DEUXIEME PARTIE. — HTDBOSTATIQUE

le cas de surfaces courbes , il n'en serait ainsi que pour des portions infiniment petites.

Ces propositions s'étendent aux pressions intérieures aussi bien qu'à celles qui s'exercent sur les parois. Car réquilibre ne serait pas troublé, et les efforts resteraient les mêmes, si l'on supposait que, dans une partie quelconque du liquide , tous les points fussent liés invariablement et constituassent un corps solide» On peut donc , en un point quelconque de l'intérieur et dans une direction quelconque, supposer une paroi solide; par conséquent, la pression exercée sur un élément plan de cette paroi lui sera normale, quelle qu'en soit la cause. De plus, si cette pression pi*o- Tient d'une autre pression exercée à la surface du fluide renfermé dans un vase plein , elle sera égale à la première pour une étendue égale en surface. On conclut de là que les propositions admises pour les pressions des fluides sur les parois des vases qui les renferment, s'appliquent aux pressions exercées dans leur intérieur sur toute portion de surface que Ton y voudra considérer.

Enfin, on déduira facilement de là qu'en un point quelconque d'un fluide en équilibre , la pression est la même , quelle que soit la direction de l'élément de surface sur lequel elle s'exerce 5 car, si l'on conçoit autour d'un quelconque de ses points un polyèdfé infiniment petit formé par le liquide, et qu'on le regarde d'abord comme solidifié , il est en équilibre sous l'influence des pressions exercées à sa surface et des forces qui sollicitent ses points intérieurs proportionnellement à leurs masses. Ces dernières peuvent être considérées comme parallèles , et ont , par conséquent, une résultante dont l'intensité sera proportionnelle à la masse du polyèdre qui est un infiniment petit du troisième ordre ; et comme ses faces sont des infiniment petits du second ordre , et qu'il en est de même des pressions qu'elles supportent, l'équilibre pourra être considéré comme existant sensiblement entre ces près-

212 COUKS DE MECANIQUE.

siens seulement, sans tenir aucun compte de la force qui agit sur la masse de ce polyèdre. Si maintenant on rend au polyèdre sa fluidité primitive, et quW solidifie le reste du liquide, qui devient alors comme un vase polyédrique fermé dl3 toutes parts et rempli de liquide , rien ne sera changé dans les actions mutuelles des molécules, et par conséquent dans les pressions qu'elles produisent. Or, il résulte de la propriété générale des fluides , que les pressions sur les parois sont égales pour des éléments égaux en surface, quelle que soit leur direction 5 et comme tous ces éléments de surface sont de plus en plus près de passer par le point considéré dans le liquide, on en doit conclure que, quelle que soit la direction d'un élément plan, passant par un point quelconque d'un fluide en équilibre, la pression exercée sur lui et rapportée à Tunité de surface est toujours la même.

136. Si Ton suppose un fluide incompressible renfermé dans un vase immobile et soumis à des pressions produites sur sa surface par un nombre quelconque de pistons, le principe des forces virtuelles aura lieu dans le cas de l'équilibre de ces forces, en regardant comme conditions du système que le fluide reste continu, de volume constant, et toujours en contact avec les bases des pistons. Soient, en effet, rt, a', a", etc., les aires de ces bases; les pressions produites par ces pistons, rapportées à l'unité de surface, seront égales; et si l'on désigne leur valeur par p^ les forces appliquées à la surface du liquide seront respectivement ap^ a'p^ a"p^ etc. Soient dp^ âp\ dp" les vitesses virtuelles des points d'application de ces forces, estimées suivant leurs directions 5 elles seront assujetties à la condition que le volume du liquide n'ait pas varié par ce déplacement, et qu'il ne se soit opéré aucun vide ; d'où résulte

DEUXIÈME PAETI£« — HYDROSTATIQUE. 21 3

et, par suite,

ap^p -H a! p^p' -+- a" p^p" + . . . = o,

cequî prouve que la somme des moments virtuels des forces est égale à zéro.

Equations générales de l'équilibre des fluides.

137. Soient X, Y, Z les composantes de la force, rap- . portée à l'unité de masse, qui agit au point dont les coordonnées sont a:,y, z 5 désignons par p la densité du liquide , et par p la pression en ce point, rapportée à l'unité de surface : p et p sont des fonctions de x^j^ z, que Ton se propose de déterminer quand l'équilibre est établi.

Si au point dont les coordonnées sont x, y, z, on conçoit un parallélipipède dont les arêtes soient parallèles aux axes et respectivement égales aux différentielles dx^ dy^ dz^ sa masse dm sera égale à pdxdjdz et sera sollicitée par les trois forces

p IL dx djr dz j pY dx dy dZy pZ dx dy dz ;

ses six faces seront spllicitées par des forces parallèles aux axes , et dirigées vers l'intérieur de son volume. Si l'on considère d'abord les deux faces parallèles au plan des x et j, dont l'un passe au point dont les coordonnées sont x^y^ z, et l'autre au point qui a pour coordonnées x^y^ z-\- dz^ la pression exercée sur la première est p dx dy ; et sur la seconde elle est

— étant la dérivée partielle de p par rapport à z. Chacune

d'elles peut être regardée comme constante dans toute l'élendue de la face correspondante, sans qu'il en résulte d'erreur

2l4 COUBS DE MiCANIQUE.

dans les équations, considérées à la limite. Les deux forces auxquelles se réduisent les actions exercées respectivement sur ces deux faces sont donc des forces directement opposées , et elles se composent en une seule , parallèle à l'axe des z et égale à

-^ dz

De même, les pressions parallèles à l'axe des j^ et à Taxe des X se réduisent aux forces

— dx dydz -^j — dx dydz -/- • dy -^ dx

Ces trois forces peuvent être considérées comme agissant au centre du parallélipipède , ainsi que la résultante des forces appliquées à tous les points de sa masse , puisque ces forces doivent être regardées comme constantes de grandeur et de direction , et que la densité peut être supposée la même en tous les points du parallélipipède. Il est donc nécessaire et suffisant , pour son équilibre , que les forces parallèles à chacun des axes soient en équilibre entre elles ^ ce qui donne les trois équations

^'^ ;S-P^' ^-P^' Tz-^^'

Multipliant ces équations respectivement par dx^ dy^ dz, et les ajoutant , il vient

(2) dp = p (Xdx -^ Y dy -h Zdz)'^

ce qui apprend que si le fluide est en équilibre , l'expression

p{Xdx-h'Ydy-^Zdz)

est la différentielle totale d'une fonction de x^y^ z^et que cette fonction donne nécessairement l'expression de la pression, à une constante arbitraire près.