Lorsque la matière qui compose le corps est homo

iofi COURS DE MÉCANIQUE.

gène, les volumes égaux ont des poids égaux. Si la matière de deux corps homogènes est différente , le poids est généralement différent pour des volumes égaux. On appelle poids spécifique d'une substance homogène le poids de l'unité de volume, ou, ce qui est la même chose, le rapport du poids d'un volume quelconque de cette substance à ce volume même. Dans les Tables que Ton a formées, on rapporte ces poids spécifiques à celui de l'eau distillée , prise à la température où sa densité est la plus grande , et qui est d'environ 4 degrés au-dessus de zéro», quant aux autres corps, on les suppose pris à la température zéro. Les moyens employés pour sa formation se rapportent à la physique, et nous ne nous en occuperons pas.

Le poids qu'on a choisi pour terme de comparaison est celui de 1 centimètre cube d'eau distillée , prise au maximum de densité, et considéré à l'Observatoire de Paris; on le nomme gramme. Les nombres renfermés dans la Table des poids spécifiques expriment donc le nombre de grammes que pèse i centimètre cube de ces substances, prises à la température .zéro.

109. Si le corps n'est pas homogène, le poids ne sera plus proportionnel au volume. Pour se faire une idée nette de ce que Ton doit entendre par poids spécifique d'une substance en un point donné , on en considérera une portion infiniment petite , dont ce point fera partie, et l'on prendra le rapport de son poids à son volume; on aura ainsi son poids spécifique moyen •, lorsque ce volume tend vers zéro, le rapport tend vers une limite que l'on appelle le poids spécifique de la substance en ce point. Si la nature de cette substance change d'une manière continue , le poids spécifique sera une fonction continue des coordonnées des différents points; et si cette fonction est donnée, ainsi que la figure du corps, on peut encore se proposer d'en déterminer le centre de gravité. On voit, d'après cette défini-

P REM lia E ANNÉE. STATIQUE. I07

tion , qu'un volume infiniment petit du corps aura un poids qui ne différera que d'une quantité infiniment petite, par rapport à lui-même , du produit de ce volume par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points. Cette quantité pouvant être négligée sans erreur dans les résultats des questions qui ne dépendent que des limites des sommes ou des rapports , il s'ensuit que le poids spécifique tel que nous l'avons défini joue absolument le même rôle dans le cas des corps non homogènes que le poids spécifique défini d'abord dans les corps homogènes ; seulement , il ne faut Tappliquer qu'à des volumes infiniment petits dans tous les sens.

110. Quoique les surfaces et les lignes ne puissent avoir de poids, puisqu'elles ne sont que des limites d'étendue et ne renferment aucune partie matérielle, on les considère néanmoins comme ayant un centre de gravité. On suppose alors qu'elles sont soumises à l'action de forces parallèles , qui , dans le cas de l'homogénéité , donnent des résultantes égales pour des parties équivalentes*, et l'on donne l'intensité de cette force pour l'unité de surface ou de longueur. En partant de cette hypothèse, et considérant toujours les surfaces et les lignes comme on le fait dans la géométrie, il n'y a rien que de clair dans la recherche du centre de ces forces parallèles, qu'on nomme, par analogie, centre de gravité.

Si les résultantes n'étaient pas égales pour des aires équivalentes, on concevrait, pour un point quelconque, une portion infiniment petite renfermant ce point, et on prendrait le rapport de la résultante de cette portion à son aire. La limite de ce rapport sera déterminée , et nous lui donnerons , par analogie , le nom de poids spécifique de la surface en ce point; ce poids spécifique sera une fonction connue des coordonnées des points de la surface , et le centre des forces parallèles, que l'on désignera encore sous le nom de centre de gravité, sera entièrement déterminé.

Les mêmes considérations s'appliquent au cas d'une ligne dans laquelle des arcs égaux ne donneraient pas des résultantes égales.

