Le problème que nous nous proposons est celui-ci

Étant données les forces et les diverses conditions par lesquelles est déterminé le mouvement absolu d'un point matériel; étant donné en outre le mouvement absolu d'un système rigide : trouver les forces et les diverses conditions qui détermineraient sur ce point un mouvement absolu, identique à son mouvement relatif au système.

Ainsi, nous voulons faire rentrer la considération du mouvement relatif dans la considération plus simple du mouvement absolu 5 et nous cherchons comment il faut modifier les données du mouvement absolu du mobile pour que le mouvement absolu qui en résultera soit identique à celui que ce point a par rapport au système.

Soient AX , AY, AZ trois axes fixes de coordonnées , et A'X', A' Y', A'Z' trois axes liés au système, et auxquels nous rapportons les positions du mobile -, de sorte que son mouvement absolu est déterminé par les valeurs successives de \r, y, z\ et son mouvement relatif au système, par les valeurs de x f y y\z'.

L'état initial donné, tant pour le point que pour le système, que nous réduirons aux axes mêmes X\ Y', Z', fera connaître à ce même instant l'état initial relatif ; c'est-à-dire

1 1 J I 7 / dx ' d f dz '

les valeurs de x , y , s , — » -V » ~r*

' J ' ' dt dt dt

Ainsi déjà on connaît l'état initial du point dans le mouvement absolu qui serait identique au mouvement relatif en question. Il ne reste donc plus qu'à déterminer la force accélératrice qui doit être appliquée à chaque instant au point dans ce mouvement absolu.

Or nous savons comment , dans tout mouvement absolu , la force accélératrice est déterminée, en grandeur et en direction, par la déviation. En appliquant cette règle à la déviation relative du point, qui n'est autre chose que la déviation dans le mouvement absolu que nous cherchons , nous connaîtrons la force qu'il faudra supposer appliquée au mobile partant d'un état initial identique à son état initial relatif, pour avoir un mouvement absolu identique à son mouvement relatif* Et c'est cette force que nous désignerons sous le nom de force relative. Il suffira donc, pour avoir la solution de la question qui nous occupe, de se rappeler la décomposition que nous avons faite précédemment, de la déviation relative (n° 243).

Cette décomposition étant faite suivant la même loi que celle des forces , si nous représentions la force par la déviation, les composantes de la force seraient représentées par celles de la déviation. Mais ce n'est pas par la déviation même que nous mesurons la force accélératrice, c'est par l'accéléra ti on du mouvement par lequel elle est censée décrite, c'est-à-dire par le quotient de cette déviation par

— \ désignant l'intervalle de temps correspondant à la dé-

viation. Donc on aura les composantes de la force accélé-

ratrice relative en divisant par — les composantes de la

déviation relative. On obtient ainsi la proposition suivante :

La force accélératrice relative est la résultante de trois autres forces accélératrices .

La première est la force donnée elle-même.

La deuxième est la force d'inertie développée par le point du système, qui coïncide avec le mobile, à V instant que Von considère,

La troisième a pour valeur i &> f sin à\ v désignant la vitesse relative du mobile, &> la vitesse angulaire du

4l6 COURS DE MÉCANIQUE.

système autour de son axe instantané de rotation, et S l'angle que fait la direction de la vitesse relative avec l'axe instantané. La direction de cette troisième force est perpendiculaire au plan mené par cet axe et la vitesse relative y et dans le sens contraire au mouvement de rotation-: en d'autres termes 9 elle est l'axe de la rotation qui amènerait la direction de la vitesse relative vers celle de Taxe instantané par le plus court chemin.

Cette décomposition de la force relative est due à M. Coriolis , qui a nommé force d'entraînement la seconde composante changée de sens*, et force centrifuge composée la troisième composante. Le mouvement relatif avait été considéré d'abord par Newton dans le cas des planètes , en supposant aux axes mobiles un simple mouvement de translation. Glairaut avait examiné plus tard le mouvement dans un plan , en supposant aux axes mobiles un mouvement quelconque dans ce plan ; mais il avait fait une omission qui a été corrigée récemment par M. Bertrand. M. Coriolis est le premier qui ait donné l'expression générale des forces fictives dont l'introduction ramène le mouvement relatif à un mouvement absolu.

