V- entrent linéairement à tous les termes

Les' équations ainsi obtenues devront être jointes aux équations (2)*, ces dernières déterminent un certain nombre des inconnues a, 6,7, a',... en fonctions linéaires des autres \ et si l'on suppose qu'on élimine ainsi celles dont les indices sont les plus élevés, et qu'on résolve ensuite les équations restantes, par rapport aux dérivées secondes, on arrivera déûnilivement à un système d'équations de la forme suivante, eu même nombre que les inconnues a, 6, y, ol' ... :

— - = /7ïa-f-/w,6-f-/7?a7-f-/?i3a'+. . . ,

dr

217. Il sera quelquefois utile d'exprimer les quantités a, 6,7, a',... au moyen d'autres variables indépendantes w, u, "«v,..., très-petites comme les premières, et il est facile de reconnaître que les équations en m, j^, -tv,..., seront de même forme que les équations (6) ; car les expressions des quantités a, ê,... au moyen de m, v, w,... ne renfermeront que des termes où entreront les premières puissances de ces dernières ; et si l'on substitue ces expressions et leurs

DEUXIÀME PARTIE. HYDRODYNAMIQUE. 35 1

dérivées secondes par rapport à t dans les équations (6), on aura de nouvelles équations linéaires qui donneront pour

-TT' ~TT'^"' ^^^ expressions renfermant linéairement à tous leurs termes les quantités u, i^, iv,....

218. Superposition des moui^ements , — La forme des équations (6) conduit à une conséquence très-importante.

On reconnaît immédiatement que si plusieurs systèmes de valeurs de «, 6, y,... y satisfont séparément, et que Ton ajoute ensemble toutes les valeurs de a dans ces diflerents systèmes, que Ton ajoute de même entre elles toutes les valeurs de 6 , et ainsi de suite , on formera un nouveau système qui satisfera aux mêmes équations. Quant à l'état initial des points dans le mouvement représenté par ce dernier système, on voit qu'il résulte de la superposition des états initiaux correspondants aux systèmes partiels; c'est-àdire que les composantes des déplacements et des vitesses parallèlement aux axes , dans ces derniers , s'ajoutent algébriquement pour former les composantes relatives à l'autre système. Cette addition des composantes revient à la composition des déplacements et des vitesses suivant les règles relatives aux forces, ce qui ne présentera jamais aucune difficulté, quel que soit le système des coordonnées.

Ainsi, la superposition de plusieurs états initiaux détermine un mouvement tel, que le déplacement des points à une époque quelconque résulte de la superposition de ceux qui, à la même époque, s'observeraient dans les mouvements correspondants aux états initiaux partiels.

Et, par conséquent, lorsqu'un système de points, assujettis à des liaisons quelconques, et soumis à l'action de forces quelconques , est écarté infiniment peu d'une position d'équilibre stable, puis abandonné à lui-même, les déplacements de ces diflercnts points à une époque quelcon-

352 COUBS DE MÉCANIQUE.

que pourront toujours être considérés comme résultant de la composition de ceux que l'on observerait à la même époque dans d'autres mouvements du même système , en nombre quelconque, et assujettis à cette seule condition, que la composition de leurs états initiaux, sous le rapport des déplacements et des vitesses , donne pour résultat Tétat initial proposé.

219. Application au pendule conique. — Pour faire comprendre de suite Futilité de ce principe , nous allons en faire l'application à un cas très-simple, que nous avons déjà traité par une autre méthode.

Considérons un point matériel pesant , assujetti à rester à une distance constante d'un point fixe, et que l'on écarte infiniment peu de la verticale menée par ce point , en lui imprimant une très-petite vitesse horizontale. Ce problème a été résolu dans les n°* 319, 320 du premier volume de cet ouvrage -, nous emploierons les mêmes notations pour la nouvelle solution que nous allons en donner.

Nous prenons pour origine le point fixe A {fig' 1 8) , pour axe des z la direction de la pesantelir, et nous ferons passer le plan des x, z par la position initiale Â6 du pendule. Soient M la position du point matériel à une époque quelconque, P sa projection sur XY, C celle de B. Posons

BAZ — a, MAZ=Ô, PAX=:>|*, AM = û, AP = r,

et désignons par k la vitesse initiale.

Nous ramènerons la question à deux autres plus simples en décomposant l'état initial dans les deux suivants. Dans le premier, nous supposerons le point matériel placé en B sans vitesse; et, dans le second, nous le supposerons dans la verticale AZ, et animé de la vitesse initiale donnée. La composition des déplacements à une époque quelconque, dans ces deux mouvements indépendants l'un de l'autre ,

DEbXliME PAitTie. — BYDnOnTnt NIQUE. 353

fera connaitre le d^lacement cherché du point M pour la même époque.