114. Les corps sont réellement composés de parties trèspetites, séparées les unes des autres; mais il n'y a aucun inconvénient à les supposer formés d'une matière continue ; car cela ne produira d'autre effet que de changer de quantités insensibles les points d'application des forces, et il n'en peut résulter aucune erreur appréciable dans les résultats.

\ 42. Lorsque Ton connaît les poids et les centres de gravité de corps en nombre fini , le théorème des moments donne immédiatement la position du centre de gravité du système. Si Ton désigne par P un quelconque des poids, par a:, y^ z les coordonnées de son centre de gravité, et par x u y x , z x celles du centre de gravité du système, on aura

'•-TF' J, ~TF'' Z| -"zp"

Ces formules subsistent, quel que soit le nombre de corps, et quelque petits qu'ils soient chacun. S'ils diminuent indéfiniment, et que leur système tende vers une certaine limite, les limites des valeurs de a^,^, z t seront les coordonnées du centre de gravité de cette limite; et leurs valeurs ne seront pas altérées , si l'on néglige , dans tous les termes de ces sommes, des quantités infiniment petites par rapport à ces termes mêmes.

Détermination des centres de gravité.

443. Lorsqu'un corps de nature quelconque est infiniment petit dans tous les sens, son* centre de gravité est à une distance infiniment petite d'un quelconque des points

de ce corps $ car, si Ton compose successivement toutes les forces , en partant d'un point quelconque du corps , les points d'application des résultantes successives étant toujours compris entre les deux points d'application des forces que l'on compose, resteront constamment à une distance infiniment petite de tous les points du corps. Cette simple observation permet de ramener au calcul la détermination des centres de gravité des corps, sans aucune recherche préalable. II suffira, pour cela , de les décomposer en éléments infiniment petits dans tous les sens , parce qu'alors on pourra prendre pour centre de gravité de ces éléments un point quelconque de leur surface ou de leur intérieur, ou même en dehors, et à une distance infiniment petite; car on n'altérera qu'infiniment peu les coordonnées du centre de gravité de chacun de ces éléments , et , par conséquent , son moment ne sera en erreur que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. Donc la limite de la somme des moments ne sera pas altérée , et l'on peut établir cette proposition générale :

Le produit du poids d'un corps par la distance de son centre de gravité à un plan quelconque, est égala la limite de la somme des produits des poids de chacun de ses éléments infiniment petits en tous sens, par les distances d'un quelconque des points de ces éléments respectifs , ou d'autres points infiniment voisins, à ce même plan.

Si le corps est homogène , le poids d'une quelconque de ses parties est égal à son volume multiplié par le poids spécifique de la substance ; mais , s'il ne l'est pas , le poids d'un élément sera égal à son volume multiplié par un poids spécifique moyen , qui ne différera que d'une quantité infiniment petite du poids spécifique de la substance en un quelconque des points de cet élément. Ainsi, dans ce cas, on multipliera le volume infiniment petit de l'élément par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points

ou des points infiniment voisins*, et, en substituant ce produit au poids réel de l'élément, il n'en résultera aucune erreur dans la limite de la somme des poids et de leurs moments.

Il est facile de voir comment toutes ces considérations s'appliquent aux surfaces et aux lignes. Nous allons les examiner successivement.

Centres de gravité des lignes.

114. Les équations d'une ligne dans l'espace déterminent deux coordonnées en fonction de la troisième, par exemple y et z en fonction de x. L'expression de l'élément

/ dy' 2 dz 1 de la ligne est dx i/ x + — + -=— t = ds, et son poids pds>

p étant une fonction connue de x, qui exprime le poids spécifique de la ligne au point que l'on considère. En appelant P le poids dont les extrémités correspondent aux abscisses x , X, oh aura

f pdsy Px t = j pxdsy

I pyds y Pz,= I pzds\

d'où l'on tirera P, #i,/t, *i.

P Si la ligne est homogène, p est constant, - est la longueur s de l'arc, et l'on a simplement

s/i = j yds, sz t =s j zds.

