DEUXIÈME PARTIE. — RYD&ODYNAMIQUE. SS

ment initial, le mouvement serait produit par les nouvelles forces seulement, et il serait le même que si Ton partait d'un état initial où les déplacements seraient, au signe près, ceux qui correspondent au nouvel équilibre , et les vitesses nulles.

224. Superposition des effets. — La question étant ramenée ainsi à la première , dans laquelle il y a un simple dérangement du système, sans introduction de nouvelles forces, le principe de superposition déjà démontré s'y appliquera. Or, Télat initial peut être considéré comme la superposition de deux autres , dont l'un serait le proposé , et l'autre consisterait uniquement dans les déplacements, changés de signe, qui font passer de la première position d'équilibre à la seconde, et qui sont, au signe près, les valeurs de «15 Si, 7i,... tirées des équations {9).

D'où l'on voit que le inouv^ement cherché résultera de la superposition de deux autres : l'un correspondant à Pétat initial proposé, sans introduction de nouv^elles forces ^ Vautre correspondant à l'introduction de ces forces y sans déplacement ni vitesse dans Vétat initial.

Quant au premier de ces deux monvements , nous avons déjà démontré qu'il pouvait se décomposer d'une infinité de manières ; et il est facile de voir qu'il en est de même du second : car la forme des équations (9) montre que si Ton partage les quantités H, K, L,... en un même nombre de parties quelconques, qui pourront être nulles^ que l'on ne prenne d'abord que les premières parties , puis les secondes seulement, et ainsi de suite, les valeurs de^^i, êj,... qui satisferont à ces systèmes partiels étant respectivement ajoutés, formeront la solution des équations (9). Or, si l'on partage les forces introduites en un nombre quelconque de groupes, les termes tout connus qu'ils donneront dans les équations d'équilibre étant ajoutés entre eux, formeront

36o COU»S DE MÉCANIQUE.

respectivement les quantités H, K, L,.-^- Donc les valeurs de «1, 6iv" q^^i correspondront à chacun de ces groupes étant respectivement ajoutés, formeront les déplacements produits par les forces introduites. Or, les efiets des déplacements s^ ajoutent^ donc ceux que les di\^ei*s groupes de forces pmduirofit, se superposeront eux-mêmes,

225. Intégration des équations, — Intégrons maintenant les équations (6) auxquelles tous les cas se ramènent, et dont le nombre , que nous désignerons par n , est égal à celui des coordonnées indépendantes.

On aura une solution de ces équations en posant

a = sin (rt H» î),

6 == R, sin {rt + s)^

7 = R5sin(r/ -h *), a' = R3 sin (rt -+- s) y

Substituant ces expressions dans les équations (6), Ri, R,,... n'entreront qu^au premier degré, et, si on les élimine, on reconnaîtra facilement que Féquation finale en /* sera du degré n par rapport à F inconnue r^^ on aura ainsi n valeurs pour r, en ne considérant pas les valeurs négatives, parce que les solutions qu'elles donneraient rentreraient dans les autres. Ces valeurs seront toutes réelles et inégales, sans quoi les inconnues s^ exprimeraient par des exponentielles ou des termes algébriques 'qui croîtraient avec le temps, ce qui est contraire à l'hypothèse d'un équilibre stable. 11 faut en excepter toutefois les cas particuliers où les coefficients de ces termes se trpuveraient nuls d'après Tétat initial.

Chaque valeur de r déterminera un système unique de valeurs pour R, , Rj,..., à moins qu'il n'y ait indétermi--

DEU7LIÉME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 36l

nation; et si Ton multiplie l<^s valeurs de â;, 6, y,... par une constante arbitraire R, on aura encore une solution des équations (6), et il entrera dans chaque inconnue les deuTC constantes arbitraires R et s» En ajoutant les solutions obtenues ainsi pour chacune des n valeurs de r, on aura la solution générale des équations (6) , puisqùHl y en* trera un constantes arbitraires R, R',..., 5, 5',.... Elle sera donnée par les formules suivantes :

a= Rsin(//4-*)-HR'sin(r'r-f-5') -h. . .,

, . , 6 = RR,sin{r/-»-*)-hR'R'.sin(r'f-4-x')-h.. .,

7 = RRaSin(/t4-«^)-h R'R', sin{r'^-f-f')-f-. . .,

Les un constantes se détermineront par les valeurs initiaies de a , o , 7 , a ,.,.,—, —,

dt ' dt

226. Décomposition du inoux^enient en oscillations simples, — Les mouvements particuliers du système qui correspondent à chacune des n valeurs r, r',... jouissent de quelques propriétés remarquables. Considérons, par exemple, la première : nous aurons

a = R sin(r^ 4- Jf), € =: RR, sin(r^ + ^), 7 = RR^sin {rt -\- s), a' =z RR3sin(r^+ f),

