C-r-f-C'jr + C"* = o
Le point ne sort donc pas d'un plan passant par l'origine,
346 COU aS DE MÉCANIQUE,
comme on pouvait le reconnaître à priori, en observant qu'aucune cause ne tend à faire sortir le point du plan mené par le centre d'action et la direction de la vitesse initiale.
Pour interpréter les équations (2) , soient r la projection du rayon vecteur mené de l'origine au point mobile, sur le plan XY, et l'angle qu'elle forme avec l'axe des x. Nous supposerons que les angles croissent de l'axe des x positifs vers l'axe des y positifs, de sorte qu'en se plaçant dans l'axe des z positifs, on voit s'exécuter de gauche à droite le mouvement du rayon qui décrirait les angles croissants. Nous regarderons les aires décrites par un rayon vecteur comme croissant dans ce même sens ; et il en sera de même pour chacun des autres axes, relativement aux deux autres plans.
Cela posé , on aura l'équation générale
dB dy dx
J j» * *" dt^^dt
tang ô = - 1 d ou = ,
b x cos'ô x\ )
et, par conséquent,
dy dx dB d\"
x ~f- — r -7- =-r 2 — = 2 —7-5 dt J dt de dt
en désignant par W l'aire décrite par la projection r du rayon vecteur du mobile.
Si l'on désigne de même par X' et X les aires décrites par les projections de ce rayon vecteur sur les plans ZX et ZY, les équations ( 2 ) donneront
d±C <A'C^ d\" C\ dt 2 dt 2 dt 2
d'où
• \ = {Ct, >'=rjC'f, r=r i C"f ,
en supposant que les aires commencent avec le temps t.
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. S/fl
Ces équations montrent que les aires décrites, à partir de cet instant, par les projections du rayon vecteur du mobile, croissent proportionnellement au temps. Et comme le mouvement du point s'effectue dans un plan , il s'ensuit que les aires décrites par le rayon vecteur du mobile dans ce plan, sont aussi proportionnelles au temps. La valeur de ces aires peut s'exprimer facilement en observant que toute aire plane est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires. On aura donc , pour l'expression de ces aires ,
Réciproquement, si les aires décrites par les projections du rayon vecteur sont proportionnelles au temps , la direction de la force qui sollicite le mobile, passe constamment par l'origine. Car alors les équations (3) auront lieu, et, par suite, les équations (2) qui, diflerentiées, donneront les équations (1) ; or ces équations expriment que les cosinus des angles que fait avec les axes la direction de la force , et ceux qui se rapportent à la droite menée de l'origine au point (x, y, z) sont proportionnels, et que, par conséquent, ces deux droites se confondent.
C'est dans ces deux propositions réciproques que consiste le principe des aires pour un point matériel.
288. Si le point était sollicité par des forces dirigées vers deux centres fixes, les équations (1) ne seraient plus satisfaites; mais la première aurait encore lieu en prenant pour axe des z la droite qui passe par les deux centres. En effet, la résultante des forces auxquelles le point est soumis, coupant constamment l'axe des s, ses composantes parallèles aux axes des x et des y sont proportionnelles à ces deux coordonnées; d'où résulte l'équation
~dt T ~~ jr ~dt'
6qO COURS lit MEtSMyUE.
et, par conséquent, le principe des aires a lien, dans ce cas, pour tout plan perpendiculaire à la droite qui passe par les deux centres, le centre des aires étant pris surcette droite.
Il est évident qu'il en serait de même si , au lieu de deux centres, on en avait un nombre quelconque situé sur une même droite.
289. Mouvement produit par une force perpendiculaire au rayon vecteur. — Considérons encore le cas où la force serait perpendiculaire à une ligne passant par un point fixe. C'est ce qui aura lieu par exemple pour un point assujetti à rester sur une droite qui tourne suivant une loi quelconque autour d'un de ses points et dont la pression normale est la seule force qui sollicite le point.
La condition donnée sera alors exprimée par l'équation
nous aurons, par la différenciation, a\e dy dt
Différentiant de nouveau, il vient
équation qui, en vertu de la première, se réduit à
Nommant w l'angle décrit dans l'espace par le rayon vecteur, on sait qu'on aura
ds 7 = dr 2 -+- r 7 d<*\
Reportant cette valeur de ds* dans l'équation précédente, elle devient
d> r /dv^*
dp \dt
Cette équation a lieu quelle que soit la directrice de la surface conique décrite par le rayon vecteur.
