Y 8 Z s les composantes des forces qui y sont appliquées*

Mais on a

f\ -^d$x =z\-^-8x — f $xd.\ —5 u ds ds J ds

l'équation précédente devient donc

[M»afr]'*+[*-(>D.]M*-(»î)>

Il faut maintenant égaler à zéro les coefficients des varia-

PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. Qq

tions de tous les points. On devra donc avoir, pour un point quelconque du fil ,

(i) X<fc — d.\^ = o, Yds — d.\^z=zo, Zds—dA^ = o,

ds ds ds

et, pour les points extrêmes,

x 1 +(^i=o, yh-(i£)=o, z ;+(4;)=o.

Les équations (i) sont les mêmes que celles du n° 85 , dans lesquelles T est changé en — X. Éliminant entre elles X, on aura les deux équations de la courbe , et la valeur de X s'ensuivra. Les équations (2) feront connaître les grandeurs et les directions des forces qui doivent être appliquées aux

extrémités.

On peut remarquer que l'équation précédente, fournie par le principe des vitesses virtuelles, serait la même si chaque élément, au lieu d'être lié aux autres , était entièrement libre , pourvu que sa première extrémité fût sollicitée

doc df dz

par les forces X —•> X — 5 X — 5 qui se réduisent à une force

tangente égale à X, dirigée en sens contraire de l'élément, et que la seconde extrémité fût sollicitée par une force tangente égale à X -h rfX, et dirigée suivant le prolongement de l'élément. D'où il résulte que l'indéterminée — X mesure en chaque point la tension du fil , ce qui s'accorde avec ce qui a été dit n° 85.

Remarques sur l'équilibre d'un système quelconque.

105. Lorsque l'expression 2 (X.dx -f- Yây -h- Zâz) sera la variation d'une certaine fonction de a:, y, z^ x\y\

z f , etc., traitées comme variables indépendantes 5 l'équation donnée par le principe des vitesses virtuelles montre que, dans la position d'équilibre , cette fonction est , en général , un maximum ou un minimum par rapport à toutes les valeurs qu'elle peut prendre lorsque le système subit un déplacement infiniment petit quelconque, compatible avec ses liaisons ; le minimum correspond au cas de l'équilibre instable, et le maximum au cas de l'équilibre stable. Mais cette discussion nous écarterait trop de notre objet, et nous nous bornerons à examiner le cas simple d'un système quelconque de points sollicités par des forces parallèles proportionnelles aux masses.

Si Ton prend l'axe des z en sens contraire de la direction de ces forces , on aura

X = o , Y = o, Z = — gdm ,

dm désignant la masse d'un quelconque des éléments. L'expression 2 (X Sx -hY âj-hZdz) devient alors — g*Ldmdz; et l'équation d'équilibre sera

2dm$zz= o, ou dïzdm = o;

donc Hz dm est maximum ou minimum. Mais Hz dm est égal au produit de la masse du système par le z du centre des forces parallèles-, donc ce centre est le plus baut ou le plus bas possible, lorsque le système est en équilibre. Lé premier cas est relatif au minimum de l'intégrale de — gHdmSz ; il correspond à l'équilibre instable, et le second à l'équilibre stable. On en voit un exemple bien simple dans l'équilibre d'un cylindre elliptique posé sur un plan horizontal.

106. neutre propriété de maximum ou de minimum, — Soient P, P', etc., des forces en équilibre sur un système quelconque \ M, M', etc., leurs points d'application. Prenons à partir de ces points, et sur la direction des forces,

des longueurs MN , M' N', etc. , proportionnelles à ces forces, et désignons-les par p, p\ etc., de telle sorte que l'on ait

p=zkV y p'zzzkV,

Le théorème que nous voulons démontrer consiste en ce que la somme.^ , 4-/^ /, +... ou 2/?* sera un maximum ou uu minimum, parmi toutes les valeurs qu'elle peut prendre lorsque, les points N, N', etc., restant fixes, les points M, M', etc., subissent un déplacement virtuel quelconque, compatible avec les liaisons du système.

En effet, soient L [fig* 3i ) une position infiniment voisine que peut prendre le point M; H sa projection sur la direction de la force P; l'angle PML$ faisons ML =/% MH = dp.

Le principe des vitesses virtuelles donne pour tous les déplacements possibles SPcî/? = o; et, par conséquent, en multipliant tous les termes par A .

