MI MO V MO

. v . i MI MI da ~ ., . .

et 1 on peut remplacer ^— r par — - ou — Donc 1 action de A x MO * 10 a

la couche aura pour expression

f * « da

P étant la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en M.

Les composantes de cette action , parallèlement aux axes positifs des x , y, z , s'obtiendront en la multipliant par les cosinus des angles que forme avec ces axes la direction intérieure de la normale. Désignant par a , b , c les demi-axes de l'ellipsoïde, et par x, y, z les coordonnées de M, ces cosinus ont pour valeurs

— P* — Vf —Vz

~d r "> "IF"' ~~F"

Les trois composantes auront donc respectivement pour

]86 COURS DE MÉGANIQUE.

et , en vertu des équations ( i) ,

V = a v^~ 2 + V , c' = a <Ju-> + V 2 , a B C

l'équation (a) donnera

Ainsi a et, par suite, a', &', c' dépendent de u.

Il reste à exprimer P'* en fonction de u , et les composantes élémentaires r/X, <iY, */Z seront ramenées à cette seule variable.

Or, on a

a' 4 £' 4 c' K (a-»-hV) 2 ( a -*+y 2 )'

Diiférentiant l'équation (3) , pour exprimer da au moyen de du, et ayant égard à la valeur de P", on trouvera

d'où

V'*da = a'>du,

bc du dZ^—fapfy^ydu.

Remplaçant b , c , a', &', c' par leurs valeurs cnaet«,a

disparaît, et il vient, en introduisant la niasse M = ^ np ABC,

dTX = —

u 7 ciu

(1 -HV«»)»(i4-V»o>) , > 3 M/6 «'<*«

3 M/7 a*dfw

dZ= —

Si l'on intègre ces valeurs depuis u= o jusqu'à w = 77 >

A' étant le demi-axe des x de l'ellipsoïde homofocal passant par le point donné, on aufa les composantes de l'attraction totale ; leurs expressions seront

/A' u'du

/A' K»<fa (1 +*'«■)*(! +

/A' tf »<fo (i + a»«»)*(i-

A 7 étant donné par l'équation suivante :

cette équation ne peut donner qu'une seule valeur positive pour A /l . Les deux valeurs négatives se rapportent aux hyperboloïdes homofocaux .

l88 COURS DE MÉCANIQUE.

Si le point fxse trouve à la surface même de l'ellipsoïde, on a À , = A, et la seconde limite des intégrales est i : ce qui donne pour les composantes de Faction sur un point de la surface de l'ellipsoïde ,

3M/a /»' tfdu

e /»' u>dt

J o .(i+V«»)Mi

(i -|- A'a'^H-y'tt')*

3M/ 7 Z» 1 w'rfa

Si le point est intérieur à l'ellipsoïde , on ne devra considérer que l'action d'un ellipsoïde semblable passant par ce point. Mais le rapport de sa masse au cube de son demi-axe des x sera le même que pour l'ellipsoïde proposé 5 on pourra

donc laisser -— dans les formules (6) qui représenteront encore les composantes cherchées.

On reconnaît alors cette propriété remarquable, que chaque composante de l'attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur ne dépend que de la coordonnée parallèle , et lui est proportionnelle.

On peut remarquer que les formules ( 5 ) peuvent se déduire de la seule intégrale qui entre dans la première. Soit y en effet,

. lûdu

PEEHIÈEE ASWÉE. STATIQUE. 189

on trouvera , en diiTérentiant LA par rapport à A ,

(H-lV^i + lV) 1

et , différentiant A'L par rapport à A',

dV ~ ■ ' 3 '

ce qui changera les équations (5) dans les suivantes :