Si l'on donnait la loi du mouvement angulaire du rayon vecteur par une équation entre w et t , il serait possible , en combinant cette équation avec la précédente, de déterminer à chaque instant la grandeur du rayon vecteur et l'angle qu'il a décrit. Cette grandeur du rayon vecteur ne dépendant pas de la nature de la surface conique décrite, il s'ensuit que si l'on développe celle-ci sur un plan , la courbe décrite par le point mobile sera la même après le développement , quelle que soit la directrice du cône , et sera, par conséquent , la courbe même que l'on aurait obtenue en faisant mouvoir le rayon vecteur dans un plan, en observant la même loi entre w et t.
Mouvement curviligne des projectiles pesants.
290. Nous allons appliquer, comme dernier exemple, les équations générales du mouvement d'un point libre au cas des projectiles pesants lancés dans le vide ou dans un milieu résistant.
Considérons d'abord un point matériel pesant qui parle d'un point A (fig. 63) avec la vitesse a dans une direction AB. Prenons pour axe des y la verticale menée par le point A et en sens contraiie de la pesanteur, et pour axe
35o c:OUBS DE MÉCANIQUE.
des x une perpendiculaire à cette droite dans le plan vertical qui contient la direction AB. Le mobile ne sortira pas de ce plan , et sa position sera déterminée par les deux coordonnées x, y. Les équations générales de ce mouvement
on en déduit
S = c > 3T=-S' + '" Or, pour t = o, les composantes de la vitesse sont
a L'Os s , mini, a étant l'angle BAX. Donc
et l'on a
dx dy
d7 = aco * a ' y^-ff-t-w..
Intégrant encore, il vient
Nous n'ajoutons pas de constantes parce que, pour t = o, on doit avoir x = o et y = o.
Or on aura l'équation de la trajectoire en éliminant t entre ces deux équations; on trouve ainsi
y = x lang a p 5 — x i }
équation qui représente une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des y, et, par conséquent, vertical, et dont la tangente à l'origine est la direction de la vitesse initiale.
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUR. 35 1
Les coordonnées h , k de son sommet ont pour valeurs
a 7 sin a cos a. à 1 sin' a h = > a* = •
La directrice a pour équation
elle est à une distance de A égale à la hauteur à laquelle le corps s'élèverait s'il était lancé verticalement avec la même vitesse a.
Si Ion fait y ==■ o dans l'équation de la trajectoire, on
trouve
2 a 7 sin a cos a
C'est F expression de la distance AC , on la nomme Y amplitude du jet; elle est la plus grande possible quand a = 45°.
291 . Si le corps était lancé avec la même vitesse a dans des directions différentes, on aurait différentes paraboles qui auraient toutes la même directrice. Le lieu de leurs sommets s'obtiendrait en éliminant a entre les équations qui déterminent h et k 5 on trouve ainsi
a 7 équation d'une ellipse dont le petit axe est égal à — 5 dirigé
suivant l'axe des y^ et a Tune de ses extrémités à l'origine;
l'autre est égal à — ; il est double du premier.
292. On aura la courbe enveloppe de toutes les paraboles correspondantes aux différentes valeurs de a , en éliminant cet angle entre 1 équation générale de ces ligues et
sa dérivée par rapport à a, qui donne tanga = - — On
gx
trouvera ainsi, pour l'équation de la courbe enveloppe,
a 2 gx 2
2 g 2fl 2 '
ou, en désignant par h la hauteur due à la vitesse <7,
La courbe cherchée est donc une parabole ayant pour axe Taxe desj^, et son sommet du côté des y positifs à une distance h de l'origine. Elle coupe Taxe des x en deux points distants de l'origine d'une quantité égale à 2 A.
293. Si l'on veut déterminer l'inclinaison a de manière à ce que le mobile, partant avec une vitesse a. passe par un point dont les coordonnées soient x f , y\ il faudra résoudre, par rapport à a , l'équation
y = x tang a —
2 a 2 cos 3 a
On en tirera
a 2 ± s/a* — za'gr' — s 1 x' 2 tanga = ï -^ S .
