Si maintenant on ajoute les carrés des premiers

membres des équations (1), on obtient, en désignant par pp f l'angle des deux rayons p et p',

ip 7 f -h 2 2 pp' pp' cos pp' = o .

Mais p* 4- p ft — 2 pp' cos pp / =r 8 , r étant la distance des centres de gravité des corps p, p'] donc

2/?Y -h ïpp'{f 4- p" — r J ) = o.

Tous les termes qui renferment p* ont pour expression 77 p* (p -{- p' -\- p" -{- * . .), et l'on en trouverait de semblables pour p", p"% etc...; de sorte qu'en posant p -\- p' ~\- p" -\~ . . • = P, on aura

P2/?p*= ipp'r*.

Si tous les poids sont égaux et en nombre m, on a

Cette dernière proposition est un cas particulier de la suivante, ou l'on suppose que l'origine des coordonnées

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. lit)

est un point quelconque de l'espace. Le théorème des moments donne alors , en représentant par R la droite menée de l'origine au centre de gravité du système , par a, b, c les angles qu'elle fait avec les axes, par p, p',..., les distances de l'origine aux centres de gravité des poids p, //,. . ., et par a, j3, y, a', |3', y',..., les angles que ces droites forment avec les axes,

PR cos a = 2pp cos a , PR cos b = 2pp cos 6 , PR cos c = 2p p cos 7 ;

d'où , en ajoutant les carrés des membres de ces équations et observant que les seconds membres sont les mêmes que dans le cas précédent ,

P'R' = P 2pp 2 — ïpp'r 2 .

De cette équation on conclut que si la distance R du centre de gravité d'un système à un point fixe quelconque restant constante , ce système invariable de forme se déplace d'une manière quelconque > la somme des produits des poids par les carrés des distances de leurs centres de gravité à ce point fixe sera constante.

En effet , R étant constant ainsi que les distances désignées par r, il en résulte que 2/?p* est constant.

On voit encore que %p p* est le plus petit possible quand R = o, et, par conséquent, le centre de gravité d'un système jouit de cette propriété, que la somme des produits des poids par les carrés des distances de leurs centres de gravité respectifs à ce point est un minimum .

Théorème de Guldin.

12i. Le volume V, engendré par la surface plane comprise entre deux courbes dont les ordonnées sont y , Y, et

deux parallèles à Taxe des y correspondantes aux abscisses Xo y X , a pour expression

Mais l'ordonnée y t du centre de gravité de la surface en question , dont nous désignerons Taire par A , est donnée par l'équation

Ar, = if (y*- ri)**;

donc

et, par conséquent, le volume engendré par une aire plane, tournant autour d'un axe situé dans son plaii, est égal au produit de cette aire par la circonférence décrite par son centre de gravité.

425. La surface A, engendrée par la révolution d r un arc de courbe plane tournant autour d'un axe situé dans son plan , a pour expression

A = 27r I yds..

Mais l'ordonnée y l du centre de gravité He Tare s est donnée par l'équation

donc

et, par conséquent, l'aire engendrée par un arc de courbe plane > tournant autour d'un axe situé dans son plan , est égale à cet arc multiplié par la circonférence décrite par son centre de gravité. Ces deux propositions constituent ce que l'on appelle le théorème de Guldin.

Les aires ou les volumes décrits dans une partie quelconque de la révolution étant proportionnels à l'angle dont la figure a tourné, il s'ensuit que, pour eu avoir la mesure, il faudra prendre Tare décrit par le centre de gravité au lieu delà circonférence entière.

126. Si une surface plane tourne successivement autour de plusieurs axes , le volume engendré s'obtiendra en multipliant son aire par la somme des arcs parcourus par son centre de gravité. Cette proposition, étant indépendante de la distance des axes , a lieu encore quand ils se succèdent à des distances infiniment petites, pourvu qu'ils soient toujours dans le plan de la surface mobile ; et , dans ce cas , deux axes consécutifs peuvent être parallèles ou se rencontrer.

Par exemple, si l'on suppose une courbe plane, et que la surface génératrice se meuve de manière que son plan soit toujours normal à cette courbe et soit toujours percé par elle au même point, et que tous les points n'aient que des mouvements parallèles au plan de la courbe directrice, on peut regarder un pareil mouvement comme produit par le développement du plan de l'aire génératrice qui serait enroulé sur le cylindre qui aurait pour base la développée de la directrice : il est la limite du mouvement qui aurait lieu autour d'axes perpendiculaires au plan de la directrice et qui tendraient indéfiniment vers les arêtes du cylindre en question.

