a cosô = C, et, par suite
v COS a gs
a cos P
ou
Tt ax pcos a = a cos v.e =-^-•
de -
La valeur- de v tirée de cette équation, et reportée dans 1 e-
quation (a), donne
^ ; cos'a a'cos'Q
Cette équation ne renfermant que et et s, est celle de la trajectoire. Si pour l'intégrer on pose
tanga=/>, elle devient
(5) d P JT+J*z=-- , * g*'<fr, d'où Ton tire
(6) Wi+/>' + l.(/> + V^+/>0 = -^^** f +?>
y étant une constante arbitraire que Ton déterminera eu faisant s = o , p = tang -, ce qui donne
7 = tang ^i ■+■ tang 3 ô 4- 1. (tang 4- ^i + tang* ô)
a 3 cos a &'
mais, pour plus de simplicité, nous conserverons y dans les formules.
Cette équation fait connaître s quand p est donné $ mais elle est peu commode pour la construction de la courbe , et nous allons introduire a: et y au lieu de s. Or oh a
et l'équation (5) donne, par suite,
a 2 cos 2 fi -ir, ax = — - e * dp.
S Si l'on élimine l'exponentielle au moyen de l'équation (6) i
il vient
, , , * 2 dp
(7) dX=Z — - ^ ,
et comme cfp = pcte , on aura
(8) rfr = - "*
Si Ton intègre par approximation les seconds membres de ces deux équations, on aura x et y pour chaque valeur de p -, ce qui donnera autant de points que Ton voudra de la trajectoire.
Pour savoir à quel instant le mobile passera par un quelconque de ces points , il faut connaître t en fonction de p.
Or la seconde équation ( 3 ) donne
dsdot.
de
g COS a
ou, en remettant la valeur de ds tirée de l'équation (4), et observant que dt et da sont de signes contraires,
gs gs
a cos ~~ A* da. a cos — iï ,
dt = r— e -— = e K dp,
g cos 2 a g
Donc enfin , en éliminant l'exponentielle au moyen de l'équation (6) ,
Ainsi le problème est ramené à intégrer par approximation des fonctions données d'une seule variable.
La vitesse du mobile peut s'exprimer exactement en
fonction de p. Si Ton ajoute les valeurs de dx* et *fy% puis qu'on les divise par celle de dt*, on aura
(io) P a =
y— p\li-ir p 1 — !•(/?-+- V' 1 -+-/ ?a )
Le sommet de la courbe s'obtiendra en faisant p = o ; mais la courbe ne sera plus symétrique par rapport à la verticale menée par ce point. On aura l'amplitude du jet en faisant y = o *, elle sera moindre que dans le cas précédent, et son maximum, relativement à 0, correspondra à un angle plus petit que 45 degrés.
295. La branche descendante de la trajectoire est indéfinie et a une asymptote verticale , comme nous allons le démontrer.
On peut d'abord conclure de l'équation (9) que p augmente indéfiniment. Car le dénominateur du second membre est composé de termes positifs, puisque p est négatif; il ne devient donc nul pour aucune valeur de p, et l'intégrale ne pourrait croître indéfiniment si p était limité -, d'où il résulterait que le temps aurait une limite, ce qui est ab- . surde. Ainsi , la tangente à la trajectoire tend indéfiniment à devenir verticale.
Si maintenant on pose p = — q pour expliciter le signe, et qu'on suppose que q soit déjà devenu très-grand, on
pourra remplacer ^i-\- q* par <jr, et négliger y et \.p par rapport à y, ce qui donnera
X' dq A* dq
dx= \, djr— '-',
intégrant à partir d'un point ayant pour coordonnées x ly ji, il vient
# — *. = — ( )> jr t -?jrz= — 1. ^-,
PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. 35o,
(ji désignant la valeur de q au point dont les coordonnées sont x t , y x%
La seconde de ces équations montre que la valeur négative dey augmente sans limite , et que, par conséquent, le point descend indéfiniment. La première apprend que x a
pour limite a^ H 5 et que, par conséquent, la courbe a
pour asymptote la verticale correspondante à cette valeur de x.