Si la ligne est plane , on la supposera dans le plan XY, et il suffira de faire z = o dans les premières ou les secondes formules, suivant que cette ligne* a un poids spécifique variable ou constant. Dans ce dernier cas , elles deviennent

s=± j dx 1/ i -f- — 2 5 sx t = ! xds, sy t == I yds.

Centres de gravité des surfaces.

US. Si l'on conçoit une surface courbe décomposée en éléments infiniment petits dans tous les sens, par deux séries de plans, les uns perpendiculaires à Taxe des x, les autres à l'axe des y , nous avons vu que Ton pouvait prendre, au lieu de l'élément même de la surface , l'expression

dxdy Kl i -f- ( -i-\ -f- ' ( -j- ) ' q ue nous représenterons par

dA. Soit p la fonction de x et j", qui exprime le poids spécifique en un point quelconque de la surface ; le poids de cet élément sera pd A , et ses moments seront pxdA , pydA , pzdA ] on aura donc , en désignant par P le poids de Faire totale que l'on considère ,

ï>=ffpdA 9 Vx^ffpxdA, V Xl =:ffpjrdA y Vz^JJpzdk.

Les limites de ces intégrales sont les mêmes que pour la quadrature des surfaces courbes.

Si la surface est homogène , p est constant et - est l'aire

totale que nous représenterons par A : on aura alors

116. Surfaces de révolution. — Le centre de gravité d'une surface de révolution homogène est évidemment situé sur son axe. Si on le prend pour axe des x, on aura

jr,= o, s, = o,

et il suffira de connaître x t . Si l'on considère la partie de la surface comprise entre les deux «plans correspondants aux valeurs x et X, on aura , en désignant son aire par A , et par y l'ordonnée de la génératrice,

A = 27T I ydxK/ *+-]£■,> Ax, = 27ri yxdxy

dy*

On connaîtra ainsi A et ensuite x it

117. Surfaces planes. — Lorsque la surface est plane, on la rapporte à deux axes situés dans son plan.

Les formules générales s'appliqueront à ce cas en y supposant z = o \ elles deviennent alors

*~ffp dxd X> 9x { =zffpxdxdy, Vy,=ff pydxdy.

On intégrera d'abord par rapport à y entre les deux valeurs y , Y qui sont des fonctions de x données par l'équation de la courbe qui termine la surface. On aura ainsi des fonctions de x qu'on intégrera entre les valeurs extrêmes x , X.

P Si la surface est homogène, p est constant, - est l'aire

A, et l'on aura

A z=ffdxdy, kx x z=ffxdxdy, ky t =ffydxdy, ou

I (Y— y 9 )dx 9 Ax,= i (Y—y )xdx,

*• -Jx 9

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. Il3

il 8. Corps solides. — Décomposons le corps en une infinité de tranches par une série de plans perpendiculaires à l'axe des x \ coupons-le ensuite par une série de plans perpendiculaires à Taxe des y : les parties comprises entre deux plans consécutifs d'une série et deux plans consécutifs de l'autre seront précisément celles que nous avons considérées dans la mesure des volumes en général. Mais, comme nous devons prendre ici des éléments infiniment petits dans tous les sens , nous supposerons une troisième série de plans perpendiculaires à l'axe des z, et le corps se trouvera décomposé en parallélépipèdes rectangles ayant pour arêtes dx 1 dy, dz.

Pour chacun de ces parallélipipèdes dont les coordonnées de deux sommets opposés sont #, y, zetjc-f dx, y -+- dy, z-hdz, on prendra a:, y, z au lieu des coordonnées du centre de gravité , et la fonction p qui exprime le poids spécifique sera rapportée aux mêmes valeurs x,y, z\ nous avons prouvé que la limite de la somme des moments n'en sera pas altérée. De cette manière, le poids et les moments de cet élément par rapport aux plans coordonnés pourront être remplacés respectivement par

pdxdydz, pxdxdydz, pydxdydz, pzdxdydz.

