CL
Ton calculera facilement Terreur commise en s' arrêtant à un terme quelconque. Si Tangle au centre 2 a , qui mesure T amplitude des oscillations, ne se compose que d'un petit nombre de degrés, on peut le plus ordinairement se borner au premier terme •, et Ton a
cette durée est indépendante de la hauteur h. Si Ton prend les deux premiers , la durée dépendra de h , et l'on aura
Le rapport - étant le sinus-verse de Tangle a , on a
- = I — cos a = 2 siir-r ot.
Ainsi , cette dernière valeur de T n'est en erreur que d'une quantité du quatrième ordre par rapport à F angle a-, la précédente était en erreur d'une quantité du second ordre.
307. Le moyen que l'on emploie pour réaliser ce mouvement consiste à suspendre un poids à un fil très-délié et d'une longueur invariable , dont une extrémité est fixe. Si ce fil inextensible était dépourvu de toute masse et que le mobile fut réduit à un seul poi»t, on aurait ce que l'on appelle un pendule simple. Mais il est beaucoup plus avantageux d'employer un appareil solide au lieu d'un fil , et le mouvement de ce pendule composé ne peut plus être calculé par la théorie précédente. Dans ce dernier cas, on appelle longueur du pendule , celle du pendule simple qui aurait ses oscillations de même durée.
Au moyen d'une formule que nous démontrerons plus tard, on peut déterminer cette longueur d'après la forme du corps oscillant, et la durée de l'oscillation sera donnée par la formule
=Vi'
dans laquelle a représente la longueur connue de ce pendule. Si Ton désigne par n le nombre des oscillations qui auront lieu dans un temps 0, on aura
Ô = /iT, d'où 9=r«7ri/-, et g=z* 7n ' a ,
équation qui fera connaître la valeur de la pesanteur. C'est ainsi que , d'après les expériences faites à l'Observatoire de Paris , on a trouvé
En faisant des expériences semblables en différents lieux
3^8 COURS DE MÉGANIQUE.
de la terre, on déterminera la loi suivant laquelle varie la pesanteur.
308. On peut encore déterminer le mouvement du pendule au moyen de la formule qui donne l'expression de la force tangentielle. Soient OB (Jig. 64) le rayon vertical du cercle sur lequel se meut le point pesant, A la position d'où il part avec la vitesse ft, et M sa position après le temps t. Faisons
OB = /, BOA = a, BOM=0, AM — j.
La composante tangentielle de la force accélératrice est exprimée généralement par -r-^ en grandeur et en signe , le
signe -h se rapportant au cas où elle est dirigée du côté où s croît, et le signe — au sens contraire. Si l'on considère comme négatif quand le rayon OM passe de l'autre côté de la verticale, on aura généralement
ds dB d's ,d*Q
v n dt dt dt 2 dt*
La composante tangentielle de la pesanteur étant d'ailleurs g sin 9 , on trouvera , en l'égalant à l'expression précédente,
d'où , en multipliant par i dQ et intégrant ,
/dô\ 3 s
U)=7 cos9 - + - c -
La constante C se déterminera par la condition que l'on ait en même temps = <x , — l — = A , ce qui donne
~ = ^oos a -f-C,
et, par suite,
U)" + ' ( ~~ cosa) '
On tirera de là, en observant que dO est de signe contraire à dt tant que le mouvement reste dans le même sens,
— IdB dtz=z
^k*-\- 2g7(cosô — cosa)
On rentrerait dans le calcul précédent en exprimant au moyen de l'ordonnée du cercle comptée à partir du point B. Si Ton suppose que les angles a et soient assez petits pour qu'on puisse négliger leurs quatrièmes puissances, et que, de plus , la vitesse initiale soit nulle, la formule précédente se simplifie beaucoup , et devient
dt d'où
arc cos — a
11 n'y a pas de constante à ajouter, parce que Ton doit avoir à la fois t = o , = a.
La vitesse devient nulle lorsque = — a. Il en résulte
= Vi
Telle est la durée de l'oscillation. Le mouvement recommence ensuite en sens contraire d'une manière identique; le point revient en A avec une vitesse nulle, après le même
intervalle de temps tt i / -: il se trouve alors dans lesmêmes
38o COURS DE MÉCANIQUE.
circonstances qu'au commencement, et cette double oscillation se reproduit indéfiniment, si Ton fait abstraction de toutes les résistances extérieures.
