CHAPITRE X

MOUVEMENT AUTOUR D'uN CENTRE D' ACTION;

FIXE OU MOfilLE.

i. Considérons d'abord un point matériel libre sollicité par une force dont la direction passe par un point fixe, et dont l'intensité ne dépend que de la distaticè à ce centre d'action. Nous savons que le mouvement aura lieu dans le plan qui contient la direction de la vitesse initiale et le point fixe. Prenons ce point pour origine de coordonnées rectangulaires x,.y situées dans ce plan; désignons par /• la distance d'iin point quelconque à l'origine; par Fangle de ce rayon vecteur avec l'axe des x positifs, et par y Tintensité de la force accélératrice. Les cosinus des angles que

sa direction fait avec les axes feront respectivement -

-*- - si la force est attractive: et -? - si elle est répulsive.

Les composantes de la force seront, dans le prefnier cas,

2 COURS DE VEjCAliriQCTE.

— (jp -, — <p ^- et, dans le secoud, (p '-? (f ~ : nos formules

se rapporteront au premier cas , et il suffirait d'y changer le signe de (f pour passer au second.

Les équations générales du mouvement du point seront

Le principe des aires donnera (r) r^d& = cdty

c désignant uxie constante arbitraire (Jui se déterminera facilement par les données de l'état initial.

En effet, les composantes de la vitesse, suivant la direction du rayon vecteur et la perpendiculaire à cette direction,

dr ^dQ T,j, , . 1, , , .

sont respectivement — et --7-« Mais si i on désigne par a

l'angle formé par la direction de la vitesse initiale avec celle de la droite menée de la position initiale du point vers le pôle, et par ^'o la vitesse initiale, on aura ^'o sin « pour valeur de la composante initiale dont la valeur générale esl

rd& ^ , * , ...11^^ . Posina

— r i on connaîtra donc fa valeur initiale de -r- qui sera

de^ dt ^ r«

En la reportant, ainsi que la valeur initiale de rque nou»

désignons par r^ , dans Téquation

r^dB = cdty on obtient

c = Tofo sin a.

Le principe des forces vives conduira à l'équation Suivante :

ds^

dt^ -^ ^ '

cette intégrale indéfinie renferme une nouvelle constante arbitraire qui sera déterminée par les valeurs initiales de i^

et /'. Ou trouvera ainsi

(2) .' = P:-2jr\rfr.

Remplaçant ds^ par dr* ■+- r* dO*, l'avant-dfernière équation devient

Éliminant dc au moyen de l'équation (i), ou obtiendra Une équation entre ret dqui sera celle de la trajectoire; vient ainsi

,3,;,.=^(iJ)=j[i.(^)].

2, Lorsque ta force 9 sera connue en fonction de r, l'équation (3) déterminera la trajectoire.

Lorsqu'aii contraire la trajectoire sera connue, et que la force <f sera inconnue, il suffira de différentier l'équation (3) par rapport à r, pour connattre <f. On trouve ainsi, en elTectuant généralement cette diiférentiation,

Le second membre se formera en faisant nsage de l'équation de la trajectoire; mais il sera quelquefois plus commode d'employer à cet effet la formule (3) , ei de n'opérer la dilTérentiation qu'à la fin .

Dans tous les cas, l'équation de la trajectoire étan nue, on en tirera l'une des deux coordonnées eu foi de l'autre, et, par suite, l'équation (i) fera connaiti fonction de r ou de 6, et réciproquement. Le proUèn: donc complètement résolu, puisqu'on aura l'expressi' coordonnées du mobile en fonction du temps.

4 dOtKS DE MÉCA.VÏQVt.

3. L'équation (2) prend une forme remarquable quand on y introduit la perpendiculaire p abaissée de Torigine sur la tangente à la trajectoire. En effet, les triangles semlblables donnent

ds r , r'^de

-—-=-, CHi ds=z-^.^^i rdB p p

d'où l'on tire, en faisant usage de l'équation (1) ^

ds c

ce qui donne d'abord cette conséquence remarquable que y dans tout mouvement produit par une force passant par tin point fixe, la vitesse en un point quelconque de la trajectoire est en raison inverse de la distance du point fixe à la tangente.

Substituant cette valeur de u dans l'équation (2)^ elle devient

(5) -=:,;J-2 i ^clr.

C'est l'équation de la trajectoire dans un système particulier de coordonnées.

4. Supposons, en second lieu, que le centre d'action soit mobile. Nous avons démontré, dans la première partie du cours, que toutes les propriétés du mouvement absolu subsistaient pour le mouvement relatif, en substituant partout aux quantités absolues les quantités relatives. Les formules précédentes subsistent donc en considérant x et y comme les coordonnées du point M par rapport à des axes passant constamment par le centre' mobile, et se mouvant parallèlement à eux-mêmes^ r comme la longueur de la droite qui joint à chaque instant ce centre au point maté-

i PABT7K. — nTSAHlQUE. 5

rîel ; Q comme l'angle (pie celle droite fait avec l'ase des x ; et enfin <f comme la force accéléralrice relative dti point matériel , c'est-à-dire comme la résultante de la force accélératrice absolue qni y est appliquée , composée avec nne forceégaleparallèle et de sens contraire à celle qui déterminerait nn mouvement identique k ceini du centre mobile. Nous allons donner quelques exemples des formules qui vienneut d'être établies.

5. Peehier exemple. — Un point décrivant une ellipse par faction tTurte force dirigée vers son centiv, trouver i'expression de celte force.

II est facile de reconnaître d'abord que toutes les conditions de la question sont compatibles. Car on peut toujours obliger un point à se mouvoir sur une courbe quelconque, et de telle manière que les aires décrites par le rayon vecteur mené d'un point fixe quelconque au point mobile soient proportionnelles au temps. On peut donc toujours supposer qu'un point mobile décrit une courbe donnée quelconque, par l'action d'une foree dont la direction passe par un point fixe quelconque.

Cela pose, soient ^a, tib le grand et le petit axe de celte clUpse. Prenons son centre pour pôle et comptons les angles a partir du grand axe ; l'équation de cette courbe sera

d'où, en diflerentiant ,

Si nous exprimons le second membre en fonction moyen de l'équation (a), nous tirerons do l'cquat

6 CQUR9 DE miècakiquï:.

tf.i

-"72- en fonction de r 5 et en le reportant dans la formule gé-

nérale (3), nous aurons la valeur de J<fdr^ et, par suite, la valeur de 9 en fonction de r.

Or l'équation [a) donnç

sm* = 7^-^^- — rrr4' c^> P*^ suite, ces» ô = 7^-7 rrr-^'.

L^equation (b) donne, en $uhstituant ces valeurs ,

En reportant cette expression dans la formule (3), ou trouve

et, en différentiant par rapport à r.

Ainsi, dans ce mouvement, la force émanant du centra sera proportionnelle à la distance au centre, et elle sera attractive, puisque la valeur trouvée pour (f est positive.

D'après le principe des aires, le point mettra toujours le. même temps à parcourir Tellipse entière, à partir d'une quelconque d^ ses positions. Désignons ce temps par T, Comme la constante c v^préçente le double de Taire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps, { cT sera Faire totale de l'ellipse, et l'on aurs^

• r., f 11 *x r« ^11 ab ^cT=:naby d'où T = r--