Mais comme on a négligé certains termes, cette limite n'est pas précisément l'abscisse de l'asymptote; et, pour l'avoir, il faudrait intégrer la valeur de dx jusqu'à p = 00 „
Quant à la valeur finale de la vitesse, l'équation (10), dans laquelle rien n'a été négligé, donne fc* pour limite du second membre, à mesure que p augmente. La vitesse du mobile tend donc indéfiniment vers celle qui rendrait la résistance égale à son poids, et le mouvement s'approche de plus en plus de l'uniformité.
296. Examinons maintenant le cas où l'angle de projection est très-petit. Le point ne s'élève alors qu'à une trèspetite hauteur au-dessus de l'axe des x, et la tangente étant très-peu inclinée sur cet axe, on pourra négliger p% et l'on aura ainsi
ds = dx , et s = x.
L'équation (5) se réduit à
^ = — g e % F j dx à 1 cos*
d'où l'on tire
O.SX
r 2/1'cos'O
et comme on doit avoir en même temps x = o, p = tang 9
36o COURS DE MÉCANIQUE.
il en résulte
C = tango H ; — ,
° ia 2 cos 2
et, par suite,
dy X 2 ( T?
p = -~ =r tang ô \ e — i
^ dx b 2 a 2 cos 2 ô v
Intégrant et observant qu'on doit avoir à la fois x = o, y = o, il vient
y = x ( tang -+-
a 1 cos 2 6/ 4^ flicosiô
L'équation
-— = a cos ô . tf dt
donne , en remplaçant s par x ,
<fr == -, dou t = V^ — i/.
a cos Q ga cos
Si Ton connaît des points par lesquels passe le mobile , par exemple celui où il rencontre le sol , il en résultera , entre les constantes, des équations qui pourront servir à les déterminer.
297. Du mouvement produit par une force dont les composantes parallèles aux axes sont les dérivées partielles d'une même fonction de x, y, z, — Si Ton désigne par X, Y, Z les composantes de la force motrice qui sollicite un point matériel dont la masse est l'unité, les équations générales de son mouvement seront
rfa *__ v d *y — v < / ' z __ v a» » A ' "3F ' ~dr~~
Si l'on ajoute ces équations, après avoir multiplié la première par 2 y- ? la seconde par 2 ~- , et la troisième par
dt r dt
dz* ., .
2 —> îJ vient
dt .
dx d 2 x dy d 2 v
dt dt 2 dt dt'
dz d 2 z\ dtUt 2 )
^ dr „dz
dt dt
et, en observant que l'équation
dx
donne
dx d 1 x dy d 2 y dz d 2 z d.u 2
dt dt 2 dt dt 2 dt dt 2 dt
on aura
Et comme X, Y, Z sont les dérivées partielles d'une même fonction F (x, y, -z), on aura
^dx dy dz d¥(x,y, z)
dt dt dt dt
et l'équation précédente , intégrée entre deux limites quelconques, donnera
a , 6, c , A désignant les coordonnées du point et sa vitesse à la première limite.
On voit donc que, dans le cas où Xdx -f- Ydy -{-Zdz est la différentielle d'une certaine fonction de .r, y, z considérées comme variables indépendantes, si un point maté-
riel est soumis à l'action de forces dont les composantes totales parallèles aux axes soient X, Y, Z, l 'accroissement du carré de sa vitesse , en passant d'un point à un autre quelconque , pourra s'exprimer au moyen des coordonnées de ces deux points, quelles que soient la direction et la grandeur de sa vitesse au premier point, quelque temps qu'il mette j>our parvenir au second, et quelque ligne qu'il décrive entre les deux.
On peut dire plus généralement, d'après l'équation (2), que si le mobile part d'un point quelconque de la surface dont l'équation serait F (.r , yî z) = C avec une vitesse connue k dans une direction arbitraire } lorsqu'il arrivera en un point de la surface ayant pour équation F (x^y, z) = C, sa vitesse v peut être déterminée de grandeur d'après ces seules données, et indépendamment du temps employé, de la ligne décrite, et du nombre de fois que ce point traverse successivement la seconde surface.
