MM' MM'» MI MM
donc
jy i^yy «1£^
a cos M ab b'
TIE. — DYNjlHiqUK. 33
On reconnaît encore immédiatement que la projection de la normale sur l'un des rayons vecteurs, ou n cos m, est
égale au de rai- paramètre — ■
On voit aussi que la projection du rayon de courbui'c
. 1 - ^^ sur un des rayons vecteurs , ou K cos <■>, est égale a — ? quatrième proportionnelle, que l'on construira immédiatement, de manière que M soit une do ses extrémités, et l'autre en un certain point de MF'. Elevant en ce point une perpendiculaire à MF', elle rencontrera la normale au centre de courbure. Mais on arrivera encore à une construction plus simple indiquée par Newton, en observant qu'on a
R cos « = — ^ ■ cosu
D'où il suit que si par le pied de la normale on lui élève une perpendiculaire jusqu'à la rencontre d'un dçs rayons vecteurs , et que par ce point de rencontre on en élève une autre à ce rayon vecteur, cette dernière ligne coupera la normale au centre de courbure.
18. Revenons maintenant à la question de mécanique. Les aires étant proportionnelles au temps , la force qui produit le mouvement relatif autour du soleil passe par le centre de cet astre ; et il s'agit de trouver la loi de cette ^ force, sachant que la courbe décrite est une ellipse dont le centre du soleil occupe un foyer.
Désignons par tf la force accélératrice appliquée au point matériel M et dirigée suivant MF ; sa composante suivant
la normale MN sera ^ cos w, et son expression sera - > v désignant la vitesse -r du mobile. Si maintenant on
34 COURS DE Ml&GANIQUE.
par C le double de Taire constante décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps, le double de celle qu'il décrira dans le temps dt sera Cdt. Or, cette aire est un triangle ayant pour base l'arc ds décrit dans le temps dt , et pour hauteur p. On aura donc
pds = Cdty d'où ♦' = ->
et, par suite,
f COS « = - = -— ) d'où rf =
R /?*R ^ p'Rcoso)
formules applicables à toute courbe^ et, remettant pour ^, R et COS «, leurs valeurs en dt et J',
Oa
Ce qui prouve que la force est en raison inverse du carré de la distance au centre du soleil.
On peut exprimer la constante C au moyen du temps T de la révolution de la planète autour du Soleil \ car le double de l'aire de l'ellipse étant 2 7ra& , on aura
donc
et ^
^■^ T* '^"^ de sorte que la force accélératrice à l'unité de distance est
47r'fl»
On retombe ainsi sur les résultats trouvés précédemm ent
Si la foroe était dirigée vers le centre O, oa aurait
résultat identique avec celui que nous avoBs déjà trouvé parl'analyse (voirpageS).
19. Avant d'obteuir la démonstration de la loi de l'attraction des planètes, Newton l'avait entrevue par des considérations que nous allons indiquer, et qui , sans avoir le même degré de rigueur, oe laissaient pas que de donner de très-fortes inductions.
Les planètes décrivant des orbites d'excentricités diirérentes, on peut supposer, par analogie , que les lois de Kepler, qui leur sont communes, s'appliqueraient encore au cas d'orbites circulaires : d'autant plus que les orbites réelles étant très-peu excentriques , on peut avec une assez grande approximation tes regarder comme circulaires. Ainsi, on aura des résultats, sinon exacts, au moins fort approchés, en appliquant les loisde Kepler au cas d'orbites circulaires. Cela posé, la loi des aires indique toujours que la force qui agit sur chaque planète est dirigée vers le centre du Soleil. La seconde loi, qui, dans le cas général, prouvait que, pour la même planète, la force accélératrice variait en raison inverse du carré de la distance , montre, dans le cas actuel, que la vitesse est constante ; car les arcs de cercle sont proportionnels aux secteurs et , par suite , au temps ; ou la force est toujours normale à la trajectoire, et, ps séquent, la vitesse est invariable. Or, la force cent
appliquée à l'unité de la masse, a pour valeur — i
36 COUKS DE MiGAlfIQU£.
la vitesse , et R le rayon du cercle ; elle est donc constante. Ainsi 5 dans ce cas particulier, comme on devait le prévoir, la seconde loi n'apprend rien relativement à la variation de la force avec la distance; mais elle en donne toujours l'expression, au moyen du temps T de la révolution entière de la planète et du rayon de son orbite. On a, en effet, 2 7:R= i^T, et, par conséquent, eu désignant par (f la
force centripète — 1 en substituant à u sa valeur en fonction
de R et T, on aura
ce qui s'accorde avec la valeur générale —7-^; -^ dans laquelle on supposerait r = a = R.
