MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE FIXE

314. Soient F (or, /, z) = o l'équation de la surface fixe, N l'intensité de la force qu'elle produit et que nous supposons normale-, X, fx, v les angles que sa direction fait avec les axes , et X, Y, Z les composantes totales des forces accélératrices extérieures -, on aura le système d'équations ,

//'jt d*Y d*z

--f = X-hNcos*, — 4- = Y-+-NcosfA, —^z+Ncosv,

cos \ = V -7- ? cos a = V -7- 5 cos v = V -7- > dx dy dz

y/Œ)HÏÏ'+'~>

Le double signe de V correspond aux deux sens de la normale , et le calcul fera connaître en chaque point le signe qui conviendra.

Si Ton substitue dans les premières équations les valeurs de cos X , cos (A , cos v , on aura

W ld*z . dF

Eliminant N entre ces trois équations, on aura deux équations qui , jointes à F (x 9 jr, z) = o, détermineront je, j^, 2 en fonction de t $ et toutes les circonstances du mouvement en résulteront.

Ces calculs, en général impraticables, se simplifient quand on a

X dx -f- Y dy -f- Zdz = cl «p ( .r , y 7 z) 9

et , par suite,

C désignant une constante arbitraire, déterminée par l'état initial.

En effet, les équations (i) donnent immédiatement les deux suivantes :

d* r d 7 x fd¥ dF \

Or, en différentiant, par rapport à une variable quelconque , l'identité

± dy dt

dx dx

on trouve

d'où

dt

d dy J x HF- d3r -dF

' dx / dx x *

dt

d % y , d*x fdx\* , dy . / dx\ % , dy « rff 2 J dt 7 \dtj dx \ds ) dx

et de même

d*z </ a .r . /«**V , àz

dx — - — dz -r— = 0* — 1 rf.— .

d/* dO \ds ) dx

En substituant ces valeurs dans les équations (a), et rem-

plaçant *>• par 2<p (#,/, z) -+- C, puis éliminant entre elles NV, on aura une équation différentielle entre x, y, z, où le temps n'entrera pas, et qui, conjointement avec F (x 9 y y z) = o, déterminera la trajectoire. Connaissant y

et z en fonction de x, et — en fonction de x, y, z, on parviendra facilement à une équation de la forme dt = ty (x) dx, d'où l'on déduira x en fonction de f , et, par suite, toutes les circonstances du mouvement.

315. Pression exercée sur la surface. — La composante normale de la résultante de toutes les forces appliquées au mobile, en y comprenant l'action de la surface, est dans le

plan osculateur de la trajectoire, et égale à - • Cette dernière

forcé est donc la résultante de la force produite par la surface, qui est normale à la surface et, par suite, à la trajectoire } et de la composante normale â la trajectoire, de la force extérieure qui agit sur le mobile. Si donc on désigne cette composante par Q, par l'angle du plan osculateur avec la normale à la surface , et par ^ celui de la force Q avec la même normale , on aura la proportion

- : Q :: sin^ : sinô.

MX

Cette relation déterminera la direction du plan osculateur quand on connaîtra y, R, Q, i|/. Dans le cas particulier où l'on aurait Q = o, il en résulterait = o, et le plan osculateur serait le plan normal à la surface. Ce cas est celui où la force extérieure est nulle, ou tangente à la trajectoire : il comprend donc celui où il y aurait frottement sur la surface, ou- une résistance de milieu. Dans ces divers cas, le plan osculateur de la trajectoire étant constamment normal à la surface , cette ligne est la plus courte que l'on puisse mener sur la surface entre deux quelconques de ses

points. On peut reconnaître directement que lorsque la force extérieure est nulle ou dirigée suivant la tangente à la trajectoire, le plan osculateur de cette courbe est normal à la surface. En effet, ce plan doit renfermer la tangente à la trajectoire et la résultante totale, c'est-à-dire une des composantes et la résultante : il renferme donc l'autre composante; qui est la normale à la surface, et, par conséquent, il est lui-même normal à la surface.

Application au mouvement d'un point pesant sur une

sphère.