DEUXIÈME PARTIE. — HYOR0DYI7AMIQUE. ^Q

et , depuis ce moment, les fonctions dex-\-at seront nulles. De même , a; — at deviendra négatif après l'époque pour laquelle on aura

at = AM".

Ainsi , on considérera les termes en j: -h a£ qui se rapportent à Tonde qui marche vers les x négatifs , jusqu'à ce qur le point B soit arrivé en M'' en se mouvant avec la vitesse a ; on considérera les termes en a: — at. qui se rapportent à Tonde qui marche vers les x positifs, jusqu'à ce que le point A , se mouvant avec la vitesse a , soit arrivé en M'', Et par conséquent, si Ton considère les deux parties qui composent les formules (4) et (5) comme exprimant respectivement les vitesses et les condensations dans deux ondes distinctes, et que Ton suppose que phacune de ce$ ondes se déplace avec une vitesse a. Tune dans un sens, et l'autre dans l'autre , en conservant toujours la même coutitution, on aura, à un instant quelconque , l'état du fluide, en plaçant ces deux ondes dans la position où leur mouvement les aura amenées à cette époque , et superposant les condensations et les vitesses dans les parties où elles se pénétreront si elles ne sont pas encore entièrement sér parées.

On aurait les états antérieurs à Tépoque prise pour origine des temps, en faisant marcher respectivement en sens contraire ces mêmes ondes , avec la vitesse a , pendant un temps égal à l'inlervalle qui sépare l'époque en question de l'origine des temps.

201. Nous venons de voir qu'un ébranlement initia| d'une longueur finie donnait naissance à deux ondes de même longueur, animées de vitesses égales et de sens contraire. Mais il est possible que Tune de ces ondes n'existe pas. La première par exemple , qui correspond aux formules (6), disparaîtrait si l'on avait pour toutes les valeurs

3lO COURS DE MÉGAKIQUE.

de z comprises entre o et Z,

Il n'existerait alors que l'onde qui correspond aux for-mules (7). Et de même celle-ci n'existerait pas, et la première subsisterait seule , si l'on avait

Ainsi , pour qu'il n'y ait qu'une seule onde , il est nécessaire et suffisant que le rapport de ^p (z) à x ( :^) soit-|-a ou — a\ ou , en d'autres termes , que dans l'état initial'le rapport de la vitesse à la condensation en un point quelconque de la partie ébranlée soit -f- « ou — a.

Mouvement dun gaz dans un tuy^au limité dans un sens.

202. Nous venons de voir quelle est la loi du mouvement dans un tuyau indéfini dans les deux sens. Examinons maintenant la modification qu'elle subit lorsque le tuyau est limité dans un sens et terminé par un plan fixe, ou en communication avec un immense réservoir de gaz soumis à une pression constante, par exemple avec l'amosphère. Nous discuterons séparément ces deux cas.

i*^. Ccts d*un tuyau fermé. — Supposons d'abord le tuyau terminé par un plan fixe, et comptons les x positifs à partir de ce plan , et dans le sens du tuyau*

Nous avons admis généralement que les molécules primitivement en contact avec une paroi y restent constamment appliquées. Ainsi, dans le cas actuel, la section correspondante à a: = o aura une vitesse nulle à chaque instant; c'est-à-dire que l'on aura

<lx

(i) —-!■=: G pour j: = Oj

quel que soit t. Cette nouvelle condition devra être jointe

I>KUXIÈME PARTIR. — HYDRODYNAMIQUE. 3ll

à celles qui résultent de Tétat initial du gaz qui est donné dans toute F étendue du tuyau, c'est-à-dire pour toutes les valeurs positives de x. Nous représenterons toujours par({/(x) et x{^) la vitesse et la condensation initiales; ces fonctions ne seront données que pour les valeurs positives de la variable, et sont entièrement arbitraires pour ses valeurs négatives. C'est cette indétermination qui permettra de satisfaire à la condition relative à Text rémité \ car nous avons vu que^ lorsque ces fonctions sont données pour toutes les valeurs de la variable, la valeur de (f est complètement déterminée , et on ne peut plus l'assujettir à aucune condition particulière.

La valeur générale de 9 qui satisfait à Téquation différentielle sera toujours

(2) (p niF, (j?-t-rtr)-i-/,(x— .«/).

La condition (i) conduit à Téquation suivante :

et comme elle doit avoir lieu quel que soit t^ en grandeur et en signe, si l'on remplace at par z, on devra avoir, quel que soit z ,

Au moyen de cette équation, les fonctions F et/*, qui sont données pour les valeurs positives de la variable, seront connues pour ses valeurs négatives. En effet , en supposant z positif, on en tirera

ce qui fait connaître f pour toutes les valeurs négatives de la variable.

Et si Ton change -z en — z dans Féquation ( 3 ) et que l'on suppose encore z positif, on trouvera

3l2 COURS DE MÉGAIIIQDS.

équation qui fera connaître F pour toutes les valeurs négar tîves de la variable.

Ces conditions peuvent se représenter géométriquement d'une manière très-simple. Si Ton conçoit , dans toute Ter tendue de Taxe des x, les courbes ayant pour équations

le lieu géométrique composé de la partie de Tune quelconque des deux qui est située du côté des x positifs , et de la' partie de l'autre qui est située du c^té des x négatifs, a pour centre l'origine. Et, du reste, les branches de l'une et de l'autre, situées du côté des x positifs, sont déterminées, comme nous l'avons déjà vu, par les fonctions ^ et ;^ qui sont données dans chaque cas particulier.

Cette construction , qui n'est que la représentation des conditions analytiques, pourra toujours les remplacer, et facilitera quelquefois les discussions.

On voit ainsi comment la condition (i) , qui exprime l'immobilité d'une tranche du gaz , conduit à la connaisr sance complète des fonctions F et/*, et par conséquent à la solution de la question proposée.

La valeur de -~ ou de la vitesse u , et la condensation v,

dx ' '

ou ; ~î seront exprimées de la manière suivante,

d'après l'équation (2) :

(4) u-=:¥[x + at)-\-flx— at),

(5) «7 = — ¥ {x -h ae) -^^ /{x ^ at).

Ces foTmules conduisent d'abord à cette conséquence remarquable, qu'à une époque quelconque, en deux poinls situés de part et d'autre du plan fixe et à égale dislance, U vitesse est la même au signe près, et la condensation est la