CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE d'uN POINT
cette voie par Fermât, Barrow, Huygens, Newton, et c'est de ces recherches que sont sorties les méthodes analytiques actuelles, basées sur le calcul inventé simultanément par Newton et par Leibnitz.
Vers la même époque, Roberval (*) avait fait connaître une méthode géométrique pour le tracé des tangentes, méthode fort remarquable que nous allons exposer avec détail. Des procédés directs, plus ou moins analogues à ceux de Roberval, ont été mis en usage par plusieurs géomètres ses contemporains, entre autres par le marquis de THôpital, dans son Analyse des infiniment petits; puis ce genre de spéculations s'est trouvé presque complètement abandonné, sous rinfluence du vif éclat que jetait la nouvelle invention du Calcul infinitésimal. On y est revenu de nos jours, et la méthode de Roberval, convenablement entendue, peut s'employer avantageusement dans un grand nombre de questions auxquelles le calcul algébrique s'appliquerait peu élégamment.
Principe de Roberval, — Pour arriver à tracer la tangente à une courbe définie géométriquement, Roberval considère cette courbe comme la trajectoire d'un point mol>ile; puis il pose l'axiome suivant :
La direction du mouvement d^ un point qui décrit une ligne courbe est la touchante de la ligne courbe en chaque position de ce point.
Si donc nous pouvons trouver par la définition donnée, soit les vitesses simultanées des projections d'un point de la courbe sur deux axes coordonnés rectangulaires ou obliques, soit la vitesse de circulation et la vitesse de glissement dans un système polaire quelconque, nous aurons, par une construction connue, la grandeur de la vitesse propre du point mobile et la direction de cette vitesse qui est celle de la tangente cherchée.
J'ai déjà fait observer que les définitions de la Géométrie ne peuvent donner les vitesses simultanées elles-mêmes; mais elles donnent les rapports de ces vitesses, et c'est tout ce qu'il faut pour déterminer une direction.
( * ) Traités des mouvements com,posés : Divers Ouvrages de Mathématiques et de Physique, par Messieurs de l'Académie des Sciences, p. 80.
Le principe de la méthode de Roberval est donc extrêmement simple; nous allons en montrer l'utilité par de nombreuses applications.
Tangente à la conchoïde. — La définition de la conchoïde ordinaire ou conchoïde de Nicomède peut être généralisée de la manière suivante :
D' un point fixe ^fig* 2^), on mène un rayon vecteur qui vient rencontrer une courbe quelconque e/i M ; à partir de ce point d'intersection y on porte sur la direction du rayon vecteur une longueur constante MM'.
La courbe que nous considérons est le lieu des points M'.
Pour mener, la tangente à cette courbe, élevons au point M une perpendiculaire sur le rayon vecteur et regardons une longueur arbitraire Mm, comptée sur cette perpendiculaire, comme représentant la vitesse de circulation correspondant au point M. Par le point m, ainsi déterminé, concevons une perpendiculaire mm^ sur M/n; la longueur de cette perpendiculaire, limitée à la tangente connue MT, représentera la vitesse du point M le long de son rayon vecteur.
Faisons 'là même construction pour le point M' : la vitesse de circulation M' m' est dirigée suivant la perpendiculaire à OM'; d'ailleurs cette vitesse est à la vitesse de circulation Mm dans le rapport de OM' à OM; donc le point m' est sur la ligne Om prolongée. D'autre part, la vitesse de glissement est dirigée suivant la perpendiculaire à m'M' et elle est égale à mmj, puisque la distance MM' est constante; donc enfin on aura la tangente cherchée en prenant m'm\z=^mm^ et joignant M'm\.
On peut remarquer que les normales aux deux courbes se coupent en un point N de la perpendiculaire élevée en sur le rayon vecteur. En effet, nous avons vu que la sous-normale est égale au rapport de la vitesse de glissement à la vitesse angulaire ; cette ligne a donc la même valeur pour la courbe (M) et pour la courbe (M').
D'après la remarque qui termine le § II, la construction précédente s'appliquerait encore si les droites telles que OM, au lieu de passer toutes par un point fixe, étaient menées tangentiellement à une courbe quelconque.
La méthode de Roberval permet de trouver la tangente à la