Passons maintenant a la troisième loi , qui , dans le cas général, étendait la loi d'attraction trouvée pour les diverses positions sur une même orbite, aux positions relatives à des orbites différentes. Dans le cas actuel , le résultat analogue que nous allons trouver ne sera pas une extension , mais bien la première manifestation de cette même loi. Soient ^, (p' les forces accélératrices relatives à deux planètes quelconques, dont les distances au Soleil sont R, R', et les durées des révolutions T, T'. On aura , d'après les valeurs de 9 et ç',
or, la troisième loi de Kepler donne
Remplaçant, dans le second rapport de la proportion précédente, T* et T" par les quantités proportionnelles
OEUXliUE PARTIE. DTKAHIQUE. 37
R'j R", elle devient
ce qui prouve que la force appliquée a l'unité de masse varie en raison inverse du carré de la distance au centre du Soleil.
Les satellites- d'une même planète éUnt soumis aux mêmes lois, relativement à leur planète, on en concluait que l'attraction des satellites vai'ie de même en raison inverse du carré de la distance au centre de la planète autour de laquelle ils opèrent leur niouvement. La terre, u'ayant qu'un satellite, ne pouvait fournir une vérification semblable de cette loi d'attraction ; mais elle en donnait une autre qui n'a pas échappé à Newton. En effet, si de l'ensemble des phénomènes précédents on lire, comme nous l'avons déjà fait ci-dessus, la conséquence que deux mole' cules quelconques de matière s'attirent, proportionnellement à leurs masses, et en raison inverse du carré de leur distance, la terre pouvant être considérée comme composée de couches concentriques homogènes, son action sur un point situé à sa surface ou au delà est la même que si totite sa masse était réunie à son centre. Or, la distance des centres de la lune et de la terre ayant pour valeur moyenne soixante rayons célestes, la pesanteur à la surface de la terre doit être 36oo fois plus grande que l'attraction exercée par la terre sur une même masse située sur la lune : ce même rapport doit donc exister entre les espaces paioourus dans un même temps par les corps tombant à la surfac la terre, et par la lune dans le sens de l'attraction d terre.
Or, cette vérification, bien facile à faire, réussit c plétement.
En effet , si , pour simplifier le calcul , ih>us considéi
3g COURS DE MECANIQUE.
l'ellipse très-peu excentrique que décrit la lune, comme un cercle dont le rayon R soit égal à 60 fois le rayon r de la terre, supposée sphérique, la force centripète représentera l'action g^ de la terre. Cette dernière est donc égale à
5J^ , T étant la durée de la révolution de la lune autour
de la terre , dont la valeur en secondes est 39343 X 60^ on aura donc
et , comme 2 tt r = 4000000^ il vient
, 4qqqqqq ^
et
ce qui ne diffère pas sensiblement de ^~- \ et Ton ne trouverait aucune erreur appréciable en ayant égard, à diverses, circonstances que nous avons négligées.
Le résultat de ce calcul fournissait donc une confirmation de cette supposition, que toutes les molécules de la matière s'attirent proportionnellement aux masses et en raison inverse du carré de la distance, et que la pesanteur à la surface de la terre est un effet de cette attraction , aussi bien que la pesanteur à laquelle la lune est soumise vers le même centre.