(1) ïp$p = o, équation qui équivaut à

(2) 8ïp*=zo' 9

d'où il suit que généralement 2p* sera un maximum ou uu minimum pour tous les déplacements infiniment petits des points M, compatibles avec les liaisons du système; car c'est avec cette dernière condition que les dp sont entendus dans l'équation (1).

Pour reconnaître si 2/?* est un maximum ou un minimum, calculons exactement son accroissement. Si nous désignons par p t la valeur NL de p après le déplacement virtuel arbitraire, nous aurons

p]= p 1 — 2/?rcos Ô -f- /*%

d'où

Zp] = 2/? r — 2 2/?r COS ô 4- 2r 2 .

L'accroissement de 2p* est donc

(3) 8lp*=z — 2lprco&B-+- IrK

Or le premier terme de cette expression n v est autre chose que — 2£pd/7, puisque l'on a

r cos B = $p' 9

donc, si Ton avait rigoureusement l'équation (i), d%p* se réduirait à Zr* qui est essentiellement positive, d'où il suivrait que 2/>* serait toujours minimum. Mais nous avons fait remarquer, dans la démonstration du principe des vitesses virtuelles, que Updp n'était pas généralement nul, mais infiniment petit du second ordre; et comme 2 r* est du même ordre, les deux parties de d2p* sont comparables, et l'on ne peut rien dire d'absolu sur. le signe du résultat. Cependant on peut faire quelques remarques importantes à cet égard.

Supposons d'abord que 2PJ/7 soit de même signe pour tous les déplacements virtuels, il faudra distinguer deux cas.

S'il est négatif, les deux termes de l'expression (3) seront positifs, et, par conséquent, 2p 2 sera un minimum, quelle que soit la valeur du rapport A, depuis zéro jusqu'à l'infini.

S'il est positif, la première partie de dUp* sera négative, et comme elle varie proportionnellement à k 7 on pourra donner à ce rapport une valeur assez grande pour que cette première partie l'emporte sur la seconde 2r% quel que soit le déplacement virtuel, et cela aura lieu depuis cette valeur de Ti jusqu'à l'infini : dans toute cette étendue, 2^? 2 sera maximum. Il pourra arriver qu'entre celte limite infé-

PREMIÈRE ANNÉE. — ^ STATIQUE. lo3

Heure de k et une autre valeur plus petite, la première partie de (3) soit tantôt supérieure, tantôt inférieure à la seconde ; entre ces limites , il n'y aura ni maximum ni minimum.

Mais ce qui est très-remarquable , c'est que , dans toiis les cas, et lors même que 2T?dp n'a pas le même signe pour tous les déplacements virtuels, on peut donner au rapport /r, et, par suite, aux longueurs p,p f y etc., des valeurs assez voisines de zéro pour que la première partie de (3) soit incomparablement plus petite que 2r\ Il suffit, en effet, de supposer que/?, p' soient des infiniment petits du premier ordre, parce que la première partie de l'expression (3) deviendra infiniment petite du troisième ordre, et l'autre n'étant que du second, son signe prévaudra. D'où il .résulte que Z/? s sera minimum, puisque son accroissement sera toujours positif. Cette dernière proposition est due à M. Gauss; elle n'est qu'un cas particulier d'un théorème que cet illustre géomètre a donné dans le cas d'un mouvement quelconque. C'est là le cas où le mouvement se réduirait à zéro. On peut dire aussi que ce théorème est renfermé dans la proposition précédente, en vertu du principe de d'Àlembert, dont nous parlerons plus tard.

Mais il faut bien remarquer que ce n'est pas seulement dans le voisinage de k = o que 2p* sera nécessairement un -minimum-, il en sera ainsi depuis cette limite jusqu'à une. certaine valeur finie de /lr, pour laquelle la première partie de (JS/j* cessera d'être inférieure à la seconde pour tous les déplacements virtuels.

On peut observer encore que lorsque, pour une valeur de A, Zp* sera maximum, il suffirait de porter les quantités p dans le sens opposé pour que 2/?* devînt minimum; car alors cos changerait de signe sans changer de valeur, et les deux parties de cîZp* seraient positives. 11 y aurait donc minimum en considérant cette même valeur de k avec

le système des forces égales et contraires aux premières , el qui seront en équilibre en vertu du principe des vitesses virtuelles.