DEUXIEME PARTIE. HTD&OSTATIQVE

Désignons cette fonction par F (wC, j^, jz), l'équation (2) donnera

(3) /; = F(x,jr,z)4-C,

C étant une constante arbitraire que l'on pourra déterminer si Ton connaît la pression en un point donné. Si le fluide n'est pas renfermé dans un vase fermé de toutes parts et exactement rempli , il sera nécessaire qu'à la partie libre de la surface il y ait une pression extérieure dont la valeur soit donnée par l'équation (3), jet qui soit dirigée en chaque point vers l'intérieur du liquide.

La pression en un point n'étant pas produite par la force extérieure, agissant dans le voisinage de ce point seulement, peut être nulle aux points où la force est très-grande. C'est ce qui a lieu , par exemple , à la surface libre d*un liquide pesant , dans le vide.

138. Surfaces de niveau. — Dans un fluide en équilibre, on appelle surface de nweau toute surface telle, que la résultante des forces qui agissent sur le liquide lui soit normale en chacun de ses points.

Si donc on désigne par dx^ dy^ dz les accroissements infiniment petits que prennent les coordonnées x^ y^ z d'un point quelconque d'une de ces surfaces quand on passe à un autre point de cette même surface, on aura la condition

(4) lLdx^Xdy^Zdz^o\

c'est l'équation différentielle de toutes les surfaces de niveau , et p est le facteur propre à la rendre intégrable

Il en résulte, en vertu de l'équation (2), que pour tous les points d'une même surface de niveau , on a

dp = o, et que, par conséquent, la pression y est constante. Cette

2l6 COURS DE MÉCANIQUE.

propriété remarquable pourrait servir de définition à ces surfaces, et celle qui est exprimée par Féqualion (4) en serait une conséquence immédiate.

L'équation finie des surfaces de niveau sera , en désignant • par c une constante arbitraire,

F (x^jy z) étant toujours la fonction dont la différentielle est

Si la constante c prend successivement toutes les valeurs possibles, on obtiendra toutes les surfaces de niveau. Ces surfaces remarquables ne peuvent se rencontrer si des* valeurs finies de a:, y, z donnent toujours à la fonction F (x^y^ z) des valeurs finies et déterminées j car alors on ne saurait avoir en même temps

F(\r,j, z) = c et F {x,/, z) == c',

c et c' étant différents.

S'il en était autrement, les conséquences précédentes ne subsisteraient plus. Aux points où deux surfacçs de niveau se rencontreraient, la pression serait indéterminée, et, par conséquent, on ne pourrait plus dire que la pression serait constante dans toute l'étendue d'une même surface de niveau. Nous ne considérerons pas les cas exceptionnels ou ces circonstances se rencontreraient.

Si la surface libre du liquide est soumise à une pression constante en tous ses pointis , elle est elle-même une surface de niyeau.