20. Masses des planètes. — 11 est facile de déterminer le rapport de la masse d'une planète à celle du soleil , lorsque cette planète est accompagnée d'un satellite ayant une masse relativement très-petite. En effet, représentons par M la masse du soleil , par m , m' celles de la planète et de son satellite, par 2a, 2a' les grands axes des orbites de la pfanète et du satt^llite, et par T, T' les temps de leurs révo-
DBOXliME Pà&TIB. — DTNAMIQUB. Sg
lutions^ on aura, d'après ce qui précède,
±— -=/(MH.m),
= /(mH-iii');
d'où
Or, le second membre peut être regardé comme sensiblement égal à — 9 parce que m est très-petit par rapport à M , ainsi que rnf par rapport à m. On peut donc écrire
T et T' sont connus par l'observation , et il suflSt de connai-
tre une valeui* approchée de — pour en déduire, avec une
approximation du même ordre , le rapport de la masse de la
. planète à celle du soleil. Newton a trouvé , par ce procédé ,
775-j pour le rapport de la masse de Jupiter à celle du soleil.
' Des procédés plus précis ont donné ,-5^, ce qui en difTère
très-peu.
21 . La masse de la terre ne peut se déterminer très-exac-' tement par la méthode que nous avons indiquée pour les planètes qui ont des satellites , parce que la masse de la lune ne peut être négligée par rapport à celle de la terre j néanmoins cette méthode donnera un moyen de vérification lorsque l'on connaîtra le rapport de ces deux masses. Mais on peut parvenir à connaître la masse de la terre par un autre moyen qui ne saurait être employé pour aucune autre planète, et qui résulte de la connaissance que nous avons
^O COUfiS DE MÉCANIQUE.
de raitractîon qu'elle exerce sur les corps situés à sa surface. Cette attraction est égale à la pesanteur, augmentée de la composante verticale de la force centrifuge. De plus, il faut avoir égard à Taplatissement de la terre, et Ton trouve que^ sur le parallèle dont le carré du sinus de la latitude est {, et dont la distance r au centre de la terre a pour valeur r = 636455 1 , l'attraction G de la terre est sensiblement la même que si elle était sphérique et qu'elle eût /• pour rayon. En la calculant d'après la loi de la variation de la pesanteur à la surface de la terre (Mécanique céleste) , on trouve qu'elle a pour valeur 9,81 645, ce qui est un peu supérieur à g.
Si donc on désigne par m la masse de la terre , et par f l'attraction mutuelle de deux unités de masse placées à Tunité de distance Tune de l'autre, on aura
On peut tirer de là la valeur de/", et la reporter dans la formule = f [M-^m) qui se rapporte au mouve-
ment de la terre autour du soleil. Il en résulte
d'où
4 7r'fl^ __ G/-' (M -f"ffl) ^
M __ 4 ff' «3 ^
Mais on a
T = 86400. (365,256374), et la valeur de la parallaxe du soleil donne
DEDXIEHB FAKTIE. UYIfUMQUE. ^l
en effectuant les calculs , on trouvera
ï = 35459a, ou 2 = 35-^^^-
11 est facile de déduire de là le rapport de la densité de la lerre à celle du soleil. En effet, le diamètre du soleil est égal à iio fois celui de la t^rre, et les densités de deux corps sont entre elles comme leurs masses divisées par leurs volumes; d'où l'on conclut facilement que la densité de la terre est à peu près ^adruple de celle dn soleil.
Si , d'après cela , on calcule la pesanteur à la surface du soleil, on trouve qu'une même masse y pèse 29 fois ei demie autant qu'elle pèserait à la surface de la terre-, et que les corps , abandonnés à la libre action de celte force , y parcourent un espace d'environ i45 mètres dans la première seconde , tandis qu'à la surface de la terre l'espace qu'ils
parcourent dans le même temps n'est que -•
â2. Les masses des planètes qui n'ont pas de satellites ne peuvent être déterminées par le procédé du n" 18 , et l'on a recours, pour cela, aux perturbations que leurs actions mutuelles introduisent dans leur mouvement autour du soleil. L'action d'une planète étant proportionnelle à sa masse, on conçoit à priori que le trouble apporté par cette action dans un mouvement produit par celle du soleil peut conduire à la connaissance du rapport de la masse de cette planète à celle du soleil. Cette importante question est du ressort de la mécanique céleste, et nous nous bornons à l'indiquer. Ce procédé peut s'appliquer également aux planètes qui ont des satellites, et c'est ainsi qu'on a trouvé -777, pour la masse de Jupiter.