331 . Mais il faut bien remarquer que ces forces fictives n'étant pas données, et dépendant du mouvement relatif même, par les quantités v et <ï, rendent le problème extrêmement compliqué. Cette décomposition de la force relative , qui peut être fort utile dans diverses questions, n'est autre chose qu'une interprétation des équations différentielles que l'on établirait immédiatement pour procéder à la recherche des équations du mouvement relatif : c'est même ainsi que M. Coriolis est parvenu à l'expression des composantes de la force relative. Et dans le cas où, par la nature des données, le mouvement absolu du point pourrait être complètement déterminé , il ne faudrait pas employer la force relative, mais déterminer le mouvement absolu 5

on serait alors ramené à une combinaison de mouvements connus, ee qui rentrerait dans les questions traitées dans le second livre. Dans les cas les plus compliqués , le système des équations à traiter se compose des trois équations du mouvement absolu du point, et d'une ou deux équations de condition où peuvent entrer les coordonnées absolues xy z, les coordonnées relatives x'y' z\ et d'autres quantités dépendantes du mouvement de système : on a en outre les équations qui lient les coordonnées dans les deux systèmes, et dont les coefficients sont des fonctions données du temps.

Si le point est libre, ou si les équations de liaison ne dépendent que de #, y, z , le mouvement absolu peut être déterminé séparément-, mais il n'en est plus ainsi lorsque ces équations dépendent du mouvement du système , comme cela arrive presque toujours.

332. Cas particulier où le système n'a qu'un mouvement de translation. — Lorsque le système des axes mobiles est animé d'un simple mouvement de translation, en vertu duquel tous les points ont des vitesses égales et parallèles, variables suivant une loi quelconque, et décrivent des courbes identiques quelconques*, la vitesse angulaire co devient nulle et la troisième composante de la force relative disparaît. La proposition générale se réduit alors à la suivante :

Lorsque les axes mobiles restent constamment parallèles à eux-mêmes , la force accélératrice relative est la résultante de la force accélératrice donnée et d'une force égale et de sens contraire à celle qui déterminerait le mouvement d'un quelconque des points du système*

Ce cas particulier est celui auquel on se borne ordinairement dans les Traités élémentaires de mécanique ; il suffit au calcul du mouvement relatif des planètes. Cette dernière proposition peut être immédiatement établie sans recourir à la proposition générale dont nous Pavons déduite ; il suffirait de suivre, en partant des données de ce cas i. 27

trajectoire relative du mobile est plane, et le rayon vecteur, mené du point constant au mobile, décrit des aires relatives proportionnelles aux temps correspondants.

Et réciproquement :

Si le rayon vecteur mené d'un point constant du système au mobile, décrit des aires dont les projections sur trois plans rectangulaires liés au système croissent proportionnellement aux temps; ou, en d'autres termes j si la trajectoire relative d'un mobile est plane et que les aires décrites par son rayon vecteur, partant d'un point constant de ce plan, croissent proportionnellement au temps, la force relative qui agit sur le mobile passe à chaque instant par ce point constant.

336. Équation des forces vives dans le mouvement relatif d'un point libre. — En considérant le mouvement absolu qui est identique au mouvement relatif du mobile, la moitié de l'accroissement de la force vive dans ce mouvement, pendant un temps infiniment petit, sera égal au travail des forces pendant ce même temps. Donc, en introduisant les dénominations du mouvement relatif, le travail élémentaire de la force relative est égal à la moitié de la force vive relative, correspondante au même temps. Or le travail d'une force est égal à la somme de ceux de ses composantes, et le travail relatif de la troisième composante de la force relative est nul, puisque cette force est perpendiculaire à la vitesse relative , et , par conséquent , à la trajectoire relative. On peut donc énoncer cette proposition :

Dans le mouvement relatif d'un point libre, la moitié de l'accroissement de la force vive, dans un intervalle infiniment petit, est égale au travail correspondant de la force réelle, plus au travail de la force d'inertie que produirait le point s'il était lié au système à l'instant que l'on considère.