Si, dans le premief mouvemeiit, nous désignons par <f l'angle variable formé par le pendule avet AZ, nous aurons {n° 308, tome 1"') , aii degré d'approximation auquel nous nous arrêtons,

Dans le second mouvement , soit m l'angle formé par le pendule avec AZj et supposons que la direction de l'axe des y ait été choisie de telle Sorte que la vitesse initiale A porte le pendule dans l'angle ZAYi correspondant aux valeurs positives de (i); nous aurons alors

Les équations (a) et (b), faisant connaître la position du point à chaque instant, déterminent toutes les circonstances de son mouvement;

220. Si l'on veut connaître les coordonnées rectangulaires du point M, il faudra calculer son x au moyen di l'équation (a), et sou ^ par l'équation (A). La troîsièmi coordonnée ne diffère de / que d'une quantité du seront ordre. On la déduirait des deux premières au moyen de rcquation de la sphère^ mais il est inuiile de s'en occuper.

Or, on a

i=/sin(p, j^isinu,

ou, en négligeant les quantités très-petites du troisièmi ordre,

354 COUBS tri' MiCANIQUE.

On aura donc d'abord

x = laco&.ti/^, jr = lèiia.ti/^

et 9 comme tangiL = -^ il en résultera

tangr^rr-ung,/ 4/1

La valeur de r^ ou AP, se déduit dés équation» (c) , en cJ>servant que r' = x* 4-y*; îl en résulte

= /M a' cos».^ i/| + 6» sin». ^ i/^ j -

On en déduira la valeur de Tangle dont le sinus est - ; oiv obtiendra ainsi

ft> = a^ C08» . t i/^ 4^ 6» sin»./ i/^-

Enfin , si l'on veut connaître la projection de la trajeeroire sur le planx, j^, il faudra éliminer t entre les équations (c)^ et Ton trouvera

ellipse dont les demi^axe» sont /a , /S.

Tous ces résultats coïncident avec ceux qui avaient été obtenus dans les numéros déjà ckés du premier volume. II serait très-facile de généraliser celte question sous plusieurs rapports.

Ainsi , d'abord , on pourrait supposer la vitesse initiale daiïS une direction quelconque sur la surface de la sphère. On la décomposerait alors en deux autres, Tune horizontale, Tau tre dans le plan vertical passant par la position» initiale. On aurait alors à considérer deux mouvements-

t>£UXI£]IIE PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 35S

«impies qui ne différeraient des préoédents qu'en ce que dans l'état initial de Fun d'eu'x il y aurait à la fois déplace*- «nent et vitesse.

Si le point pesant, au lieu d'être situé sur une sphère^ était sur un ellipsoïde ayant un de ses axes principaux sui* vaut la verticale, on décomposerait le déplacement initial «n deux autres, parallèles aux deux axes horizontaux , et la vitesse initiale en deux autres, parallèles aux plans principaux. On chercherait alors le mouvement résultant du dé-placement et de la composante de la vitesse, parallèlement à Tun des plans ; ce qui ramènerait à un mouvement sur le ■cercle osculateur de cette ellipse principale. On chercherait ensuite le mouvement sur le cerde osculateur de la seconde section , d'après le déplacement et la composante de la vitesse parallèlement au second plan. On serait ainsi ramené à deux mouvements simples^ que l'on composerait comme dans le cas précédent.

Enfin, si le point pesant était situé sur une surface quel^ conque , et très-peu écarté du point oà le plan tangent est horizontal <, on remplacerait cette surface par un ellipsoïde passant par ce point et ayant ses sections principales de même courbure et de même direction que celles de la surface en ce même point; et le problème serait le même qu« le précédent.

221. Du cas oà Fon introduit de nouv^elles Jbrces, — Nous avons obtenu les équations (6) en supposant seulement que les points du système aient été dérangés de leur position d'équilibre, et qu'on leur ait communiqué certaines vitesses initiales. Mais on généraliserait la question en introduisant de nouvelles forces, susceptibles de ne produire que des déplacements très-petits. C'est ce que noi;s allons faire maintenant, en supposant toutefois que ces forces «oient indépendantes du temps ainsi que des quantité^

356 cou AS DE MÉCAMIQUE.

a . 6 , 7 , . . . . On arrive , dans, ce cas , à des résultats gêné* raux qui méritent d'être remarqués.