L'équation générale de ces surfaces remarquables étant F (x^y, z) = C, C désignant une constante arbitraire, elles auront la même équation différentielle
Xdx -+- Hdy -f- Zdz = o.
Cette équation exprime que les deux directions dont les angles avec les axes ont des cosinus proportionnels respectivement à X, Y, Z, et dx, dy, dz, sont perpendiculaires l'une sur l'autre. D'où l'on conclut que la force dont les composantes sont X , Y, Z est normale à celle de ces surfaces qui passe par le point que Ton considère.
Ainsi les surfaces qui jouissent de la propriété que nous avons démontrée, sont perpendiculaires à la force qui solliciterait le mobile placé en un quelconque de leurs points; de sorte que, si elles étaient résistantes, ce mobile serait en équilibre, en quelque point de ces surfaces qu'il fût posé.
On leur donne le nom de surfaces de niveau.
Si la fonction F (x>>y, z) ne peut se réduire à -J pour des valeurs réelles et finies de x, y, z, deux surfaces de niveau ne pourront évidemment avoir aucun point commun. Dans le cas contraire, comme on peut le voir dans un Mémoire de M* Bertrand, le point matériel n'aura pas toujours la même vitesse en revenant à une même surface de niveau; il faudra, pour cela, qu'il ait traversé un nombre pair de fois chacune des surfaces de niveau par lesquelles il passera avant de revenir sur celle d'où il était parti.
298. Si la résultante des forces qui sollicitent le point était constamment normale à la ligne qu'il décrit , on aurait
Xrfj? + Yrfr + Zrfs = o;
la fonction F se réduirait donc à une constante , et le second membre de l'équation (i) serait nul; d'où il résulte que l'on aurait
Ainsi , comme nous l'avions déjà vu , la vitesse d'un point est constante lorsque la force qui agit sur lui est, à chaque instant , normale à la direction de son mouvement.
D'où il résulte qu'un point qui se meut , sans frottement, sur une courbe ou une surface fixe, et qui n'est sollicité par aucune force extérieure, conserve constamment la même vitesse.
Si la résultante est normale à la trajectoire , en quelques points seulement , on a , en ces points ,
Xrfx + Yrf/ + Zcb=:o, ou d.v J z=zo.
Donc, en général, la vitesse du mobile y sera maximum ou minimum.
299. Si , outre les forces normales à la trajectoire , il en existe d'autres dans des directions quelconques , les premières disparaîtront toujours du second membre de Péqua-
tion (i), et si les autres sont telles, que leurs composantes totales X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une fonction des variables a:, y, z, considérées comme indépendantes, on parviendra de même à l'équation (2).
Ainsi , la proposition précédente a lieu pour un point assujetti a se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe , et sollicité en outre par des forces telles, que
Xdx + Ydy + Zciz
soit une différentielle exacte par rapport à x y y, z , ce qui n'aurait pas lieu s'il y avait un frottement ou la résistance d'un milieu \ car ces forces ne seraient même pas des fonctions données de x , y , z .
300. L'expression Hdx -\-Ydy -t-Zdz est une différentielle exacte toutes les fois que les forces qui agissent sur le point sont dirigées vers des centres fixes , et que leurs intensités ne dépendent que de la distance du point à ces divers centres.
En effet, soient a,b, c les coordonnées constantes de Tun quelconque de ces centres-, »r, y, z les coordonnées variables du mobile , r leur distance, et R une fonction de r qui exprime la force qui agit sur le point donné suivant la droite qui le joint au centre que l'on considère. Les composantes de cette force seront
si elle est attractive : il suffirait de les changer de signe si la force était répulsive \ ce que l'on pourrait effectuer en changeant seulement R de signe. Les termes qui proviendront de cette force dans l'expression Xdx -f- Ydy •+■ Zdz seront donc , dans le premier cas ,
R H* ~ x ) dx -+- [b—y)dy -h (c-z)dz l
Or on a
(«—*)* + ($ x y + (c — zy = r\
d'où
(a — x) dx -h (b — y) dy + (c — z) dz = — w/r,
ce qui réduit l'expression précédente à — R J/\ Elle devrait être changée en -h Rdr dans le cas d'une force répulsive.
