DEUXIEME PARTIE. — UYDBOSTATIQUK

151. Considérons, en particulier, les pressions eicercées sur la surface d'un corps plongé, soit en totalité, soit en partie , dans un liquide pesant en équilibre. Dans ce cas , il est facile de démontrer que les composantes horizontales des pressions se détruisent, et quHl ne reste que les composantes verticales, qui ont toujours une résultante.

En effet, considérons la portion de surface comprise entre deux plans horizontaux infiniment voisins, et occupons-nous d*abord des composantes des pressions qu'elle supporte parallèlement à l'axe des x. Nous pouvons faire la décomposition de la surface d'une manière quelconque ^ et , dans ce premier cas , nous la partagerons en éléments par des plans parallèles au plan des x et z^ et infiniment rapprochés^ ils se projetteront deux à deux suivant le même rectangle dydz sur le plan des y et z. Or, si l'on désigne par p la pression qui correspond à la distance de la tranche à la surface libre du liquide, et par a , 6, y les angles que la normale en un point quelconque de la tranche fait avec les axes des x^ des j" et des z, les composantes de la pression pcù qui s'exerce sur un élément co de cette tranche seront

P co ces a , /? w ces 6 , /? w cos 7 , ou

pdydz , pdxdz , pdxdy,

c'est-à-<iire qu'elles sont respectivement égales aux pressions que supporteraient au même point les projections de l'élément o) sur trois plans parallèles aux plans coordonnés. Mais pour les deux éléments qui ont la même projection dydz sur le plan des y et z^ les composantes parallèles à Taxe des a:, ayant ainsi des valeurs égales pdyz^ et dans des directions contraires-, se détruiront \ et tous les éléments de la tranche pouvant être considérés ainsi deux à deux , il s'ensuit que toutes les composantes parallèles à l'axe des jc,

236 COUaS DE MÉCANIQUE.

des pressions qu'elle supporte, se détruisent mutuellement. Il en serait de même des composantes parallèles à Taxe d^ y pour lesquelles on ferait la décomposition en éléments qui se projetteraient deux à deux suivant la même surface dxdz ; et il résulte de là qu^il ne reste que les composantes verticales des pressions supportées par la tranche. Il n'y a donc plus qu'à composer ces dernières dans toute Tétendue de la surface plongée.

Concevons cette surface décomposée en éléments qui se projettent sur le plan des j? et / suivant les rectangles dxdj'y dans ces éléments, certaines parties de la surface pourront avoir deux à deux la même projection, et donneront lieu à des composantes de sens contraire, qui se réduiront à une force dirigée de bas en haut , et égale au poids du liquide qui remplacerait la partie du corps ayant la même projection dxdy. Le même résultat aura lieu pour les éléments de la surface qui seront placés de telle sorte que la verticale qui y passe ne rencontre pas une seconde fois la surface du corps avant de percer le plan horizontal qui termine le liquide.

Il suit de là que le corps est poussé en sens contraire de la pesanteur, comme le serait, dans le sens de cette force , la partie du liquide dont il tient la place. Toutes les pressions qu'il supporte ont donc une résultante égale au poids du liquide déplacé et appliquée au centre de gravité de cette portion du liquide, en sens contraire de la pesanteur. Ce corps est sollicité, en outre, par son poids appliqué en son propre centre de gravité \ de sorte qu'il ne sera en équilibre que si son poids est égal au poids du liquide qu'il déplace , et que le centre de gravité de ce dernier soit sur la verticale menée par le centre de gravité du corps.

Ce principe d'hydrostatique, qui a été découvert par Archimède , et qui s'applique "également aux liquides et aux gaz^ s'énonce ordinairement en disant qu'iiit corps plongé