II est facile de voir d'abord que les équations différen-» tielles de ce nouveau mouvement i|e différeront des équations (6) que par l'addition de termes constants. En effet, il faudra d^as Téquation (4) augmenter X, Y, Z, . . . , des composantes respectives des nouvelles forces, et, en con*tinuant le calcul comme précédemment, on voit que. les seconds n^embres des équations (6) se trouveront seulement augmentés de termes qui renf(prmeront chacun une de ces composantes au premier d^ré.

Les équations di^leren tielles de la question actuelle se*» l'ont donc

-— - nr H -h W » -h Wi 6 4- /"aV -4- Waa -4- • • »

^^, =It+ Wa -4- »i6 -h.,.,

Ces équations feront connaître a, 6, y, . . . en fonction de t^ et les constantes arbitraires seront déterminées par Tétat initial. Elles peuvent aussi faire connaître le nouvel état d'équilibre du système, après l'introduction des nouvelles forces, En effet, il suffit de supposer a, S, y,. . . constants dans les équations (7) ; leurs seconds membres se trouvent ^lors égaux à zéro , et donneront les valeurs cherchées des déplacements de tous les points , qui conviennent au nouvel équilibre.

S2!2. Les équations ( 7 ) peuvent $tre ramenées k la mêm^

DEUXIÈME PAETIE. — HYDRODYNAMIQUE. 357

forme que les équations (6), en posant

(8) a = ai 4- H, 6 = 6, -l->î, 7=7,-1-5, «' = «,-!-?',...,

0^1) ^1? 7i)*** étant des constantes déterminées par les équations suivantes :

H -+- m a, -h w, 6, H- /WjVi -+- . . . = o,

(9) { Kh- /la, -h /i,6, -H «aVi -4-.^ . = 0,

Les équations (7) deviennent alors, par la substitution des valeurs de a, S,. . . données par les équations (8),

— - = ml 4- //?,>j -h //îjÇ-f- //Î3Ç -h. . ., (10) ( af»

Ces équations ne diffèrent des équations (6) que par le changement de a, 6, y, . . . en |, y,, Ç, . . . . On remarquera, en outre, que les valeurs de a,, êj, y,,. . . , que donneront les équations (9), sont précisément celles qui se rapportent à l'équilibre du système après Fintrodtiction des nouvelles forces, et que, par conséquent^ Si ^î Çv • • ^"^^ '^s déplacements des points par rapport à cette position d^équilibre. Enfin les équations (8) font voir que les valeurs initiales de -p» -7-» -r-î" • sont les mêmes que celles do dt dt dt ^

-r-> -T-> ■^'•••' tandis que les valeurs initiales de ^, r/,

^,. .. sont égales à celles de a, ë, y,,., respectivement diiui-* nuées de 0?!, ëj^, yi,....

358 OOOVS DC HÉGASlQirK.

De là se déduit ce ihéorème remarqoaUe et simple : Lorsqaun système quelconque de points est très-peu dérangé d'une position d'équilibre stable, et quon y intro^ duii , en outre ^ de fumvellcs forces constantes et très^ petites, le mout^emcnt de c/iacun de ces points par rapport à sa nout^lle position d'équilibre sous r influence des premières et des secomles forces réunies, est le même que celui que ton observerait par rapport à la première position d^ équilibre, si Von donnait an système un état initial qui fût le même, par rapport à cette positian , que F état initial proposé est par rapport à la seconde position d'équilibre. Ce théorème, étant iDdépcndaint du nomluv et des distances mutuelles des points , subsiste encore lorsq[ne leur système peut être regardé comme continu. S aura donc lieu dans tous les petits déplacements des fluides ou Aes solides élastiques, et, par conséquent, dans toutes les questions que nous avons traitées précédemment.

223. On peut, à priori , se rendre compte de cette proposition, à laquelle un calcul très-simple vient de nous conduire. Nous remarquerons d'abord que , le nouvel état d^érquilibre du système aprèsFintroduction des nouvelles forces, étant très- voisin du premier, les équations qui détermine^ raient le mouvement résultant d'un dérangement par rapport à ce nouvel état, ne difléreraient pas des équations (6) ; car les coefficients ne pourraient avoir va,rié que de quantités de Tordre de a, 6,..., et ces variations ne produiraient dans les équations que des termes de l'ordrç de ceux qui ont été négligés. De sorte qu'un même dérangement des points relativement à Tune ou l'autre de ces deux positions d'équilibre donnerait lieu, par rapport à elles, à des. mouvements respectivement identiques pour chaque point : ce qui démontre le théorème précédent.

Pans le cas particulier où il n'y aurait pas de dérange*-