DEUXIÈME PARTIE. BtVAMlQVE

Eliminant ainsi dO^on obtient d'où

dt=z± — .

Si l'on prend pour origine des temps Finstant où Ton a ô = o, la planète est au sommet le plus voisin du foyer, qui correspond àr=:a(i — e),et qu'on nomme le périhélie . Le point diamétralement opposé de l'ellipse se nomme Y aphélie; le rayon vecteur est alors à sa plus grande valeur, dont l'expression est r = a (i + e). D'après cela, dr est positif depuis le périhélie jusqu'à l'aphélie, et négatif depuis ce dernier point jusqu'au retour au périhélie* Ainsi y dans la première moitié de la trajectoire, on doit prendre

l'équation

rdr

^br^-h 2 fit r — c'

et dans l'autre moitié, on changera le signe du second membre. On intégrerait facilement cette expression au moyen d'un arc de cercle et d^un radical algébrique. Cette forme serait peu favorable au calcul de o en fonction de £ ; et il est plus convenable d'introduire une nouvelle varia-« ble au lieu de r.

Si l'on observe que r est toujours compris entre a (i — e) et a (i + e), on voit qu'on peut poser

r = û (i — ecosu).

Cet angle u passe en même temps que 9 par les valeurs o, îT, 2 7r; on lui a donné le nom d*a/ïoma/ie excentnque; et l'angle s'appelle anomalie "vraie de la planète.

L*équation de l'ellipse étant d'ailleurs

X étant Tabscisse comptée à partir du centre, on voit (fig* 4) que u n'est autre chose que l'angle AON, N étant le point du cercle décrit sur le grand axe, qui a la même abscisse que le point M de l'ellipse.

En faisant cette substitution dans la valeur de dt , et remettant, au lieu des constantes 6, c, leurs valeurs tirées des équations (7), qui sont

b = — —5 c^z=aa(i — <?'), a

il vient

dt = a I / - . ( I — e ces u) du.

Si l'on intègre cette équation, en observant qu'on a en même temps ^ = o, w = o, et si l'on fait, pour abréger,

W'Hn

9 on obtient

ntz=z u — esinu;

cette équation détermine u en fonction de f , et l'on aura ensuite r au moyen de l'équation

r= a (i — ^cos u).

Enfin 9 sera connu d'après l'équation de la trajectoire. On aura d'abord, en égalant les deux valeurs de r,

ï — e CCS u == ,

I H- € ces Ô

d'où

ces u — e

cos ô =1 ■■ :

1 — e cos u

par suite ,

(i — e)(i + cosa) I — e cos u

(i 4-<?)(i — cos«) I — cos ô == ^ ^-i ^ :

I — e cos u

DEUXIÈME PAETIE. — DYNAMIQUE. 55

et, divisant ces deux équations membre à membre,

ung^^ô = - — -tangf»;

prenant les racines avec le même signe, puisque u et 9 sont nuls en même temps , on a

tangiô = y/i±itangi«.

On pourrait encore obtenir directement cette valeur de 6 en fonction de u. En effet ,

cdt cdr du

dB z= — = — , =: Ji — <r'-

r» r^br^-hliiir-^'C^ i — e ces « ^

Pour intégrer cette équation, on posera

tangua = 2,

ce qui donnera