DEUXIÈME PARTIE. HYDRODYNAMIQUE. 3l

poser les eflets correspondants à chacun de ces éléments, après un temps quelconque , pour avoir l'effet qui correspondrait à Tébranlement proposé, après ce même temps. - 2^. Cas du tuyau ouvrent. — Supposons maintenant que le tuyau soit ouvert en A et en coomiunication avec un réservoir de gaz , indéfini en tous sens , comme par exemple l'atmosphère ', nous avons admis généralement que la pression qui a lieu à la surface de communication est toujours la même que celle qui a lieu dans le réservoir, et que nous supposerons constante. C'est cette pression qu'on observerait dans le gaz du tuyau en équilibre 5 et y exprime l'augmentation de la densité, à partir de celle qui correspond à cet état d'équilibre.

Cela posé , on aura , pour tous les points du tuyau ,

dt'' dx"

et

"do

(2) — ^ =r G pour j; = o, quel que soit ^.

Nous représenterons encore .par 4* (*^) ? X (■^) '^ vitesse et la condensation initiales. Ce sont des fonctions données entre x =^ o , j: = 00 , et complètement arbitraires entre X = o , x = — 00 . C'est encore cette indétermination qui permettra de satisfaire à la condition relative à l'extrémité. L'intégrale générale de l'équation (i) est encore

rp == F, ( X + at) -h /, (x — at) ,

et la condition (2) conduit à l'équation suivante, dans laquelle z est tout à fait indéterminé çn grandeur et en signe, et F, /^ sont encore les dérivées des fonctions Fi , yi ,

De sorte que si l'on considère les courbes ayant pour équations

3l6 COUBS DE MÉCANIQUE

le lieu géométrique composé de la partie de Tune quelconque des deux qui est située du côté des x positifs, et de la partie de F autre située du côté des x négatifs , sera symétrique par rapport à l'axe des y. Ainsi , au moyen de Téquation (3), les fonctions F, y, qui n'étaient données, d'après ^ ely^^ que pour les valeurs positives de la variable, sont déterminées pour ses valeurs négatives. Et Ton peut encore remarquer, dans ce cas comme dans le précédent , que la question est la même que si l'on supposait le tuyau indéfiniment prolongé vers les x négatifs , pourvu qu'on donnât au gaz, dans ce prolongement, un état initial représenté par les valeurs de F et / que nous venons de déterminer pour les valeurs négatives de la variable*

Les valeurs de k et y seront représentées par les formules suivantes :

(4) a = F (x -4- at) -h/(x — at] ,

(5) ay:=z^F(x -hat)-h/(x — at).

Si Ton change x en — x dans les équations (4) et (5) , on trouve, en ayant égard à l'équation (3) et représentant par Ml , yi les nouvelles valeurs de u et y,

u^=:Y {—X + ai) -^-/l—x --- at)=/{x'-at) + F {x -h ai).z= II,

/17, = — F (— j: -f- ar) -4- / (— X — fl^) = — f(x — at) -i-Y {x -h at) = — ay.

Ainsi, en deux points quelconques situés de part et d'autre et à égale distance de l'origine , les vitesses sont égales et de même sens, et les condensations ^ales et de signes contraires.

Cette disposition , qui a lieu à chaque instant, a lieu aussi dans l'état initial. Ainsi, dans le cas d'un tuyau ouvert, le moyen de rameuer la question à celui d'un tuyau ifidéfîni consiste à supposer le tuyau prolongé et rempli