DEUXIÈME PA&TIE. — HYDROSTATIQUE

supposerons homogène. La pression produite par le liquide sur l'élément dl, indépendamment de la pression extérieure exercée sur la surface, sera gpzd'k^ et la somme de toutes les pressions sera

gplzd'Xj ou ^pAz, ,

A désignant Taire de la paroi et Zi la distance de son centre de gravité à la surface du liquide. D'où il résulte que la pression restera la même , quelque position que prenne la paroi , pourvu que son centre de gravité reste Oxe.

Cette pression est tout à fait indépendante de la forme du vase, et Ton peut produire, sur le fond du vase, une pression considérable avec un poids très-faible de liquide , pourvu que la distance à la surface libre soit très*grande.

Quant au point d'application de la résultante de toutes les pressions , auquel on a donné le nom de centre de pression^ on le calculerait par la théorie ordinaire du centre des forces parallèles. Il est facile de voir qu'il est situé plus bas que le centre de gravité de l'aire. En effet, menons par ce dernier une horizontale dans le plan de la paroi ^ elle en partagera l'aire en deux parties dont les moments , par rapport à cette horizontale, seront égaux. Mais les pressions exercées sur la partie de la surface située au-dessous de cette ligne donneraient, par rapport à elle, un moment plus grand que celles qui s'exercent sur la partie supérieure \ car, en concevant la surface totale partagée en éléments égaux , les pressions exercées sur chacun de ceux de la partie inférieure seront plus grandes que les plus grandes de celles qui ont lieu dans la partie supérieure. Or, si l'on prenait toutes celles-ci égales à la plus grande d'entre elles , qui se rapporte aux points situés sur l'horizontale menée par le centre de gravité , et toutes les autres égales à la plus petite d'entre elles, qui se rapporte aux points situés sur cette même horizontale, les sommes de moments seraient égales. Donc, en

les prenant telles qu^elles sont y la somme des moments est plus grande pour celles qui se rapportent à la partie inférieure^ donc le centre des forces de pression exercées sur la paroi est au-dessous de Thorizontale menée par son centre de gravité^ ce qu'il fallait démontrer.

Pour connaître les coordonnées de ce point, il faut calculer, par rapport aux trois plans coordonnés , la somme des moments des pressions exercées sur chaque élément de la paroi , et la diviser par la somme des pressions.

Considérons d^abord les moments par rapport au plan àe&x et y.

Représentons par d\ un élément infiniment petit de la paroi ^ la pression qui s'exerce sur lui sera gpzdXyCt son moment aura pour valeur gpz^dï. Si donc on désigne par x\j\ z^ tes coordonnées du centre de pression, par Xfjyiy Zx celles du centre de gravité de la paroi, et par A son aire, on aura

les deux intégrales 2 s'étendanr à tous les éléments de la paroi.

On trouvera de même , en prenant tes moments par rap-^ port aux deux autres plans de projection ,

7,jrzd\z= Ax'Ziy lxzd'k=s: ka/Zi^,

Les coordonnées dix centre de pression ont donc pour va-^ leurs

,^lxz(n , lyzdl , J.z^d'k

449. Considérons, en particulier, le cas d'un trapèze dont les bases sont horizontales. Il est facile de reconnaître que le centre de pression est situé sur la ligne qui joint le nùlieu des deux bases ^ de sorte qu'il suffit de connaître une

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des trois coordonnées de ce point , par exemple z* . Pour cela , partageons le trapèze en tranches infiniment petites comprises entre des parallèles aux bases, la somme YàZ^ d\ pourra s'obtenir en multipliant la surface de chacune de ces tranches par la valeur correspondante de z', et faisant la somme de ces produits dans toute l'étendue du trapèze. Soient a la base supérieure du trapèze, h sa base inférieure, h sa hauteur, u la distance d'une tranche quelconque à la base supérieure, c la distance de cette base au niveau du liquide , et y Tangle du plan du trapèze avec le plan horizontal. L'aire d'une tranche quelconque aura pour expression

et Ton aura

z:= c + tfsin7.

Il faudra donc calculer

/[c-^ ttsin7)' laH r — u\ du,

et diviser le résultat par A Zi , ou par

— ^ i (c4- a,sm7);

on connaîtra ainsi

a', ou c -f- a' sin 7.

La valeur de u' déterminera la position du centre de pression dans le trapèze, plus conunodément que z\ En effectuant les calculs indiqués , on trouve

, h* (a •+• 3b) siny -\' 2 hc (a -^^b)

2A(fl4-2^}8in7 4-6c (û 4- ^) '

si Ton a c = o, c*est-à-dire si la base supérieure est au

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niveau du liquide, ou a

2 (fl -t- 2^)

Dans ce cas, le centre de pression esl indépendant de Tinclinaison de la paroi.

Si en même temps on a

a =z Oj ou ^ = o,

3/i on trouve, dans le premier cas, u^ == ->-> et, dans le second , u^ = —

Le trapèze est alors réduit à un triangle : dans le premier cas, son sommet esta fleur d'eau ^ et, dans le second, cVst sa. base qui s'y trouve.

Si a = &, la paroi a la forme d'un parallélogramme, et l'on trouve

150. Les pressions exercées sur une paroi courbe ne sont pas toujours réductibles à une seule force, parce qu'elles ne sont plus parallèles \ mais , comme elles sont appliquées à un système rigide, elles sont toujours réductibles à deux forces au plus. L'expression de chacune des pressions élémentaires étant connue , ainsi que les coordonnées de son point d'application , on pourra toujours, par les méthodes ordinaires , les réduire à trois forces dirigées suivant les axes de coordonnées, et à trois couples ayant leurs axes dans ces mêmes directions. On verra alors si la condition nécessaire pour qu'il y ait une résultante est remplie, et, dans ce cas , on la déterminera facilement. Dans le cas contraire , le système des forces se trouvera réduit à une force et un couple, et Ton pourra , si l'on veut, le réduire à deux forces seulement»