Soient z 07 Z les fonctions de xety qui expriment les ordonnées de la surface inférieure et de la surface supérieure du corps ; on fera d'abord la somme des éléments en supposant que x et y restent constants, et que z passe par toutes les valeurs entre ;„Z; c'est-à-dire qu'on intégrera ces expressions par rapport à z entre les limites z , Z , et l'on obtiendra ainsi des fonctions de x o.k. y seulement, qui exprimeront le poids et les moments de la partie du corps comprise entre quatre plans infiniment voisins , dont deux sont perpendiculaires à l'axe des x et les deux autres à l'axe

I 1 4 COURS DE MÉGANIQUE.

des) . Ces fonctions auront pour expressions

dxdy I pdz 7 xdxdy j pdz,

| pdz,' dxdy i pzdz.

Pour avoir le poids et les moments du volume compris entre les* deux plans perpendiculaires à l'axe des #, il faudra intégrer ces fonctions de x et y par rapport à y en considérant x comme constant, et prenant 'pour limites de y les deux fonctions de x qui expriment les ordonnées de la courbe qui est la projection de la surface sur le plan XY, et que nous avons donné le moyen de déterminer dans le Cours d'Analyse. Désignant par^ et Y ces fonctions connues de X) les sommes relatives à la partie comprise entre les deux plans seront

dx j dy I pdz, xdx 1 dy 1 pdz,

dx l ydy j pdz, dx l dy I pzdz.

Ces quatre expressions ne renferment plus que la variable x, et on les intégrera entre les deux valeurs de x. relatives aux deux plans perpendiculaires à l'axe des x entre lesquels le corps se trouvera compris. Ces valeurs x Q et X sont , en général , celles pour lesquelles les plans tangents au corps sont perpendiculaires à l'axe des x. Dans tous les cas , on saura les déterminer d'après la forme de la surface , et les expressions des sommes seront respectivement

I dx j dy j pdz, I xdx j dy I pdz, * *o Jy* J*» J** Jy* *^ 5 o

/ dx j ydy j pdz, j dx J dy j pzdz.

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. Il5

On pourrait effectuer ces intégrations dans un ordre différent et commencer par la somme des éléments pour lesquels x et z seraient constants, ou encore y et z. On pourra même suivre un ordre différent pour chacune des quatre expressions si l'on y trouve quelque avantage : on obtiendra toujours lés mêmes valeurs définitives, puisqu'elles représenteront le poids du corps et les limites des sommes des moments des mêmes éléments considérés seulement dans un ordre différent. Si nous désignons ces diverses expressions par

fffpdxjydz, fffpxdxdydz, fffpydxdydz, fffpzdxdydz,

en faisant les intégrations comme nous l'avons indiqué, les coordonnées x, y, z seront déterminées , ainsi que le poids P, par les quatre équations suivantes :

p =fffP dxd y dz i Vx^fffpxdxdydz, Vrx=fffpj r dxdydz, Vz i =fffpzdxdydz.

Si le poids spécifique est constant, ces équations deviennent , en représentant par V le volume du corps qui est égal

y V = ffjdxdydz, Vx^fffxdxdydz, Vy* = fffj rdxd r dz > Vz>=fffzdxdydz.

On peut effectuer dans ce cas une des intégrations , par exemple celle par rapport à z \ on aura , en prenant pour limites z et Z,

V =ff(Z-z,)dx'dy 7 yx { = ff{Z-z 9 )xdxdy, Vy^ffiZ-z^ydxdy, ¥», = * JJ(V - z\)dxdy,

les limites relatives à y et x étant les mêmes que précédemment.

Enfin, si l'on pouvait reconnaître immédiatement le

centre de gravité de la partie corn prise. entre deux plans infiniment voisins , perpendiculaires à l'un des axes, par exemple à l'axe des x, on prendrait ces parties pour -les éléments du corps , et il n'y aurait que la seule variable x dans l'expression de leurs moments par rapport à YZ \ une seule intégration donnerait donc le centre de gravité du corps, s'il devait se trouver sur une ligne connue. Nous allons en donner quelques exemples.