Si, pour plus de généralité, on considère une courbe à double courbure décrite par un point constant du plan de la surface génératrice, auquel elle soit encore constamment normale, et que l'on prenne pour axes successifs les perpendiculaires aux plans osculateurs menées par les centres de courbure de la directrice, on pourra encore appliquer la même proposition-, car, quoique ces axes successifs ne se coupent réellement pas , on peut, en ne considérant que les limites, négliger l'erreur qui en résulterait, parce que

leur distance est une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier.

On peut se représenter ce mouvement en supposant que le plan de la surface génératrice soit enroulé sur la surface polaire de la directrice , qui est le lieu des axes autour desquels s'exécutent les mouvements successifs. Si Ton déroule ensuite ce plan sans glissement, il sera constamment normal à la directrice , et sera toujours rencontré par elle au riiême point. Par cette suite de rotations infiniment petites , la surface donnée engendrera un volume égal au produit de son aire par la courbe décrite par son centre de gravité. Pour que ce théorème ne subisse aucune modification, il faut supposer que la surface génératrice ne vienne jamais couper les axes de rotation successifs.

Volume du cylindre tronqué.

127. Le volume d'un cylindre tronqué dont la base est sur le plan XY et les arêtes perpendiculaires à ce plan est exprimé par V =ffzdxdy 9 z étant l'ordonnée du plan, et les limites des intégrales étant déterminées par le contour de la base qui peut être composé de lignes droites ou courbes. Mais si l'on appelle <j> l'angle des plans des deux bases, les

éléments de l'aire de la base supérieure sont — ; cette

* . cosy

aire totale sera ? en désignant par A la base inférieure,

cos<p D r

et l'ordonnée du centre de gravité de la base supérieure

sera donnée par l'équation

C CzdxdY CC , ,

= i i , on Xz t = f I zaxdy.

JJ ™ s ? JJ

COS Cp

Donc V = Az t . Le volume est donc égal à sa base multi-

pliée par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la base supérieure sur le plan de la base inférieure.

Remarquons maintenant que les centres de gravité des deux bases sont sur une même parallèle aux arêtes. Car, si Ton prend les moments des éléments correspondants dxdyet

dx cLy

— par rapport à un même plan quelconque parallèle aux

arêtes, ils seront dans le rapport de cosip : i; donc ils seront nuls en même temps, et par conséquent tout plan, parallèle aux arêtes, qui passe par le centre de gravité "d'une des bases passe par le centre de gravité de l'autre. Ces deux centres sont donc sur une même parallèle aux arêtes. Ainsi, les centres de gravité de toutes les sections planes que l'on peut faire dans un cylindre indéfini sont sur une même droite parallèle aux arêtes \ et , par conséquent , toutes les sections du cylindre , menées par un même point de cette droite, ont ce point même pour centre commun de gravité.

Si l'on suppose maintenant un cylindre tronqué dont les arêtes soient obliques sur les deux bases , on peut le regarder comme la différence de deux autres qui auraient pour base la section orthogonale ; la différence des perpendiculaires», abaissées des centres de gravité des deux bases sur le plan de cette section sera la droite qui joindra ces deux points. D'où résulte ce théorème :

Le volume d'un cylindre tronqué quelconque est égal au produit de la section orthogonale par la droite qui joint les centres de gravité de ses deux bases.

On peut encore énoncer cette proposition d'une autre manière, en observant que le rapport de la section orthogonale à Tune des bases est le cosinus de l'angle de leurs plans ou le sinus de l'angle des arêtes avec cette base, et que , par conséquent , il est égal au rapport de la perpendiculaire à cette base, abaissée du centre de gravité de l'autre,

1^4 COUtVS DE MECANIQUE.

à la droite qui joint les deux centres. On aura ainsi cet autre énoncé :

Le volume d'un cylindre tronqué est égal au produit d'une des bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de Vautre sur le plan de la première.

Application des formules précédentes.

128. Arc de cercle. — Soient R [fig. 32) le rayon AB de l'arc MN, B le milieu de cet arc $ posons

La symétrie de Tare par rapport à Taxe des x montre que son centre de gravité est sur cet axe ; on a donc y l = o -, et x t sera donne par l'équation suivante :

tx { z=fxdsz=Wfds cos^= R 2 sin ^ + C = Rc.

Ainsi on a la proportion

* • C . , MX # JC\ m

129. Arcdecycloïde. — L'équation différentielle de la cycloïde rapportée à son sommet est

5fe = 4 / ^

dx y ia — r '

et donne

ds = s[tm . — •

On aura donc, en faisant commencer l'arc au sommet,

s^=2\/2ay y

.vr, =fy ds = sjTaJy* dy = ^ /,

PREMIÈRE ANNÉE. — r STATIQUE. 1 7.5

. — Çxdy ■ — j. !

sxi — s/zaj -7= = 2V2a(.rj ï — fy'dx)

= 2 sJna{xY 2 — fdy ^2û-r)

et comme s.^ doit être nul , pour y = o , on aura d'où