Il y a donc deux inclinaisons qui satisfont à l'équation, si
l'on a
a<>2a*gy'-t-g 2 x' 2 ;
une seule si
a s = ia 2 gy' -\- £ 7 x' 2 ; et aucune si
Or l'équation
a* = 7.a 2 gy f -+• g 2 x' 2
exprime que le point donné est situé sur la parabole enveloppe déterminée précédemment-, et, par conséquent, le
problème est impossible si le point donné est en dehors de cette courbe, comme il était facile de le prévoir; il aura deux solutions si le point est dans V intérieur, et une seule s'il # est sur l'enveloppe. Dans ce dernier cas, il est clair que le mobile doit être lancé de manière à décrire la parabole qui touche l'enveloppe en ce point, et c'est ce que l'on reconnaît facilement d'après la valeur de tang a, qui se
à 1 réduit à — y
294. Mouvement dans Vair. — La trajectoire du mobile dans un milieu résistant sera toujours comprise dans le plan vertical mené par la direction de la vitesse initiale. Les forces qui solliciteront le mobile à chaque instant seront la pesanteur, et la résistance du milieu , que nous sup-
poserons encore représentée par ^np et qui sera dirigée
suivant la tangente, en sens contraire du mouvement. La composante horizontale de cette force sera donc toujours dirigée dans le sens des x négatifs ; sa composante verticale sera dans le sens de la pesanteur, ou des y négatifs, quand le mobile montera } et dans le sens contraire quand il descendra.
Nous avons vu que l'accélération du mouvement de la projection d'un point sur une droite quelconque était due à la force estimée parallèlement à cette droite. Ordinairement on considère les projections de ce poinl sur des droites rectangulaires \ mais on peut les prendre obliques s'il y a quelque avantage, parce que le mouvement du point est complètement déterminé quand on connaît celui de ses projections orthogonales sur trois droites formant un angle solide quelconque, ou simplement sur deux droites si la trajectoire est plane.
Dans la question actuelle, nous supposerons, avec M. Coriolis, qu'à un instant quelconque la force soit estimée suc-
cessivement suivant une parallèle à Taxe des x et suivant la normale à la trajectoire. Ces deux forces ne seront pas les composantes de la première, et la direction de la seconde est variable^ mais elles donneront l'accélération dans^ le sens de la normale et de Taxe des x , et il en résultera deux équations du mouvement. Elles pourront remplacer celles que Ton obtiendrait en projetant la résultante sur les deux axes, auquel cas on aurait bien les deux composantes de cette force \ mais elles seront beaucoup plus simples , parce que la résistance et la pesanteur n'entreront pas à la fois dans la même équation , vu que les deux directions que nous avons choisies sont perpendiculaires respectivement aux directions de ces deux forces.
Si Ton désigne par v la vitesse, et par a l'angle que fait sa direction avec Taxe des x , et que Ton observe que
d*jc d.vcosa.
1F~~ Jt '
les forces estimées parallèlement à Taxe des x donneront
l'équation
- x */.PCOsa • g ,
v ' dt k*
Les forces projetées sur la normale, dirigée du point que Ton considère vers le centre de courbure, se réduisent à geosa; et la composante, dans cette direction, a pour
expression générale, -, p étant le rayon de courbure. D'ailleurs , doc étant négatif, ou a
ou aura donc cette seconde équation
4dcr.
«) g COS a = — p 7 -y- y
* ds
OU
dcc
g COS a = — v — , & dt
ou encore
dsdoi gCOS*z=z .
Les équations (i) et (3) sont celles dont M. Cauchy fai* sait usage dans son cours. Mais il obtenait la seconde par une élimination entre les équations provenant des forces estimées parallèlement aux deux axes. La manière dont nous y sommes parvenus, et qui est due à M. Coriolis, est plus directe et plus simple \ elle est fondée sur cette considération , souvent utile , que Ton peut estimer les forces suivant des directions variables, et que Ton doit choisir celles qui conduisent aux calculs les plus simples.
L'équation (1) peut se mettre sous la forme
d.vcosa g , g .
= — fj Vdt = — I; dS ,
v cos et kr K 1
et donne , en intégrant ,
