CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE D*UN POINT

Dans le cas actuel, le triangle infinitésimal est toujours rectangle. On a donc

w^=^v cos i, ^g- = ^ sin i,

Ainsi que nous Tavons dit quand nous avons posé d'une manière générale les bases de la théorie des mouvements simultanés, tous les théorèmes de Géométrie infinitésimale qui se rapportent aux coordonnées polaires donnent lieu à des théorèmes corrélatifs de Cinématique, c'est-à-dire à des relations entre les vitesses que nous venons de définir.

Par exemple, en divisant par dt les équations

ds = MN de,

qui donnent les valeurs de la sous-normale et de la normale, on obtient les théorèmes suivants :

Théorème VI. — Quand on rapporte le mouvement d'un point dans un plan à un système de coordonnées polaires quelconque, le rapport de la vitesse de glissement à la vitesse angulaire est donné par la sous-normale à la trajectoire.

Théorème VII. — Le rapport de la vitesse d'un point mobile à la vitesse angulaire autour d' un pôle quelconque est égal à la normale correspondante.

Application au mouvement des planètes. — Dans le mouvement des planètes autour du Soleil, on sait, d'après Tune des lois de Kepler, que la vitesse aréolaire Va est une constante.

On a donc, en se reportant à l'expression de cette vitesse.

d'où

et enfin

~" cosr rcosi p ^

46 PREMIÈRE SECTION. — CINËHATIQUE PURB.

en désignant par p la perpendiculaire rcost abaissée du p61e sur la tangente MH {Jig. 23).

De là les énoncés suivants :

Dans le mouvement d'une planète autour du Soleil :

I" La vitesse angulaire est en raison inverse du carré de la distance de la planète au Soleil;

2" La vitesse de circulation est en raison inverse de cette même distance;

3° La vitesse de l'astre dans son orbite est en raison inverse de la perpendiculaire abaissée du centre du Soleil sur la tangente à la trajectoire.

Généralisation des résultats précédents.

Dans tous nos raisonnements relatifs aux coordonnées polaires, il faut bien remarquer que le pôle P est simplement le point de rencontre d'un certain rayon vecteur PM avec sa position infiniment voisine {^g: 23). Rien n'oblige à supposer qu'un troisième rayon vecteur infiniment voisin soit assujetti h venir passer au point de rencontre des deux premiers, encore moins que ce point de rencontre ou pôle soit fixe d'une manière absolue.

Tous les résultats que nous venons de trouver pour les systèmes de coordonnées polaires ordinaires s'appliquent donc à des rayons vecteurs mobiles suivant une loi quelconque, en substituant au pôle fixe, pour chacun de ces rayons vecteurs, le point où ce rayon est coupé par sa position infiniment voisine, c'est-à-dire le point où il est langent à son enveloppe.

Cette remarque bien simple a une grande importance au point de vue des applications à la Géométrie.

§ III. — Méthode dh Robervai pour le tracé des takgbntes