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et qu'on les retranche; qu'ensuite on multiplie la première
par — et la troisième par —5 et qu'on les retranche, oni
aura les deux équations suivantes, qu'on pourra encore considérer comme celles de la trajectoire :
* d -Tx
as as \ a s J
dx ^.dz / dx\* ' dx
Z — X -r- == eM -r-
ds ds \ds / ds
Si l'on veut prendre x pour variable indépendante, et qu'on
ds
(Le
ds multiplie les deux membres de ces équations par — »
on aura
dx \ds ) dx 1
dx \ds ] dx 2
Ces équations rentrent dans celles que nous' avions déjà obtenues en partant des équations du mouvement d'un point sur une surface 5 il suffira, pour les en déduire, de supposer nulle la force provenant de la surface. On les intégrera après avoir remplacé v % par 2 <p (.r, y, z) -+- C, et X, Y, Z par leurs valeurs données en fonction de x , y, z.
Le principe de la moindre action donnerait de même les équations de la trajectoire quand le point est assujetti à se mouvoir sur une surface fixé.
329. Si l'on considère un point libre sollicité vers un centre fixe par une force dépendante seulement de la distance, la courbe est plane , et l'on peut se borner à deux
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. ^l3
coordonnées x, y \ de plus , Xdx -f- Ydj est une différentielle exacte , de sorte que le principe de la moindre action a lieu , et on peut l'appliquer à la détermination de la trajectoire. Mais , dans ce cas , il sera plus simple d'employer un système de coordonnées polaires r, en prenant pour pôle le centre d'action.
Soit (f la force dirigée vers le centre , on aura , en supposant la constante renfermée dans l'intégrale indéfinie ,
e> = — 2/ç dr 9 ds = ^dr*+r*dB 2 , et l'intégrale qu'il faudra rendre minimum sera
/ s/dr* + r'dB 2 s/— 2/? dr.
Le calcul des variations conduit à l'équation
r r 7 dQ\/—2 fodr d u T = o ,
sjdr* -+- r'dB* ou
r*dQ \/-r ijydr
\/dr 7 ~-i-r 2 d&
c désignant une constante arbitraire.
On tire de là
ou
r , c7 I dr7 l \
La force ç étant donnée en fonction de r , f(fdr sera une fonction connue de r, et l'on aura ainsi l'équation polaire de la trajectoire, que nous retrouverons plus tard par une autre méthode.
