DU SOLEIL
24. Nous avons reconnu que les mouvements des planètes autour du soleil sont produits par une force attractive , agissant en raison inverse du carré de la distance 5 et que la loi de la force serait encore la même si les trajectoires 5 au lieu d'être des ellipses , étaient des paraboles ou des hyperboles. Nous allons maintenant traiter la question inverse 'j nous considérerons une force dont l'intensité varie en raison inverse du carré de la distance , et nous nous proposerons de déterminer de la manière la plus générale les trajectoires qu'elle peut faire décrire au point attiré, et la position de ce point à chaque instant.
Il y a deux cas à examiner, suivant que le centre d'attraction est fixe ou mobile. Il est d'ailleurs très-facile de faire rentrer le second cas dans le premier, en supposant que les deux points ne soient soumis qu'à leur action mutuelle, et en outre à des forces accélératrices égales et parallèles, qui
,TIB. UÏHAKIQDe. 45
ne pourront avoir aucune influence sur les mouvements relatifs.
En effet, soit P l'action mutuelle des deux points dont les masses sont respectivement M et m; la force accélératrice appliquée au point m sera — Si donc on cherche le
mouvement relatif de m autour de M , il faut supposer ce dernier point immobile, et considérer le premier comme attiré vers lui par une force accélératrice égale à
Quant à la vitesse initiale qu'il faudra attribuer à m, elle résultera de la composition de sa vitesse initiale absolue et de celle de M prise en sens contraire.
Ainsi, le mouvement relatifde deux points qui s'attirent suivant une loi quelconque , est ramené au mouvement ab- S(da d'un point attiré vers un centre fixe par une force qui suit la même loi, et ne diffère de la première que par un coefficient constant.
25. Nous pouvons donc nous placer dans l'hypothèse d'un centre d'action immobile, et nous représenterons par
■i^la force accélératrice qu'il produit sur le mobile. Les
équations du mouvement seront
Les principes des aires et des forces vives donnent 1( intégrales premières (i) r'dB = cdt,
dr' r'd%' 2it
£ et c étant des constantes arbitraires.
Éliminant dt entre ces deux équations , on aura
c'est là ce qu'aurait donné Téquation (3) du n^ 1 , en y supposant y = -i-;-
Elle devient , en posant - = z ,
Cherchons d'abord les valeurs des constantes i et c, en supposant qu'on donne la position initiale du point , ainsi que la grandeur et la direction de sa vitesse initiale. Si Ton désigne par r© et i^o les valeurs initiales de r et de i^, l'équation (2) donnera
Quant à la constante c, nous avons déterminé généralement sa valeur dans le n^ 1 ; elle est
c = roPoSina,
a désignant Tangle que la direction de la vitesse fait avec le rayon vecteur au commencement du mouvement. Les deux constantes & et c sont donc déterminées.
26. Pour connaître l'équation finie de la trajectoire, il faut intégrer l'équation ( 3 ) qui peut se mettre sous la forme
dzdz
de=z
y/«.,.^ie,+ ^
DEUXlàME PAETIE. — DTMAMIQUE. ^n
et il s*agit d'abord de savoir lequel des deux signes il convient de prendre.
Nous considérerons dO comme toujours positif; dz sera positif quand le rayon vecteur décroîtra lorsque croîtra , et négatif dans le cas contraire; dans le premier cas, on prendra le signe + pour le second membre de Téquation , et le signe — dans le second cas, le radical étant toujours considéré comme positif.
Il faut donc d'abord chercher où ont lieu les changements de signe de dz; ils correspondent aux valeurs maxima ou minima de z , et on les obtient en posant
dz
= o, ou c'z' — 2fAZ — ^=ro;
dB d'où
Lorsque z passera par Tune quelconque de ces valeurs, on devra changer le signe de dz et le conserver jusqu'à ce que z arrive à l'autre valeur; alors on changera de nouveau le signe de dz , et ainsi de suite indéfiniment.
