TIK. — DYNAMIQUE

Si Iqa vcui introduire la durée dé la révolution dans l'expression de la force, on obtiendra

Si , au lieu d'une ullipsc, on avait considéré une liyperbote, on aurait trouvé une force répulsive agissant suivant une loi semblable.

6. Réciproquement. — Si un point est attiré vers nn centre fixe par une force proportionnelle à la distance, il décrira une ellipse dont ce point fixe sera le centre.

En elfet, concevons une ellipse qui ait pour centre le point fixe, qui passe par la position initiale du mobile et soil tangente a la direction de sa vitesse initiale. Ajoutons enfin , pour déterminer complètement la courbe , cette doF'nicre condition que, dans ta position initiale, la force attractive donnée, estimée suivant la normale, ou la force centripète, soit égale au carré de la vitesse initiale qui est donnée, divisé par le rayon de courbure en ce mûiue point. Ce rayon sera ainsi connu, et l'on aura assez de conditions, pour que l'ellipse soit déterminée.

Cela posé, si l'on oblige, d'une manière quelconque, le point partant de son état initial, à se mouvoir sur cette ellipse, de telle sorte que les aires décrites par le rayon vecteur mené du centre, soient proportionnelles au temps, la discussion précédente prouve qu'il sera sollicité par une force dirigée vers le centre, et proportionnelle à la dis'im'i-- Mais cette force ne sera autre que la proposée. En efie est dirigée vers le même point, elle suit la même loi, a la même valeur au point de départ, puisqu'on a déte le rayon de courbure de l'ellipse par celle condition , Ci lipse sera donc décrite en vertu de la force donnée. F conséquent , une force qui attire on mobile vers un i

8 COURS DE MÉCANIQUB.

fixe proportionnellement à la distance à ce point* fait àés crîre une ellipse dont ce point est le centre.

Ce mouvement présente une particularité qui mérite d'être remarquée.

Nous avons reconnu dans le problème précédent que Ii^ force çp se trouvait exprimée par la formule suivante au ^noyen de la durée T de la révolution entière :

Si Ton désigne par fx sa^ valeur à Tunité dç distance, 01^ aura

, = , aou T = -^.

Ce qui montre que la durée de la révolution est indépendante des circonstances initiales qui détenninent l'ellipse particulière; elle ne varierait qu'avec la constante (x qui mesure l'intensité de la force attractive à l'unité de distance.

7. Solution analytique de cette seconde question, — Traitons niaintenant par l'analyse cette question réciproque, et proposons-nous de trouver la courbe que décrit un point attiré ou répoussé par un centre fixe proportionnellement à la distance à ce centre.

On a, dai^s ce cas, (f z=: fxr^ yi étant positif dans le cas de l'attraction , et négatif dans le cas de la répulsion : l'équation (3) donne, en représentant par c' une constante arbitraire, qui sera déterminée par l'état initial,

dQ

DEUXIKME PARTIE. — DYNAMIQUE. Q

fin posant l - 1 := z, on lire

doù , en int^rant et désignant par a une constante arbitraire qui résultera des valeurs initiales de r et 0,

db a (0 -^ a) = arc cos

Si , pour plus de simplicité , on compte les angles à partir de la direction qui fait F angle a avec Taxe primitif, il faudra remplacer 6 — a par , et l'équation précédente devient, en prenant les cosinus des deux membres,