309. Dans tout ce qui précède, nous avons pu faire abstraction- de la résistance de Fair. Cette action modifie très -peu les résultats et n'exige que de très-petites corrections dans les formules. Nous n'entrerons ici dans aucun détail sur ce sujet, et nous nous contenterons de montrer comment une résistance quelconque modifierait les équations générales du mouvement d'un point sur une courbe.
Soit F (v ) une fonction donnée quelconque de la vitesse du mobile, qui exprime la résistance produite par un milieu ou un frottement. Les équations du mouvement du point matériel pesant seront
4 d 2 x „ dx
= Ncos> FW ,
^=Nco Sf .-F(,)|, d* z « ™ / x dz
d'où Ton tire
d.v 1 =z — zgdz— 2F(v)ds.
Or, au moyen des équations de la courbe on peut exprimer ds au moyen de z et dz \v s'exprimera de même en fonction de z , dz et dt : de sorte que l'on aura une équation différentielle entre z et t seulement. Si on peut l'intégrer, on connaîtra z , x , y en fonction de t , et le mouvement sera complètement déterminé.
L'équation précédente donne , en l'intégrant,
p'- &>=2g{h — z) C F{v)ds;
d'où l'on voit que l'intégrale 2 / F (v) ds exprime la
Jh
perte éprouvée dans le carré de la vitesse par la résistance représentée par F ( *>).
310. Mouvement sur la cycloïde. — Si l'on prend pour axe des x la tangente au sommet, et pour axe des z la perpendiculaire à la base, l'équation différentielle de la cycloïde est
dx
a étant le rayon du cercle générateur. Supposons que le plan de cette courbe soit vertical et que l'axe des z soit dans la direction contraire à celle de la pesanteur. On aura l'équation trouvée précédemment dans le cas d'une courbe quelconque
V 7 — &*= 2g" (/i — z) OU
ds 2
On peut supposer k nul en élevant convenablement le point de départ sur la cycloïde , pourvu que l'on n'ait pas h* -h igh > 4# a *5 cest ' e cas <I ue nous supposerons. On a donc l'équation aussi générale
ds 7
-— = ng[h — z).
dt* 6V '
Or, d'après l'équation de la cycloïde , on a
ds* 7. a dz*
dt 7 ~~ Z dt*'
donc
, , . fa dz
dt=±±K/-. ;
V S s/hz — z 2
382 TJOURS DR MÉCANIQUE.
on prendra le signe — quand le mobile descendra, et le signe -h quand il montera.
On trouve en intégrant , dans le cas du mouvement descendant,
• arc cos
La constante est nulle, parce qu'on doit avoir à la fois t = o, z =h 5 si Ton fait z = o , on trouve
Ainsi , de quelque point que le mobile parte , il arrivera au point le plus bas de la cycloïde dans le même temps ; c'est ce qui a fait donner à cette courbe le nom de tautochrone. Si Ton intègre la valeur de dt à partir du point le plus bas, dans un sens ou dans l'autre., on aura des éléments égaux; ce qui montre qu'à des intervalles de temps égaux, à partir de cet instant , la position du mobile correspond à des valeurs égales de z. Il remontera donc à la hauteur h , où sa vitesse sera nulle , dans le même temps qu'il a rais à descendre, et la durée de l'oscillation sera
7T 1/ - OU îrl/ ~
Or, 4 a est le rayon de courbure de la cycloïde au point le plus bas. La durée de l'oscillation sur la cycloïde, quelle que soit son amplitude, est donc la même qu'elle serait sur le cercle oscillateur au point le plus bas , mais pour des amplitudes infiniment petites.
3H. Si maintenant on considère une courbe quelconque dont le plan osculateur au point le plus bas soit vertical, on pourra la considérer dans une étendue infiniment petite de part et d'autre de ce point , comme se confondant avec le
cercle oscillateur, et la durée de l'oscillation sur cette
tude étant supposée infiniment petite.