Si l'on fait le même calcul pour les forces R', R", etc. , relatives aux autres centres fixes , on trouvera
Xdx + Ydr + Zdz=:Zf:Rdrzç:K'dr'zç:R , 'dr , '+...,
ce qui est une différentielle exacte relativement aux variables indépendantes x, y, z, puisque R est une fonction de r, R' de /*', etc.
On aura donc
(•>» — *')=+ f Kdrzp C R'rfr'rp..,
;*o, r' % , etc., étant les valeurs de r, r', etc. , correspondantes à la première position. D'où l'on voit que l'accroissement du carré de la vitesse est égal à la somme des accroissements qui auraient lieu si chacune des forces agissait seule sur le mobile , pendant qu'il passe de l'une des positions à l'autre.
301 . Si le point était sollicité par une force constamment perpendiculaire à un plan fixe, et dépendant uniquement de la distance à ce plan , les mêmes conséquences auraient lieu parce que ce n'est, à proprement parler, que le cas particulier où l'un des centres se serait transporté à l'infini dans une direction déterminée. Mais il est bon de faire directement le calcul qui s'y rapporte.
L'équation d'un plan quelconque peut se mettre sous la
forme
x cos a -f- y cos S -f- z cos 7 — p = o ,
a, 6, y étant les angles formés avec les axes par la direction de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan, et p la longueur de cette perpendiculaire. Soit u la perpendiculaire abaissée sur ce plan , du point dont les coordonnées sont x y y, z y on aura
u =r x cos a -+- y cos 6 -h z cos 7 — p.
Les composantes de la force U qui agit sur ce point seront Ucosa, Ucosê, UC0S7, ou — Ucosa, — Ucos€, — UCOS7.
Les termes que cette force introduira dans l'expression Xdx H- Ydy 4- Ztdz seront, dans le premier cas ,
U (dx cos a + rf/ cos 6 -f- dz cos 7) , ou Udu j
et, dans le second, — Udu : ils forment donc toujours une différentielle exacte d'une fonction de x , y, z, puisque U n'est fonction que de u seulement.
Si la force était toujours dirigée vers le plan , elle changerait de sens lorsque le point changerait de "côté par rapport à ce plan ; les cosinus de oc , 6 , y changeraient alors de signes, et il faudrait y avoir égard. Il faut encore observer que la valeur de u est positive quand le point n'est pas du même côté que l'origine, et négative quand il est du même côté , de sorte que les accroissements de u sont toujours positifs dans le même sens.
Quand il s'agira de la pesanteur, et que les espaces parcourus seront très -petits par rapport au rayon de la terre, la force peut être considérée comme perpendiculaire à un plan horizontal 5 mais elle est constante de grandeur et de direction, de quelque côté que soit situé le point par rapport à ce plan. En le prenant pour plan des x et y, et pre-
PBEMIEBE ANNÉE. — STATIQUE. 367
nant Taxe des z en sens contraire de la pesanteur, on a
X = o, Y = , Z = — gm.
L'équation (i) devient
d.v 7 dz
dt ° dt
d'où
en désignant par h la hauteur de z correspondante à la vitesse h. Les surfaces, dont l'équation générale était F(x,y, z)=o, sont ici des plans horizontaux, et Ton voit qu'un point matériel libre, ou assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe, et qui part d'un point quelconque d'un plan horizontal donné, avec une certaine vitesse , parviendra à un plan horizontal quelconque avec une vitesse qui ne dépendra nullement de la courbe qu'il aura suivie pour y arriver, mais seulement de la distance de son point de départ à ce plan.