Or, les déplacements oc^ 6^ y étant dans des rapports constants, quel que soit /y il s^ensuit que le mouvement du point m est rectilîgne ; et il en est de même de tous les autres. On voit, déplus, que ce mouvement est périodique,

et que la durée de la période est — • Ainsi , tous les points

36a COURS DE HÉGANIQCK.

font des oscillations rectilîgnes de même durée; ils commencent et finissent ces oscillations en même temps , et les espaces qu^ils parcourent sont dans des rapports constants. C'est là ce que nous appellerons un mouvement simple du système.

Maintenant la seule inspection des équations (ii) démontre la proposition suivante :

Tout mouvement d'an système de points en nombre fini, gui ont été dérangés infiniment peu d*une position d'équilibre stablcy peut être considéré comme résultant de la composition des diverses oscillations simples dont il est susceptible.

Ces oscillations sont en nombre égal à celui des coordon-nées indépendantes, à moins quMl n'y en ait une infinité, comme nous Tavons remarqué précédemment : celles d'un même système sont synchrones^ ou de même période: leurs directions diverses et la durée de la période dépendent uniquement de la nature du système , mais leurs amplitudes et les coefficients qui les affectent dans la solution générale , dépendent de l'état initial d'où Ton part.

227. Considérons comme exemple le cas très-simple d'un point unique, soumis à la seule action de la pesanteur, et assujetti à rester sur une surface quelconque. Si on Fécarte de sa position d équilibre au point le plus bas de la surface, et qu'on lui imprime une très-petite vitesse, il peut décrire une infinité de courbes différentes, dépendantes de l'état initial; mais, comme il n'y a que deux coordonnées indépendantes, il n'existe que deux systèmes d'oscillations simples, et l'on prouvera facilement qu'elles ont lieu suivant les deux lignes de courbure de la surface au point le plus bas. Tout autre mouvement résultera de la combinaison de ces deux-là dans des proportions conve-

DEUXIÈME PAATIE. — HTDKODTNAMIQUK . 363

nables. Dans le cas où tous les rayons de courbure seraient égaux en ce point , toutes les sections normales pourraient être le lieu d'oscillations simples^ et il y en aurait alors une infinité.

228. Si les différentes racines r, /•',.•• sont commensurables entre elles, le système repassera périodiquement par les mêmes états ^ car soit /i leur plus grande commune mesure, on aura

A, A',... étant des nombres entiers qui n'^ont pas de facteur commun. Or, pour que les valeurs de a, 6,... se reproduisent périodiquement après un intervalle de temps 5, il faut que les produit» /i/xd, /l'fxd,... soient des multiples de 2 ;r, c'est-à-dire que Ton ait, en désignant par A*, A',... des nombres entiers ,

On voit facilement que les nombres k^ A',.** ayant entre eux les mêmes rapports que A, k\.,, qui sont premiers entre eux, les plus petites valeurs de A, A',..* seront A, A',..., et Ton aura

Telle sera la durée de la période^ elle serait infinie si Ton avait (X = o, c'est-à-dire s'il n'y avait pas de commune mesure entre r, r', Dans ce cas, le mouvement ne serait

donc pas périodique; et même le système ne passerait jamais par deux états identiques quant aux positions et aux vitesses; car, si cela était, tous les états suivants se reproduiraient identiquement, et le mouvement serait pério^ dique.

Le principe de la décomposition de tout mouvement in-

364 COURS DE MÉCAiriQÙE. . .

fiiiimeut petit d^uii Système de points, dans les moûveitients simples dont il est susceptible, étant indépendant du nombre des points, s'applique à un gaz ou à un liquide renfermé dans un vase fermé de tous côtés, ou à un corps solide élastique. Dans ces divers cas , le nombre des points est immense, mais nécessairement fini . Cependant, pour la facilité des calculs, il sera bon de considérer la matière comme continue, et, par conséquent, le nombre des points maté-= rieis comme infini. Les mouvements simples seront alors en nombre infini. Les déplacements de tous les points, cor* respondants à un quelconque de ces mouvements , seront toujours le produit d'une même fonction du temps représentée par un sinus et un cosinus , par une fonction des coordonnées de ces points. Et le mouvement le plus général du système pourra être représenté par une série composée d'un nombre infini de termes, correspondants chacun à l'un des mouvements simples dont le système est suscep^ tible.

FIN DK LA DKUXIEMF. 1>ARTIK.

Orttoc ^tw A Irormstv.