Les masses des satellites d'une même planète poun de même être comparées à celles de leur planète au mo
4^ ' GOUBS DE MÉGANIQUE.
des perturbations que leurs actions mutuelles apportent k leur mouvement autour de cette planète , et l'on en déduira leurs rapports à la masse du soleil , puisqu'on connaît celui de la masse de la planète à celle du soleil. Il y aurait encore ici une exception pour la terre qui n'a qu'un satellite ; mais on a encore ce même avantage dont on a profité dans la recherche de la masse de la terre -, c'est la connaissance de ce qui se passe à sa surface. En effet, la lune produit à cette surface des perturbations provenant de l'inégalité des distances de ce satellite aux différents points de la terre. Ces perturbations sont le flux et le reflux de la mer. Comme le soleil produit sur la mer des effets semblables, on conçoit que la comparaison de ces deux effets doit conduire au rapport des masses de la lune et du soleil. Or, cette comparaison est facile par l'observation des marées lunaires et solaires dont les lois sont différentes. Nous nous bornerons à dire que le rapport de la première à la seconde est , dans le. port de Brest, 2,3533 [Mécanique céleste) 5 par un calcul que nous ne rapporterons pas , on en déduit le rapport de la masse de la lune à celle du soleil, et, par suite, à celle de la terre. On trouve ainsi que la masse de la lune est ~ de celle de la terre.
En considérant la terre et une autre planète quelconque dont Wi soit la masse , Ti le temps de la révolution , et «i le demi-grand axe de l'orbite, on obtiendra l'équation
Si donc nii et Ti sont connus , on déterminera le rapport
~^9 et, par suite ^ ^i, puisque a est connu. Cette équation
ne serait pas propre à faire connaître mi, parée qu'une erreur dans le premier membre , de Tordre de celle que nous avons pu admettre dans le n^ 18, où le second membre
TH. >-- DnUMtQDB. 43
était T-^1 en produirait ici one beaucoup plus coDsidérable
sur ce rapport qui n'est qu'une très-petite partie do second membre, de sorte que l'erreur pourrait être comparable à la quantité inconnue.
33. Jusqu'ici nous n'avons déterminé que les rapports des masses des planètes et du soleil; maïs on peut obtenir une valeur approcbée de celle de la terre, et toutes les autres s'ensuivront. 11 suffit, pour cela, de connaître le rapport de l'attraction exercée par une masse connue sur un corps quelconque à une disUnce donnée, au poids de ce corps ; et c'est à quoi l'on peut parvenir, soit par l'équilibre , soit par des mouveokents oscillatoires : nous nous contenterons de donner une idée du premier moyen.
Supposons une boule d'un petit diamètre suspendu par un fil don t la longueur est l et soumis à l'acùon d'une spbère ayant pour rayon R , pour densité D , et son centre dans le plan borizontal mené par l'extrémité du pendule, à une distance a de ce point. Soient </ et r la densité moyenne et le rayOD de la terre , et a l'angle formé avec la verticale par le pendule en équilibre.
L'attraction exercée par la spbère sur la petite boule
dont nous désignerons la masse par m, sera f n ; — » et
son bras de levier l cos «. L'attraction exercée par la terre sera j itn/^m, et son bras de levier /sin a. Les moments de ces deux forces devant être égaux pour l'équilibre, on en conclut, en sopprimant les facteurs communs,
— ■■■ cosB = nisin a, d ou taoea ^ ;•
a' à'rd
Si donc on peut observer l'angle se, qui sera nécessaire; très-petit, tout sera connu dans cette équation , exce] qui se trouvera déterminé.
Une observation de ce genre faîte par Maskeline, en Ecosse, dans le voisinage d'une montagne dont il avait évalué approximativement la masse et la distance moyenne , lui a donné, pour la densité moyenne de la terre, une valeur égale à quatre ou cinq fois celle de Teau.
Une expérience faite par Cavandish, et dans laquelle l'attraction d'une sphère connue produisait des oscillations dont on pouvait déterminer la durée, a donné à la terre une densité égale à cinq fois et demie celle de Teau.
La densité moyenne de la terre étant connue avec assez d'approximation , on en conclut sa masse ainsi que celle de& autres planètes et du soleil.