119. Solides de révolution. — La substance qui compose le solide de révolution étant supposée homogène, il résulte de la symétrie que le centre de gravité est situé sur Taxe , soit qu'on considère le corps entier, ou une partie comprise entre deux plans perpendiculaires à cet axe. Si , pour plus de simplicité, on le prend pour axe des jc, il suffira de trouver Xi , parce que j'i et z ± seront nuls. On aura , dans ce cas , les deux équations suivantes, dans lesquelles Y et^ désignent les ordonnées des deux courbes qui terminent Taire génératrice située dans le plan XY :

V = ff (Y>-x\)dx, V*, = W f (Y 2 — j\)xdx,

d'où l'on tirera V et a:, .

120. Cylindres. — Si Ton considère un cylindre homogène ayant une base quelconque terminée par un contour polygonal ou curviligne, et qu'on le partage par des plans parallèles aux bases, la somme des moments est nulle par rapport au plan également distant des bases \ le centre de gravité est donc sur ce plan .

Si Fon conçoit ensuite un système de plans infiniment voisins , parallèles entre eux et aux arêtes , le cylindre se trouvera décomposé en parallélipipèdes dont les bases seront les éléments des bases du cylindre, et dont les moments seront proportionnels à ceux de leurs bases, par rapport à tout plan parallèle à leurs faces finies. Donc les

sommes des moments, soit des faces, soit des parai lélipipèdes, seront nulles pour le même plan. Donc tout plan parallèle aux arêtes , et passant par la ligne qui joint les centres de gravité des deux bases, contient le centre de gravité du cylindre. Donc ce point se trouve et sur cette droite, et sur le plan équidistant des bases*, il est doncnu milieu de la droite qui joint les centres de gravité des deux bases.

121. Si le corps était rapporté à des coordonnées polaires, on emploierait le mode de décomposition indiqué dans le Cours d? Analyse $ mais on chercherait encore les coordonnées rectangulaires du centre de gravité. Les équations entre les coordonnées rectangulaires et polaires sont

z = rcos0, y = rsinQsin^, x =. rsînGcos^.

Nous avons vu que l'élément du volume avait pour expression r 2 sin0 dQdtydr. Donc l'élément du poids sera pr* sin0 dû dty dr, et son moment par rapport à chacun des plans s'obtiendra en multipliant cette expression , successivement par x, y y z ou leurs valeurs en 0, ^, r. On aura ainsi

P = fffpr*s\nÔdQd^dr,

Vx l = fjypr*sin 2 QcostydQdtydr y Pj, = fffpr 3 sin 2 G sin ^ d dty dr , P z, = JJJpr 1 sin cos dQ dtydr.

Les limites de ces intégrales sont les mêmes que celles que nous avons indiquées dans la cubature des solides.

Diverses propriétés des centres de gravité.

122. Soit un nombre quelconque de corps ayant respectivement pour poids p,p' ,p" ,ç\ dont les centres de gravité respectifs soient distants du centre de gravite de leur sys-

tème , de quantités p, p', p", . . . ; prenons ce centre pour le »

point de rencontre de trois axes rectangulaires avec lesquels les lignes p, p', p",. . ., font les angles a, 6, y, a', 6', y', . . . . Le théorème des moments donnera, relativement aux trois plans coordonnés ,

(1) 2/?pcosa = o, 2/?pcos6 = o, 2/>pcosy = o.

Donc *7jy aurait équilibre entre des forces appliquées à un point situé à l'origine, c'est-à-dire au centre de gravité du système 9 dirigées suivant les droites p, p', . . . , et proportionnelles aux produits pp, p' p' * La réciproque est évidente.

Si les poids /?, p\ . . . sont égaux, les forces sont proportionnelles aux distances du centre de gravité du système, aux centres de gravité des poids égaux qui le composent.