Supposons , pour fixer les idées , qu'à partir de la position initiale correspondante à r = To , les rayons commencent par croître , c'est-à-dire que l'angle ce soit aigu : alors, dz étant négatif, on a
(4) rffl= "''^ ~'^
d'où l'on tire, en intégrant à partir des valeurs 9© et z^ relatives à la position initiale,
9 — ô,» = are cos ■ . — arc cos
^ft^-^bc^ yf*»H-éc»
48 COUKS DE MECANIQUE.
Si l'on pose 0o — arc cos — - — *--- = 0i , la valeur Je 9 sera donnée par l'équation suivante :
(5) — 0, = arc cos
Mais il y a une observation importante à faire dans les intégrations où entrent des arcs de cercle , et qui se rapportent aux limites entre lesquelles les différentielles conservent la même expression. Ainsi, par exemple, la différentielle de arc cos u est --=:i quand l'arc a son sinus
positif; elle est, au contraire, ~^ quand le sinus est
négatif.
L'équation ( 5 ) n'est donc exacte qu'en supposant , comme on peut toujours le faire, que l'on prenne, pour la valeur initiale de l'arc qui y entre, une quantité comprise entre o et ir ; et l'on pourra l'employer tant que la valeur croissante de cet arc restera comprise dans les mêmes limites, c'est-à-dire jusqu'à la valeur de z^ pour laquelle on aura
C^Z — a a lu? h
s)\i? -f- hc
- — ^==- ■ — I, ou *. — -^ — m / — -1 r.
et quand z aura passé par cette valeur, il faudrait changer de signe le second membre de l'équation (4) pour qu'il fût toujours la différentielle de l'arc. Mais cette valeur de z est précisément l'une de celles où l'on doit changer de signe le second membre de cette équation pour qu'il soit le même que celui du premier. Donc l'équation (5) subsiste au delà de cette valeur, et jusqu'à ce que l'arc soit devenu égal à aTT, puisqu' alors le sinus redevenant positif, on devra
DEUXlàME PARTIE. — DYNAMIQUE. 49
changer le signe de dz pour avoir encore la différentielle de l'arc. Or, quand cet arc devient a tt, son cosinus devient I , et l'on a "
et c'est encore là une valeur de z après laquelle on doit changer le signe de dz pour que les deux membres de Téqùation (4) soient de même signe. Donc enfin, dans toute l'étendue du mouvement , Féquation (S) subsiste sans aucune modification. Et la discussion serait entièrement semblable si Ton avait supposé l'angle a obtus , c'est-à-dire si les rayons commençaient par décroître : l'arc se trouverait avec un signe contraire dans l'équation (5), et cette forme devrait être conservée dans toute l'étendue du mouvement. Ce changement de signe donnerait pour 0| une valeur différente de la précédente \ mais , à cela près , le résultat ne différerait pas de celui que nous allons déduire de l'équation (5).
Cette équation peut être mise sous la forme
sll>} + bc'
= cos (0 — 0,);
remettant pour z sa valeur -? on obtient
H- i/n--^cos(0 — 9,
Cette équation est celle d'une section conique dont le pôle occupe un foyer. Elle représentera une ellipse si b est négatif, une parabole s'il est nul, et une hyperbole s'il est positif.
En effet, l'équation d'une ellipse rapportée à un de ses II. 4
5o COURS DE MéCÀNIQUE.
foyers est
i -h e cos « I H- e cos «
w désignant Tangle formé par le rayon vecteur avec Taxe de la courbe, du côté du sommet le plus voisin du foyer ; a, e et p représentent le demi-grand axe, l'excentricité et le demi-paramètre. Les deux équations deviennent identiques y si Ton pose
(7) — 0,=:w, e'=zi-^-L., a(i—e') = p = ^.
La seconde de ces équations ne peut avoir lieu que si b est négatif, puisque dans l'ellipse on a e<^i. Dans ce cas , e est déterminé par cette équation, et est réel, puisque le second membre est positif; a est déterminé par la dernière, et la première apprend que 6, est l'angle formé avec l'axe des X par l'axe de l'ellipse, du côté du sommet le plus voisin de l'origine des coordonnées.
L'équation d'une parabole dont le paramètre est 2/? est
r = 9 les an£;les étant comptés à partir de la droite
I H- cos w "^ r r
menée du foyer au sommet. L'équation (6) sera identique avec elle si l'on a
— 0,=rw, ^ = 0, p = — •
Ainsi , dans le cas de i = o, la trajectoire est une parabole dont l'axe est la droite menée par l'origine , et faisant l'angle 61 avec l'axe des x ; le sommet est du côté correspondant à cette direction, et le paramètre est
Enfin, si l'on a & >o, l'équation (6) pourra être identifiée avec la suivante :
i -{- € cos w I -h e cos &>