Si le plan osculateur faisait avec la verticale un angle a , la pesanteur pourrait se décomposer en deux forces: l'une normale au plan et détruite par sa résistance ; l'autre dans le plan et parallèle à la projection d'une verticale sur ce plan. Cette dernière sera égale à g cos a, et, par conséquent,
.a durée de IWIWio» se» , J^Z. EUe e», donc ..
V g cos a même que sur une courbe dont le plan serait vertical et
dont le rayon de courbure serait » ou aurait pour projection sur le plan de la courbe donnée, celui de cette courbe même. Elle sera donc enfin la même que sur la courbe située dans un plan vertical passant par la tangente au point le plus bas de la courbe donnée, et qui serait la projection de cette courbe sur ce plan vertical.
312. Cherchons maintenant si la cycloïde est la seule courbe tautochrone, quand on fait abstraction de toute résistance.
Prenons pour origine le point où le mobile doit parvenir dans un temps constant, quel que soit le point de la courbe d'où il parte sans vitesse. Nous considérerons l'équation de la courbe entre s et z seulement \ car l'équation
ds 1
v*=zg(h — z) y ou — = zg(h—z),
ne renfermant que 5, z et t , il s'ensuit que, pourvu qu'on ait la même relation entre s et £, on en tirera toujours la même valeur de t en fonction de z. De sorte que, si l'on conçoit le cylindre qui projette une courbe sur un plan
horizontal, un point matériel pesant mettra le même temps à parvenir d'un point à un autre de cette courbe, soit qu'on développe ce cylindre , soit qu'on l'enroule sur tout autre cylindre ayant ses arêtes verticales.
Il ne s'agit donc ici que de déterminer s en fonction de z, et nous ne considérerons que les courbes qui peuvent donner pour s un développement procédant suivant les puissances de z. Comme on doit avoir à la fois z = o et s = o, il ne saurait y avoir d'exposant négatif, ni de terme indépendant de z. Soit donc
a, 6, y, etc., étant des nombres positifs quelconques, et A, B, C, etc., des quantités entièrement indéterminées. Soit A le z du point de départ , on aura
ds* i r h ds
T désignant le temps employé pour parvenir à l'origine , et qui doit être indépendant de h.
Substituant à ds sa valeur tirée de la série, il vient
t /— a r h f- i dz r ,„r h z*~- i dz
T\j2g = Acx. I +B6 / — =
Jo Sjk — z Jo \h —
Soit
z = hz\ d'où dz = h Hz' ;
les limites de z' seront o et i, et Ton aura
Jb ^h — z Jo ^i — z'
Ç h z*- l dz A 6-;- C 1 *'*-' dz' Jo sjh — z Jo ^i — z'
et ainsi des autres. Il en résultera, en posant
T \/â^ = AA'aÂ* ~ * -f- BB'ê/* 6 ~* +....
Or, pour que ce résultat soit indépendant de h et ne soit pas zéro, il faut que tous les termes disparaissent, excepté un, dans lequel l'exposant de h sera zéro. Donc la série qui donne s se réduit à un seul terme , et l'exposant de z y est égal à \ \ on a donc
s = As* , ou s*= A'z.
Or, cette relation entre s et z ne convient qu'à une cycloïde , dont le sommet est pris pour origine , et la perpendiculaire à la tangente en ce point, pour axe des z. Donc il n'y a d'autre tautochrone dans le vide que la cycloïde dans la position où nous l'avions considérée, du moins parmi toutes les courbes pour lesquelles s est développable suivant les puissances de z.
313. Cette propriété de Yisochronisme des oscillations d'un point qui se mouvrait sur une cycloïde avait fait penser à mesurer le temps au moyen d'un pendule simple dont l'extrémité décrirait des arcs de cycloïde. Il suffirait, pour obtenir un pareil mouvement, de suspendre un poids au moyen d'un fil flexible et inextensible, à un point qui serait l'origine de deux branches de cycloïde dont le cercle générateur aurait pour diamètre la moitié de la longueur du fil. On voit, d'aprèsla propriété de la développée de la cycloïde , que lorsque le fil s'enroulerait sur ces courbes, ou se déroulerait, son extrémité décrirait une cycloïde dont le sommet serait le point le plus bas ; les oscillations seraient donc isochrones. Mais un pareil pendule serait loin
d'offrir dans la pratique les mêmes avantages que le pendille circulaire, et Ton n'en fait aucun usage.
